概念图在初中数学解题教学中的运用

王倩

【摘  要】本文研究“概念图”在初中数学解题教学中的运用。分析“概念图”的内涵及特点;从借助“概念图”培养学生的解题习惯、借助“概念图”扩宽学生的解题思路、借助“概念图”逐步感悟数学思想三角度出发进行论述，列举教学策略。期望本文能夠为广大数学教学工作者带来一定的参考作用。

【关键词】概念图;初中数学;解题;教学

所谓“概念图”，指的就是一种能够展示知识点与知识点之间结构关系的图形，是思维可视化的表征。一幅概念图通常应包含如下三要素：节点、连接、文字标注。在初中数学教学中，概念图既可被教师视作教学策略来使用，又可被学生视作学习策略、解题策略来使用。

数学题是学生学习、应用数学知识的最为重要的载体，它至少包含如下两个最基本的要素：条件（已知条件、前提条件等）、结论（未知结论、求解结论、求证结论、求作结论等）。在解题中，题目给出的条件是学生构建解题思维的起点，结论则是问题解决的目标，为了达到这一目标，学生必须调动脑海中学过的数学知识、数学技能，突破题目设置的障碍，这需要学生正确分析题目给出的已知条件，找到未知条件，使用运算、推理等方式，求出题目所求结论。学生可使用概念图辅助这一解题过程，使其得以高效完成。

一、“概念图”特点

概念图（Concept map）的理论基础是Ausubel的学习理论，此种理论认为，学习者构建知识的过程，就是借助脑海中的已有概念，对事物展开进一步的观察及认识的过程。在学习过程中，学习者可通过构建概念网络，并不断向这一网络中添加新的内容，高效理解、记忆新的知识体系。概念图与初中数学课堂教学有着极佳的契合性，它至少具有如下几方面的特征：

（一）层级结构特征

所谓层级结构特征，主要指的是概念图能够以分层形式，清晰、明了地展示各知识点之间的层级关系。一般来讲，在整个概念图中，含义最为广泛也最具概括性的概念，位于图案的上方，更多细化的概念、概括性不强的概念，依次排列于图案的下方，学习者可较为直观地理清各概念之间的逻辑关系。

（二）交叉连接特征

所谓交叉连接特征，主要指的是在概念图中，各概念之间的联系具有一定的交叉性，某些领域知识是相互连接在一起的。创建新概念图时，这种交叉连接也表明了知识概念之间的跳跃性。

（三）理性与情感交融特征

数学解题课堂中，教师会使用概念图表达数学概念、题目条件以及相应的命题，这具有突出的理性色彩，但概念图同时也是对师生情感状态的直观展示，映射了概念图创建者、学习者的情感品质。

二、“概念图”在初中数学解题教学中的运用

（一）借助“概念图”，扩宽学生解题思路

初中生的抽象思维发展得尚不够健全，在学习、生活中，更习惯以形象思维认识事物、学习知识，很多学生甚至是在步入初一后，才开始慢慢地接触逻辑推理，此种情况下，借助“概念图”，帮助其实现解题思维可视化是很有必要的。在上文所述的“思路探求”环节中，针对同一道题，学生的脑海中往往会出现多种不同的解题思路，此时教师可借助概念图，辅助学生进行推理。

一般来讲，针对一道数学题，学生可从三个角度出发进行推理：首先，由题目给出的已知条件，逐步推理，获得结论;其次，由结论入手，层层向前，追溯至题目所给的条件，之后推出要使得结论成立，已知或题目中的隐含条件必须成立;最后，由已知与结论两条线出发，同时进行推理，推出中间共同条件成立。

【案例1】图1所示AB线段中，C为中点，D在线段BC上，AD=6，BD=4，求线段CD的长度。

如下出示针对此题的概念图：

解题中，教师可引导学生结合“三种推理思路”进行具体分析。第一种，由已知到未知进行推理，也就是所谓的综合法，可先借助线段AD、DB的长，求出AB的长，再结合中点条件，求出AC的长，最后借助AD的长，求出CD的长;第二种，由结论（问题）追溯已知条件，也就是所谓的分析法，结合题目条件不难看出，欲求CD，需求AD-AC或CB-DB，要求AC与BC，需要求出AB，而AB又等于AD+DB，为已知条件;第三种，由已知条件、结论同时出发进行分析，依据线段AD、DB的长，可求出AB的长，结合中点条件，可求出AC、BC的长，欲求线段CD的长，需求AD-AC或BC-DB，而这些条件均已求出，可见三种思路均可顺利解答此题。

学生在解答此题时，熟悉如何用三种不同的思路，推出题目所求条件后，教师可给予学生变式题，进一步培养学生用“概念图”分析问题、解答问题的习惯。

变式1：图1所示AB线段中，C为中点，D在线段BC上，AD=6，CD=1，求线段BD的长度。

变式2：图1所示AB线段中，C为中点，D在线段BC上，BD=4，CD=1，求线段AD的长度。

在解答变式题的过程中，学生会对“互逆命题”这一数学知识产生更为深刻的认识，这有助于进一步增强学生的解题能力，促进学生数学核心素养的生成 发展。

（二）借助“概念图”，逐步感悟数学思想

《义务教育数学课程标准》课程总目标指出：在义务教育阶段的数学学习中，学生会形成适应社会生活及进一步发展所必须的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。可见，数学思想教育，是初中数学教育的重要组成部分，而解题教学，无疑是向学生渗透数学思想的好时机。教师可在解题环节中，引导学生运用“概念图”分析问题，学习、体会、应用数学思想，规范书写表达过程，达到更高的学习境界。

【案例2】点A、B、C、D在数轴上位置如图3所示，AB=3，BC=2，CD=4，求：

（1）若点C为原点，求点A表示的数。

（2）若点A、B、C、D分别表示有理数a、b、c、d，求 a-c+d-b-a-d=？

（3）如图3，点P、Q分别从A、D两点同时出发，点P沿着线段AB，以每秒1单位长度的速度向右移动，到达B点后立刻折返，速度与之前一致;点Q沿线段DC以每秒2单位长度的速度向左运动，到达C点后立刻折返，P、Q中有一点回到出发点，两点同时停止运动。求①停止运动时两点之间距离;②设运动时间为t（单位：秒），则t为何值时，PQ=5？

题目中，（3）问有着较高的难度，因此本文进行重点论述，设计如下概念图，以供参考：

解题思路如下：

①由题目所给条件不难得出点P从出发到回到点A需要花费6秒，点Q从出发到回到点D需要花费4秒，两点停止运动时，Q與D重合，点P会运动到点B左边一个单位长度的位置，如图5，由BP+CB+CD可得答案为7。

②如图6，P、Q相向而行，0≤t≤2时，AP=t，AB=3，BP=3-t;DQ=2t，CD=4，可得CQ=4-2t。因此PQ=BP+BC+CQ=3-t+2+4-2t=9-3t。由PQ=5，可知9-3t=5，可得t=4/3。

点P、Q同向而行时，有图7：

由AP=t，AB=3，可得BP=3-t。由CD=4，CD+CQ=2t，可得CQ=2t-4。因此PQ=BP+BC+CQ=3-t+2+2t-4=t+1。

由于PQ=5，因此t+1=5，可解得t=4，不符合题目所给条件，因此可排除。

点P、Q反向而行时，3

AB+BP=t，AB=3，可得BP=t-3;DC+CQ=2t，DC=4，可得CQ=2t-4。

因此可列式PQ=BP+BC+CQ=t-3+2+2t-4=3t-5。

PQ=5，带入可解得t=10/3。

综上，t为4/3或10/3时，PQ=5。

三、结束语

结合如上教学案例，不难看出，在初中数学教学中，教师可借助概念图，对各种数学概念实施加工、概括，以形象化的方式反映各知识点之间的逻辑关系与组织结构，引导学生更好地在脑海中构建起数学知识体系，对各类数学知识点产生更为深刻的记忆。相较于传统教学方式，概念图教学方式最大的特点是可应用可视化手段，将各种知识“节点”联系在一起，构成脉络体系，帮助学生实现高效学习，促进学生数学核心素养的稳步发展。

实践表明，“概念图”与初中数学解题教学有着较好的适配性，可被师生视作一种卓有成效的解题策略来使用。在解题教学中，教师可利用概念图，引导学生开展有意义的、创造性的学习，利用概念图实现灵活解题，以概念“节点”为载体，构建平台，切实提升学生的解题能力，将学生的学与教师的教结合在一起，整体提升课堂教学的效率与质量，促进学生的进一步发展。

【参考文献】

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[2]施永远.“概念图”在初中数学解题教学中的应用[J].当代家庭教育，2020（28）：14-15.

[3]徐淼.概念图在初中数学解题教学中的应用[J].理科爱好者（教育教学），2020（3）：102-103.