一题多变在几何教学中的应用

欧阳顺银

【摘要】本文以八年级《最短路径问题》课题为例，设置一题三变，将最短路径的问题经历从特殊到一般，从一个动点到两个动点问题的变化.题型的灵活变换可以让学生感悟数学的建模思想、化归思想，使学生的思维不断发散，知识不断迁移，从而提高学生的创造性素养.

【关键词】一题多变;几何数学;发散思维

问题1（将军饮马问题）：如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

分析 转化为数学问题如图1，在直线l上找一点P，连接PA，PB，当PA+PB的和有最小值时，求点P的位置.

知识迁移：如图2，若点A1与点B分别在直线l的两侧，根据“两点之间，线段最短”，连接A1B与直线的交点P即为所求.

思维材料迁移 “化折为直”，当点A、B、P三点共线时，会使PA+PB的和有最小值.

知识迁移 通过将点A沿着直线l翻折得到点A的对称点A1得到PA=PA1，PA+PB=PA1+PB，问题转化为图2的问题.

解 如图3，作点A关于直线l对称点A1，连接A1B交直线l于点P，即点P为所求.

本题是通过将同侧最短路径问题转化为异侧的最短路径问题，根据“两点之间，线段最短”的原理，求解问题.问题1的求解中也可以通过作点B关于直线l对称点B1，连接AB1，与直线的交点就是所求.通过问题的转化，知识的迁移渗透数学思想，提高学生的数学能力.

变式1 如图4，在等边△ABC中，AB=4，△ABC的面积为43，BN平分∠ABC，点P为线段BN上一动点，点M为BC边上一中点，连接PM，PC，求△PMC的周长的最小值.

问题分析 △PMC的周长就是求PM+PC+MC的值，若要周长最小，PM+PC+MC的值最小，MC的长是固定值，即当PM+PC的和最小值时，周长为最小.此题的问题本質就是将军饮马的问题，抽象模型如图5，是同侧求最短路径问题，解决这题第一步是转化为异侧求最短路径.由问题1可知，转化为异侧求最短路径的问题是要找出对称点，从点M或者点C的对称点入手，在这题中，根据等边三角形三线合一的性质可知线段BN就是线段AC的垂直平分线，因此点C关于BN的对称点就是点A，将AM连接交BN就是PM+PC的最小值时动点P的位置，如图6.因此PM+PC的最小值就是AM的长.

解 在等边△ABC中：因为BC=AB=4，BN平分∠ABC，

所以MC=12BC=12×4=2.

BN为AC的垂直平分线，

即点C关于BN的对称点为点A，

所以PC=PA，

所以PM+PC=PM+PA.

当点A、P、M三点共线时，PM+PA的和有最小值即PM+PC的和有最小值;最小值为AM的长度.因为S△ABC=12·BC·AM=43，所以AM=23，

所以C△ABC=PM+PC+MC

=PM+PA+MC=AM+MC

=23+2.

△PMC的最为23+2.

本题通过问题1的变式，将问题进一步拓展，并让学生能够从更具体问题中找出数学将军饮马模型，挖掘知识之间的联系，从旧知迁移到新知识上，锻炼了学生的发散思维.

变式2 如图7，在等腰△ABC中，AB=CB=3，△ABC的面积为25，BN平分∠ABC，点P为线段BN上一动点，点M为BC边上一动点，连接PM，PC，求PM+PC的最小值.

变式2问题分析：从变式1的解题思路易抽象出将军饮马的同侧求最短路径的模型，易得点C关于BN的对称点A，但此题从变式1的一个动点拓展成两个动点，从具体数学问题中找出数学问题本质，对知识进行迁移，根据“垂线段最短”，得当AM⊥BC的时候，线段AM是点A到线段BC所有线段中最短的一条线段，从而确定点P、点M位置.如图8，PM+PC最小值是当AM⊥BC时AM的长.

解 在等腰△ABC中：因为AB=CB=3，BN平分∠ABC，所以BN为AC的垂直平分线，所以点C关于BN的对称点为点A，所以PC=PA，所以PM+PC=PM+PA.当AM⊥BC交BN于P时，PM+PA有最小值即PM+PC有最小值;最小值为AM的长度.因为S△ABC=12·BC·AM=25，所以AM=453，所以PM+PC为453.

本题是在变式1的基础上的进一步发散学生思维能力学习活动，通过从一个动点到两个动点的变化，再根据垂线段最短解决两动点怎样才有最小值问题，让学生感受到知识迁移带来的思维多维角度分析问题，灵活应变数学知识之间的关联，进一步让学生感悟数学解题思想.

本文通过《最短路径问题》课例中的将军饮马问题，设置变式训练，通过 一题多变让学生经历从一个动点到两个动点，从特殊的等边三角形到一般的三角形的求解中，激发学生思维碰撞，发散思维，通过一题多变的变式训练让学生在经历数学发散思维训练学习的过程中，发现数学本质问题，感悟数学建模思想和化归思想，内化成数学能力.

在新课程标准下的数学教学中，设置一题多变能够有助于在数学教学中创设有价值的问题环境，突破学生固有思维模式，充分发掘学生内在的潜力，帮助学生创新意识生成，真正促进学生数学素养养成.

项目基金：本文是增城区教育科学规划2021年度课题《通过发散思维训练提升中学生数学核心素养的研究》的科研研究成果之一.

参考文献：

[1] 袁东波.核心素养导向的作业与命题设计[M]. 天津人民出版社， 2020.

[2] 张俊忠.基于核心素养的初中数学探究式教学研究[M]，贵州大学出版社，2019.