“直线方向向量”的牢骚

【摘 要】 人教A版新教材選择性必修1对平面内点到直线距离的推导采取了两种办法，一是利用解方程组求出垂足的坐标，再利用两点之间的距离公式求解;二是利用向量，利用过点的向量在直线法向量上的投影来求解. 本文给出了利用向量在直线方向向量上的投影来求解的方法，同时给出了平面内直线方向向量的几种表示和空间直线方向向量的应用.

【关键词】 方向向量;法向量;距离

放学了，教室一下子空荡安静了，只剩下满黑板的板书还让人可以知道今天最后一节是数学课，学习的内容是“平面直角坐标系中的点到直线的距离公式”.也就是，坐标平面内，点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=Ax0+By0+CA2+B2.

突然，教室里传来一声叹息，还伴随着不时的自言自语声音，让我们偷偷进去听听，到底是哪位同学还在教室.

“哎，只要一静下来，我就想不通. 在三维空间，你直线纵横捭阖，所向无敌，其实都是我出面摆平的，利用我方向向量，来解决与其它直线、平面的平行、垂直关系，来计算得到相交的角度和距离. 更重要的是，利用我还可以推导出你直线在空间直角坐标系中的方程：

设直线l过点A（-1，0，2），B（3，-1，4），则AB=（4，-1，2），设直线l上任意一点P（x，y，z），则AP=tAB（t∈R）.由于AP=（x+1，y，z-2），所以（x+1，y，z-2）=t（4，-1，2），从而x+1=4t，y=-t，z-2=2t，于是得到直线l的方程x=4t-1，y=-t，z=2+2t（t∈R）或x+14=y-1=z-22. 可见直线在平面内和在空间内的方程是不相同的.

那段经历，我都无怨无悔，任劳任怨，尽职尽责. 然而一到这一章，你直线回归到平面直角坐标系中，你就抛弃了我方向向量.让我情何以堪？”听口气，说话的应该是直线l的方向向量a.

“没有呀，你方向向量永远是我直线的杀手锏，是我直线的真挚代表，不管是在空间，还是在平面内，判断两条直线平行或垂直，求相交的角和距离，永远都离不开你方向向量. 这不，在平面直角坐标系中，如果我的斜率存在，你方向向量就是a=（1，k）.如果不考虑斜率，方向向量可以用我的倾斜角α表示，a=（cosα，sinα）.”这应该是直线l的声音，语调中有点委屈无奈.

“还说没有，你看，在空间，依靠我可以推出你的方程，但在坐标平面内，你方程的五种形式，哪种是依靠我推导出来的？”

“哦，稍安勿躁，点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式确实都没有用到你. 但不要忘记了，我直线还有第六种形式——参数方程，就是依靠你方向向量推导出来的.

设直线l过定点P（x0，y0），且方向向量为a=（cosα，sinα），对直线l上任意一点Q（x，y），必定存在一个实数λ，使得PQ=λa，即（x-x0，y-y0）=λ（cosα，sinα），从而x-x0=λcosα，y-y0=λsinα，即x=x0+λcosα，y=y0+λsinα，这就是我直线方程的第六种形式——过点P（x0，y0），且倾斜角为α的参数方程（其中λ是参数）. 这不就是你方向向量在空间推导我直线方程的翻版？”

“还有呢，你看这黑板上，推导点到直线的距离公式，我们不是在空间已经利用我方向向量得到了一个结论吗？为什么平面内却绝口不提？是不是平面内不适应？”“不是的，我们仍然可以用空间的那个结论来.

如图，在l：Ax+By+C=0上取点A（x1，y1），则Ax1+By1+C=0，向量AP=（x0-x1，y0-y1）.

取方向向量a=（B，-A），则AP在a上的投影为

APcos〈AP，a〉=AP·aa=B（x0-x1）-A（y0-y1）A2+B2.

于是d2=AP2-AP·aa2=（x0-x1）2+（y0-y1）2-[B（x0-x1）-A（y0-y1）]2A2+B2

=A2（x0-x1）2+B2（y0-y1）2+2AB（x0-x1）（y0-y1）A2+B2

=[A（x0-x1）+B（y0-y1）]2A2+B2=Ax0+By0-（Ax1+By1）2A2+B2=（Ax0+By0+C）2A2+B2.

所以d=Ax0+By0+CA2+B2.”

“是的，空间中点到直线的距离就是这样求的，它仍然适应于平面，对我方向向量的选择，可以根据直线方程的形式来选择，比如斜截式y=kx+b中a=（1，k），一般式Ax+By+C=0中a=（B，-A），也可以用倾斜角α表示a=（cosα，sinα）.”

“不行，不行，我不服，”这时旁边有人插话，“我是法向量，在空间中，我专门护卫平面，代表平面解决所有与平面有关的问题. 但在平面内，我转而来护卫直线——可惜的是，至今直线还不认可我.”

“怎么没有认可你？在点到直线的距离公式推导中，就应用了你呀.”

“用是用到了我，但你们看看，教材第76页中间一段话——向量1A2+B2（A，B）就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量——不就是直线l的法向量吗？为什么不点明？好像我是私生子一样，欲言又止.”

听到唰的一声，应该是关书的声音，它继续说道：“其实，在平面内直线l的法向量比方向向量还优越些，比如直线l的一般式中，我就可以取n=（A，B），利用向量AP在我上面的投影求距离更快捷些.”边说也边在黑板上写起来.

如图，d=AP·nn=A（x0-x1）+B（y0-y1）A2+B2=Ax0+By0+CA2+B2.

“哈哈，很好，很好，”这是直线l的笑声，“当我奔驰在空间时，一切全赖方向向量冲锋陷阵，因为在空间我没有给出方程;现在纵马在平面内，我有了表示的方程，所以遇到与我直线有关的问题，就全赖方程来解决，没有再麻烦两位了，这不是抛弃你们，而是让你们更多地休息，去处理更复杂的问题. 同时，推导点到直线的距离公式，采取了几种方法，只是告诉同学们，每一种方法都是一条途径，爱思考的同学自然不会放过你们两个的. 谢谢两位的陪伴，让我们共同努力，开创向量和直线美好的未来.”

掌声响起，在空荡的教室里显得格外响亮.

作者简介 彭向阳（1969—），男，湖南长沙人，中学高级教师;一直热衷于高中数学解题教学研究和高中数学趣味课堂教学研究;在报刊杂志发表解题类文章近百篇.