多角度思维提高计算能力

王远征

【摘要】高考肩负着选择人才的重任，一道好的试题，既能检测出考生对数学知识的理解掌握程度，也能很好地考查出考生所具有的数学素养，如数感、符号意识、几何直观、数学分析观念、运算能力、推理能力、创新意识等.

【关键词】数形结合;向量运算;思维品质;数学素养

题目若|a|=|b|=|c|=λ，且满足a·b=0，a·c=2，b·c=1，则λ=.

此题短小精悍，是一道入口宽、解答方法多种多样的计算题，能很好地考查学生思维的灵活性、深刻性、创造性，考查出考生的数学素养.

向量是既有大小、又有方向的量，它将“数”与“形”两者融为一体，是连接“数”与“形”的“桥梁”，是数形结合的典范.

涉及向量运算，其解题途径有两种：一是代数计算，即建系转化为坐标计算;二是几何方法处理，即因数思形，作出对应的几何图形，利用图形的几何性质，多转化为解三角形来求解.

思路1代数方法，构造向量坐标，实施“代数计算”

解法1由a·b=0，得

a⊥b.

又|a|=|b|=|c|=λ，

故可设a=（λ，0），b=（0，λ），c=（x，y），λ≥0，

结合c·a=2，c·b=1，

所以λx=2，λy=1，λ2=x2+y2，

解得λ=45.

解法2依题意a·b=0，|a|=|b|=|c|=λ，

则a⊥b，λ≥0.

设a=（λ，0），b=（0，λ），c=（λcosα，λsinα），

又c·a=2，c·b=1，

所以λ2cosα=2，λ2sinα=1，

解得λ=45.

思路2因數思形，构造几何图形求解

解法3设a=（λ，0），b=（0，λ），λ≥0，

c=（x，y）=OC，

由a·b=0，知a⊥b.

图1

又c·a=2，c·b=1，

所以λx=2，λy=1，

消去λ得y=12x，

则点C在直线y=12x上，且在圆x2+y2=λ2上，在平面直角坐标系中，作出图象，如图1所示，

于是4λ2+1λ2=λ2，

解得λ=45.

解法4构造三角形求解

由a·b=0，得a⊥b，

又|a|=|b|=|c|=λ，

可作图OA=a，OB=b，OC=c，如图2所示，

OA⊥OB，|OA|=|OB|=|OC|=λ，

由c·a=2，c·b=1，知

OC在OA、OB上的投影分别是2λ，1λ.

在Rt△COD中，由勾股定理得

图2

4λ2+1λ2=λ2，

解得λ=45.

与其不断刷题，还不如深入研究透彻一道题，弄清楚该问题的本质，加强数学思维品质的深刻性、广泛性、创新性和灵活性的训练，是有效提高我们数学思维品质，提高数学素养，取得好成绩的关键所在.