圆锥曲线双切线交点轨迹探究

丁位卿 万志红

【摘 要】 圆锥曲线以其美妙的身姿及其它蕴藏的难以穷尽的优美性质引起着众多数学家与数学爱好者对它的研究兴趣，对它的研究没有彼岸.本文给出笔者对圆锥曲线上的两动点（对应的变半径夹角为不超过平角的定角）的双切线轨迹进行深入地探究，新发现3个新命题及其推论（也是3个新定理），供读者参考.

【关键词】 圆锥曲线;双切线交点;姊妹（衍生）椭圆

1 椭圆的双切线交点轨迹

一、对过椭圆不同的两点A、B，（∠AOB为不超过180°的定角），分别过A、B两切点的切线交于点P，下面研究交点P轨迹.（另给出一个推论和一个结论性质）.

命题1 如图1，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）

上两点A，B，令∠AOB=θ（定角），且0°<θ<180°，以A，B为切点分别作椭圆的切线，交点为P，则点P的轨迹方程为：

[a4（b2-y2）+b4（a2-x2）]2=4a4b4[a2y2+b2（x2-a2）]·cot2θ.

证明 我们知道过椭圆上一点（x0，y0）处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1，即b2x0x+a2y0y=a2b2，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（s，t），则过A，B两点的切线方程分别为

b2x1x+a2y1y=a2b2和b2x2x+a2y2y=a2b2，且有b2x1s+a2y1t=a2b2，b2x2s+a2y2t=a2b2.所以切点弦AB的方程为b2sx+a2ty=a2b2①.

与椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2②联立先消去y，化简整理得（a2t2+b2s2）x2-2a2b2sx+a4（b2-t2）=0，

所以x1+x2=2a2b2sa2t2+b2s2③，x1x2=a4（b2-t2）a2t2+b2s2④.

同理，联立①，②两式，再消去x化简整理得y1+y2=2a2b2ta2t2+b2s2⑤，y1y2=b4（a2-s2）a2t2+b2s2⑥.

由已知OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），故OA=OA，OB=OB.

所以OA·OB=x1x2+y1y2=OA·OB·cosθ⑦.

又如圖1，过O作OD⊥AB，垂足为D点，并设d=OD.

已知切点弦AB方程为b2xs+a2yt=a2b2，所以k=kAB=-b2sa2t.

由点到直线距离公式得d=OD=-b2t 1+k2=b2t 1+k2d2=b4t2（1+k2）.

又AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（1+k2）（x1-x2）2，

（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=4a4b4s2（a2t2+b2s2）2-4a4（b2-t2）a2t2+b2s2=4a4t2（a2t2+b2s2-a2b2）（a2t2+b2s2）2，所以AB2=4a4t2（a2t2+b2s2-a2b2）·（1+k2）（a2t2+b2s2）2.

所以d2·AB2=4a4b4[（a2（t2-b2）+b2s2]（a2t2+b2s2）2⑧.

因为S△AOB=12OA·OBsinθ=12AB·OD=12ABd，所以AB·d=OA·OB·sinθ. ⑨

联立⑦，⑨两式消去|OA|·|OB|（两边同时平方）得（x1x2+y1y2）2=d2·AB2·cot2θ. B10

因为x1x2+y1y2=a4（b2-t2）a2t2+b2s2+b4（a2-s2）a2t2+b2s2.

将上式和⑧式同时代入⑩式化简整理得

[a4（b2-y2）+b4（a2-x2）]2=4a4b4[a2y2+b2（x2-a2）]·cot2θ（）

它就是交点P的轨迹方程.

由（）式，当∠AOB=θ=90°，cotθ=0.故由（）式推导出

x2aba2+b22+y2baa2+b22=1（a>b>0）（）

此轨迹是新椭圆，它与蒙日圆有四个交点，分别是（a，b），（-a，b），（-a，-b），（a，-b），

所以当θ=∠AOB=90°时，它是一个与原椭圆同中心的姊妹椭圆，于是有以下推论：

姊妹椭圆定理（推论） 从椭圆（椭圆心角为直角）上不同两点引它的两条切线的交点的轨迹，就是与原椭圆同中心的姊妹椭圆（如图2）.图2

因此，我们可以编制一道模拟高考题（取a=2，b=1）.

题 从椭圆x22+y2=1上两不同点A，B引两条切线PA，PB，其交点为P，满足∠AOB=90°，求动点P的轨迹方程.

由（）式可知，点P轨迹是椭圆：x2（6）2+y2622=1.

对姊妹椭圆的结论式简证之，因为θ=∠AOB=90°，由⑦式得x1x2+y1y2=0.

将④，⑥式同时代入上式即得证（）式.

另，在图1中，连结OP，交AB于点C，设AB的中点为C′，则xC′=x1+x22，yC′=y1+y22，所以kOC′=y1+y2x1+x2=ts=kOP.

这样C′既在AB上又在OP上，故C与C′重合，所以O，C，P三点共线.

于是我们就发现椭圆一个有趣性质：从椭圆外一点引两条切线，该点与切点弦的中点、椭圆中心（原点）三点共线（它与∠AOB大小无关）.2 双曲线的双切线交点轨迹

命题2 从双曲线外一动点P向双曲线作两切线PA、PB，切点分别为A、B且满足（PO与切点弦AB交点为C，且为定角），则交点P（动点）的轨迹方程为：

命题2 双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的同一支上有两个不同的点A，B，令∠AOB=θ（定角），且0°<θ<180°，以A，B为切点作双曲线的两条切线PA，PB，则交点P的轨迹方程为：

[a4（y2+b2）+b4（x2-a2）]2=4a4b4[a2y2-b2（x2-a2）]·cot2θ.

此轨迹方程形式比较优美和谐，若令左边a4（y2+b2）+b4（x2-a2）=0，得到如下它的一个推论.

因为是笔者原创，笔者将其命名为双曲线（线心角为直角）双切线新椭圆定理.

双曲线衍生新椭圆定理（推论） 双曲线x2a2-y2b2=1（b>a>0）上不同两点A，B，PA，PB为它的两条相交于点P的切线，切点分别是A，B. 若∠AOB=90°，交点P的轨迹是一个以双曲线的中心为中心的新椭圆，其焦点在y轴上（见图3），方程为：

x2abb2-a22+y2bab2-a22=1（b>a>0）.

说明：当a=b时P的轨迹就是坐标原点;当a>b时，P的轨迹不存在;

另有一个与前面椭圆类似的一个性质：原命题2除不限定∠AOB外其它条件不变，O，C，P三点共线.

对于命题2及其推论与性质的证明与命题1的证明步骤和技巧完全类似，证明过程略.

3 抛物线的双切线交点轨迹

命题3 如图4，对抛物线y2=2px（p>0），设抛物线上不同的两切点A，B，且满足θ=∠AOB为定角（限定它不超过180°），分别以A，B为切点的切线交于点P，则两切线交点P的轨迹方程分以下两种情况：

（1）当∠AOB=90°时，P点轨迹就是直线x=-2p;

（2）当∠AOB≠90°时，P点轨迹是双曲线的单支.

曲线方程为：

[x+2p（1+2cot2θ）]2±4pcotθsinθ2-y22psinθ2=1，

其中心坐標为（-2p（1+2cot2θ），0），a=±4pcotθsinθ=±4pcotθ·cscθ，b=2psinθ=2p·cscθ.

（注：当0°<θ<90°时，取正号;当90°<θ<180°时，取负号）

证明 如图4，对抛物线y2=2px（p>0），记α=∠AOx，β=∠BOx，则β-α=θ.

将x=ρcosφ，y=ρsinφ代入抛物线y2=2px，得极坐标方程为ρ=2pcosφsin2φ，所以x=ρcosφ=2pcot2φ，y=2pcotφ.

又设A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，n），所以y1+y2=2p·（cotα+cotβ），y1y2=4p2·cotαcotβ.我们知道，过抛物线上点（x0，y0）的切线方程为y0y=p（x+x0），故切线PA的直线方程为y1y=p（x+x1），切线PB的直线方程为y2y=p（x+x2）.

两切线交于P点，所以y1n=p（m+x1），y2n=p（m+x2），所以切点弦AB的直线方程为yn=p（m+x），即px=ny-pm，再代入y2=2px得y2=2px=2ny-2pm，即y2-2ny+2pm=0，所以y1+y2=2n，y1y2=2pm. 又因为y1+y2=2p·（cotα+cotβ），

所以2p·（cotα+cotβ）=2n，即cotα+cotβ=np①，又

y1y2=4p2·cotαcotβ，所以4p2·cotαcotβ=2pm，即cotαcotβ=m2p.②

因为θ=β-α（β>α），所以cotθ=1+cotα·cotβcotα-cotβ，cotα-cotβ=1+cotα·cotβcotθ③.

当θ=90°时，cotθ=0，即1+cotα·cotβ=0，1+m2p=0，

得m=-2p，即x=-2p.所以两切线交点P轨迹就是直线x=-2p.

当0°<θ<180°且θ≠90°时，②式代入③得

cotα-cotβ=1+cotα·cotβcotθ=2p+m2p·cotθ④.

将④，②，①三式同时代入恒等式（cotα-cotβ）2+4cotα·cotβ=（cotα+cotβ）2.

化简并整理得[x+2p（1+2cot2θ）]2±4pcotθsinθ2-y22psinθ2=1.

（补充说明：抛物线上不同的两切点A，B运动时，并始终保持其定角（差角）θ=β-α为正角，凡是在x轴下方抛物线上的点对应的角均用负角表示.）命题3证毕.前面两个命题及推论是丁位卿发现并完成证明的，最后一个抛物线定理是由万志红老师提出并证明.

作者简介 丁位卿（1964—），男，河南长葛人，数学爱好者;在省级期刊上发表论文10余篇.

万志红，男（1985—），江西上饶人，中学一级教师;致力于高中数学教育教学及高考数学试题研究，擅长信息技术融于数学的解题研究.