多角度探究2022年新高考Ⅰ卷比大小选择题
2022-05-30谭天众王喜建
谭天众 王喜建
【摘 要】 本文对2022年新高考Ⅰ卷比大小的选择题进行多角度探究，给出一类含有对数与指数的比较大小题型的一般方法，以期帮助高三师生备考，提高复习效率.
【关键词】 比较大小;放缩;构造;泰勒展开式
1 试题呈现与分析
（2022年全国新高考Ⅰ卷第7题）设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，则
A.a 试题分析 本题以对数与指数为载体，考查实数的比较大小.该类题型往往题干简洁，但是综合性极强，综合考查对数指数运算性质、函数的单调性、不等式的性质等知识点.侧重考查逻辑推理素养、数学运算素养，对学生的思维能力与综合运用能力提出比较高的要求.本题有多种解题角度，不同考生会选择不同的切入点，是一道值得深入研究的好题. 2 多角度探究 因为a=0.1e0.1，b=19=0.10.9=0.11-0.1，c=-ln0.9=-ln（1-0.1），故可构造函数f（x）=xex，g（x）=x1-x，h（x）=-ln（1-x），则a=f（0.1），b=g（0.1），c=h（0.1）. 比较f（x），g（x），h（x）的大小关系，可有不同的角度. 角度1 放缩法 由经典切线不等式ex≥x+1，当且仅当x=0时取得等号，把x换成-x，从而有e-x≥-x+1，即1ex≥-x+1，当x∈（0，0.1]时，有11-x>ex，从而有x1-x>xex， 即g（x）>f（x）.下证x（x+1）>-ln（1-x），当x∈（0，0.1]时成立. 令p（x）=x（x+1）+ln（1-x），则p′（x）=2x+1-11-x=x（1-2x）1-x>0，当x∈（0，0.1]时成立，所以p（x）单调递增，所以p（x）>p（0）=0.由上面分析得到，h（x） 评注 本解法先根据需要比较的数的代数结构，建构出经典切线不等式模型，需要考生对经典切线不等式相当熟悉，并能够灵活运用，运用经典切线不等式解答比较大小的题目是个热点问题.常见经典切线不等式有（以下图象由几何画板完成）：图（1）ex≥x+1，图（2）ex≥ex，图（3）ln（1+x）≤x，图（4）lnx≤x-1，图（5）lnx≤xe. （2021年广州一模第8题）已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a=3-3e，b=2-2e，c=e2-1-ln2，则 A.a 解析 设f（x）=x-xe，求导易得f（x）在[2，3]上单调递减，所以a 角度2 函数单调性 f（x）-g（x）=x1-x[（1-x）ex-1]，令p（x）=（1-x）ex-1，当x∈（0，0.1]时，p′（x）=-xex<0，所以p（x）在（0，0.1]上单调递减，p（x） 评注 本解法利用导数确定构造函数的单调性，从而比较实数的大小，为解决该类问题的通性通法，需要考生根据题目构造出合适的函数，熟练运用导数工具.角度3 函数增长快慢 该角度来源于以下直观：如果两个物体的初速度相同，则加速度大的物体后来速度更大. 引理 若f（x），g（x）在[a，b]上连续可导，且f（a）=g（a），f′（x）>g′（x），当x∈（a，b]时恒成立，则f（x）>g（x），当x∈（a，b]时恒成立. 证明 令h（x）=f（x）-g（x），则h′（x）=f′（x）-g′（x）>0，所以h（x）在[a，b]单调递增，所以h（x）>h（a）=0，f（x）>g（x）当x∈（a，b]时恒成立，证毕.表1 f′（x）=（x+1）ex，f′（0）=1f″（x）=（x+2）ex，f″（0）=2f（x）=（x+3）ex，f（0）=3 g′（x）=1（1-x）2，g′（0）=1g″（x）=2（1-x）3，g″（0）=2 g（x）=6（1-x）4，g（0）=6 h′（x）=11-x，h′（0）=1h″（x）=1（1-x）2，h″（0）=1 h（x）=2（1-x）3，h（0）=2 由表（1），当x∈（0，0.1]时，g（x）>g（0）=6>（0.1+3）e0.1≥f（x），且g″（0）=f″（0），根据引理得到g″（x）>f″（x），又g′（0）=f′（0），根据引理得到g′（x）>f′（x），又g（0）=f（0），根据引理得到g（x）>f（x）.同理可以得到f（x）>h（x），g（x）>h（x）.综上，h（x） 评注 本解法通过物理直观，将目标函数进行求导，列成表格可以快速得到答案.要求考生能够有很好的物理直观，建构数学模型，需要较高的综合运用能力. 角度4 “高观点” 先给出高等数学中的泰勒展开式定理[1]：对于函数f（x），设其在点x0处的某个邻域（x0-d，x0+d）存在直到n+1阶的连续导数，则对于任意x∈（x0-d，x0+d）有 f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）（x-x0）22！+…+f（n）（x0）（x-x0）nn！+o（（x-x0）n），其中o（（x-x0）n）为皮亚诺余项（为无穷小量），特别地，当x0=0时，有 f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）x22！+…+f（n）（0）xnn！+o（xn）. 由表（1），可得f（0.1）≈0+1×0.1+2×0.122！+3×0.133！， g（0.1）≈0+1×0.1+2×0.122！+6×0.133！， h（0.1）≈0+1×0.1+1×0.122！+2×0.133！. 对比三个式子，很容易得到h（0.1） 评注 本解法利用高等数学的泰勒展开式对a，b，c分别进行估算，简单明了，过程极其简洁！适当借助高等数学知识，使得解题效率更高.3 真题回顾 （2021年高考全国乙卷理科第12题）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1，则（ ）. A.a C.b （2020年全国Ⅰ卷理科第12题）若2a+log2a=4b+2log4b，则（ ）. A. a>2b B. a<2bC. a>b2 D. a （2020年全国Ⅲ卷理科第12题）已知55<84，134<85.设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）. A.a （2017年全国Ⅰ卷理科第11题）设x，y，z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）. A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 以上题型都是含有指、对、幂函数值比较大小的问题，都可以根据题目条件构造目标函数，利用放缩、函数单调性、函数增长快慢、泰勒展开式、构造中间值等方法求解，此处不一一作答.4 备考建议 与指、对、幂函数值相关的比较大小题型，往往集各个知识点于一身，比如指、对、幂运算性质，函数分布规律，函数单调性，导数，不等式等，综合性较强，考查考生的基本知识与基本技能，对考生的思維能力与综合运用能力提出较高要求.解题关键是直接构造函数、或作差（作商）后构造函数、利用函数图象性质以及运算性质解题. 对该专题复习提出三个建议： 4.1 重视指、对、幂运算性质及其函数性质教学万变不离其宗，该题型背后的知识点是作为高中阶段重要的三种函数的运算性质与运算规律，以及三种函数的图象性质，所以关注试题背后的知识点是备考的原则.备考的方式可以是：选用历年高考题进行一题多解、一题多思、一题多变教学，在解题教学中巩固知识点，争取做一题得一类. 4.2 重视函数构造过程教学 该类题目的解答中有很关键的一环是构造出合适的函数，然后对函数进行研究，在日常教学中应重视函数构造过程，展示思维形成过程，函数凭空而降是教学大忌，应该尽量避免.4.3 辅助高等观点教学 泰勒展开式是赋小值型比较大小题目的强有力工具，比如2021年全国高考乙卷理科第12题也可以用泰勒展开式进行解答，对于一些学有余力的学生，可以要求其掌握，熟练掌握可以使得解题更便捷. 参考文献 [1] 肖正昌.数学分析（上册）[M]. 广州：广东科技出版社，1999. [2] 王勇强，吴凯.高观点下的三角函数与指数函数综合的导数问题初探[J].数学通讯.2021（09）：45-51.[3] 闫伟.多视角探究一道2021年高考数学选择题[J].中学数学杂志.2021（07）：51-54. 作者简介 谭天众（1982—），男，广东怀集人，硕士，中学一级教师，多次被评为中山市优秀教师;研究方向：中学数学教学;多篇论文发表. 王喜建（1980—），男，广东惠州人，硕士，五邑大学计算数学副教授，2010年欧美留学归国人员，江门市高层人才;研究领域为计算数学和数学教育;主持多项省部级课题，多次荣获广东省教育厅和五邑大学教学成果奖;公开发表论文多篇.
