浅谈数列的单调性和最值的一般处理方法
2022-05-30陈振静
陈振静
【摘 要】 数列是特殊的函数，在高考中，经常需要研究函数的单调性和最值.实际上，数列的单调性和最值也是热点.
【关键词】 数列;高考;单调性
本文将以教材 （人教 A 版2019选修第二册） 例题和高考题对这一问题进行梳理.
1 数列——特殊的函数
数列的一般形式是a 1，a 2，…，a n，…，简记为{a n}.
数列{a n}可以看成是从正整数集 N * （或它的有限子集{1，2，…，n}） 到实数集 R 的函数，以前学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列的自变量为离散的数.数列是一类特殊的函数.
与函数类似，可以定义数列的单调性：
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
2 研究數列单调性的方法
（1） 函数图象法
结合相应的图象直观判断.
（2） 作差法
根据a n+1 -a n的符号判断{a n}的单调性.
（3） 作商法 （a n>0或a n<0）
根据 a n+1 a n 与1的大小关系进行判断.
（4） 邻项比较法
（5） 导数法
导数是研究函数问题的强有力工具，数列是特殊的函数，因而可以将数列嵌入到一个可导函数中，通过求导研究函数单调性，进而得到数列的单调性，但要注意数列的单调性与函数的单调性又不完全相同.
3 蕴含的数学思想
在利用数列的单调性求最大 （最小） 项的过程中，让学生体会从特殊到一般的解题的思想方法，体会函数思想，方程思想，转化与化归思想，数形结合思想等.
4 典型题目
例1 已知函数f（x）= 2 x-1 2 x （x∈ R ） ，设数列{a n}的通项公式为a n=f（n） （n∈ N *） .
（1）求证：a n≥ 1 2 .
（2）{a n}是递增数列还是递减数列？为什么？ （必修2第9页第7题）
解 （1）因为a n= 2 n-1 2 n =1- 1 2 n （n∈ N *） ，
且 0< 1 2 n ≤ 1 2 ，
所以 a n≥1- 1 2 = 1 2 .
（2）{a n}是递增数列.
解法1 因为
a n+1 -a n = 1- 1 2 n+1 - 1- 1 2 n
= 1 2 n+1 >0，
所以 a n+1 >a n，
故 {a n}是递增数列.
解法2 因为 a n>0，
且 a n+1 a n = 2 n+1 -1 2 n+1 2 n-1 2 n = 2 n+1 -1 2 n+1 -2
=1+ 1 2 n+1 -2 >1，
所以 a n+1 >a n，
故 {a n}是递增数列.
解法3 利用函数f（x）= 2 x-1 2 x （x∈ R ） 的单调性.
因为 f（x）=1- 1 2 x 在[1，+∞）单调递增，
a n=f（n），
所以 {a n}是递增数列.
例2 已知数列{a n}的通项公式为a n= n 3 3 n ，求使a n取得最大值时的n的值. （必修2第34页第5题）
解法1 作商法
令 a n+1 a n = （n+1） 3 3 n+1 n 3 3 n = （n+1） 3 3n 3 >1，
得 （n+1） 3>3n 3，
即 n+1> 3 3 n，（ 3 3 -1）n<1，
解得 n<2.26.
所以当n≤2时， a n+1 a n >1，即a 1 当n≥3时， a n+1 a n <1，即a 3>a 4>a 5>…， 所以 a 1 故 {a n}取得最大值时，n的值为3. 解法2 作差法 a n+1 -a n= （n+1） 3 3 n+1 - n 3 3 n = （n+1） 3-3n 3 3 n+1 = （n+1- 3 3 n）[（n+1） 2+（n+1） 3 3 n+ 3 9 n 2] 3 n+1 . 令a n+1 -a n>0，得 n+1> 3 3 n， 以下同解法1. 解法3 图象法 设f（x）= x 3 3 x （x>0） ，則 f′（x）= x 2（3-x ln 3） 3 x ， 令f′（x）=0，得 x= 3 ln 3 . 当x∈ 0， 3 ln 3 时，f′（x）>0， 所以f（x）在 0， 3 ln 3 上单调递增; 当x∈ 3 ln 3 ，+∞ 时，f′（x）<0， 所以f（x）在 3 ln 3 ，+∞ 上单调递减. 结合对数知识可得 3 ln3 ∈（2，3）， 又 f（2）= 8 9 ，f（3）=1， 所以 a 1 故 {a n}取得最大值时，n的值为3. 下面给出函数f（x）= x 3 3 x 的图象，如图1，把它局部放大，得到图2. 通过图象看到虽然a 1 在探求较复杂数列的最大、最小项的过程中，学生经常会直接套用函数的单调性来解决数列的单调性问题，而忽视了数列的不连续性.在这里可以借助直观图象帮助学生理解它们的关系，加强学生思维的严密性. 例3 若数列 n（n+4） 2 3 n 中的最大项是第k项，则k= . （2011年浙江卷·文） 解法1 作商法 a n=n（n+4） 2 3 n， 则 a n+1 a n = （n+1）（n+5） 2 3 n+1 n（n+4） 2 3 n = 2（n+1）（n+5） 3n（n+4） ， a n+1 a n -1 = 2（n+1）（n+5）-3n（n+4） 3n（n+4） = -n 2+10 3n（n+4） ， 令-n 2+10>0，得 - 10 此时 a n+1 a n >1. 即当n=1，2，3时， a n+1 a n >1， 所以 a 1 令-n 2+10<0，得 n> 10 ， 此时 a n+1 a n <1. 即当n=4，5，6，…时， a n+1 a n <1， 所以 a 4>a 5>a 6>…， 于是 a 1 故当n=4时是最大项，即k=4. 解法2 作差法 a n+1 -a n =（n+1）（n+5） 2 3 n+1 -n（n+4） 2 3 n = 2 3 n 2 3 （n 2+6n+5）-n 2-4n = 2 n 3 n+1 （10-n 2）. 当n=1，2，3时，a n+1 -a n>0， 所以 a 1 當n=4，5，6，…时，a n+1 -a n<0， 所以 a 4>a 5>a 6>…， 于是 a 1 故当n=4时是最大项，即k=4. 例4 等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S 10 =0，S 15 =25，则nS n的最小值为 . （2013年新课标Ⅱ卷） 解 易得 S n= 1 3 n 2- 10 3 n， 所以 nS n= 1 3 n 3- 10 3 n 2， 下面利用导数研究单调性 设f（x）= 1 3 x 3- 10 3 x 2，则 f′（x）=x 2- 20 3 x， 令f′（x）=0，得 x=0或x= 20 3 ， 所以当0 当x> 20 3 时，f′（x）>0. 当x= 20 3 时，f（x）取得最小值. 又 n∈ N *，f（6）=-48，f（7）=-49， 所以当n=7时，f（n）取得最小值-49， 故 nS n的最小值为-49. 其中，函数f（x）= 1 3 x 3- 10 3 x 2的图象如图3所示. 在探求较复杂数列的最大、最小项的过程中，体验多角度解决问题的方法，提高综合分析、解决问题的能力，学生在做题时存在“怕新不怕难”的问题，也主要是对通性通法掌握的不牢，遇到题目不能灵活转化新题为熟题.
