对2022年数学新高考卷Ⅰ的思考
2022-05-30潘冬丽
【摘 要】 本文主要从2022年新高考Ⅰ卷试题入手剖析，从试题考查立足点，分析试题考查出发点，得到试题考查本质，以期对高三复习和新高考教学有所帮助.
【关键词】 核心概念;建模能力;数学思想;整合应用;数学思维
2022年新高考Ⅰ卷，考生普遍反映难，和21年新高考Ⅰ卷相比，去年试题易中难的比例是5∶3∶2，今年约为4∶3∶3，基础试题的分值约有60分. 今年试题综合性的考查要求较强，突出对关键能力的考查，和去年试题相比试题整体难度有所提升. 对学生各个方面的能力考查更全面.本文对今年全国新高考1卷的考点进行分析，考生觉得难，往往由于没有养成良好数学思维而缺乏灵便方法，只讲究机械做题，因此在对试卷进行分析后，笔者从核心概念、数学建模、数学思想、整合应用四个方面进行剖析.
1 核心概念
今年命题知识覆盖面广，突出了对数列、三角、立体几何、概率统计、解析几何以及函数与导数的考查，后面的六道解答题也是这六大版块各一道题. 分数分配上，函数与导数（第7，10，12，15，22题共32分）、立几（第4，8，9，19题共27分）、解几（第11，14，16，21题共27分）、三角（第6，18题共17分）、概率统计（第5，20题共17分）、数列（第17题共10分）. 从试题形式上看，试卷在选择题、填空题、解答题起始部分起点低、入口宽，从数学概念、数学方法入手，重点考查核心概念. 如试卷第1至5题、第9题、第10题、第13题、第14题、第17至19题，都是有注重考查基礎知识、回归教材的特点. 例1 （2022年新高考Ⅰ卷第2题）若i（1-z）=1，则z+=（ ）.A.-2 B. -1 C. 1 D. 2
分析 这道题考查对共轭复数的定义核心概念的理解，利用复数的除法可求z，从而可求z+.由题设有1-z=1i=ii2=-i，得z=1+i，故z+=（1+i）+（1-i）=2. 故选D.
例2 （2022年新高考Ⅰ卷第5题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）.
A.16 B. 13 C. 12 D. 23
分析 这道题考查学生对古典概型核心概念，互质的定义、通过列举法即可得解.
从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C27=21种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7种，
故所求概率P=21-721=23.
故选D.
另外，第10题考查极值点、零点的核心概念;第11题考查抛物线的定义核心概念、准线方程的核心概念;第12题考查偶函数、导函数的核心概念;第13题考查展开式中项的系数的核心概念;第19题考查点到面的距离以及二面角的核心概念;第17题和第22题都考查等差数列的核心概念;第20题考查的是独立性检验核心概念.
2 数学建模
根据高考评价体系的整体框架，结合《数学课程标准》提出的学科核心素养，高考对数学建模能力的考查力度在今年试卷中有较大提升. 今年试题难度大，就是因为加大了对数学建模学科素养和关键能力的考查力度.
例3 （2022年新高考Ⅰ卷第4题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为（7≈2.65）（ ）.
A.1.0×109 m3 B. 1.2×109 m3
C. 1.4×109 m3 D. 1.6×109 m3
分析 考查台体的体积计算，但并没有直接考查，而是以我国的重大建设成就“南水北调”工程为素材，此知识融入到实际生活背景中，融合考查考生的基本空间想象能力和掌握棱台的体积公式的运算能力;将考查学生的数学建模能力，将实际问题抽象为数学问题来解决.
依题意，可以建立一个棱台模型，如图1，可知棱台的高为MN=157.5-148.5=9（m），所以增加的水量即为棱台的体积V.
棱台上底面积S=140.0 km2=140×106 m2，下底面积S′=180.0 km2=180×106 m2，所以V=13h（S+S′+SS′）=13×9×（140×106+180×106+140×180×1012）=3×（320+607）×106≈（96+18×2.65）×107=1.437×109≈1.4×109（m3）.故选C.
例4 （2022年新高考Ⅰ卷第7题）设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，则（ ）.A.a 分析 考生根据条件，构造函数模型f（x）=ln（1+x）-x， 导数判断其单调性，由此确定a，b，c的大小. 设f（x）=ln（1+x）-x（x>-1），因为f′（x）=11+x-1=-x1+x，当x∈（-1，0）时，f′（x）>0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）<0，所以函数f（x）=ln（1+x）-x在（0，+∞）上单调递减，在（-1，0）上单调递增，所以f19 设g（x）=xex+ln（1-x）（0 当0 当2-1 又h（0）=0，所以当0 本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.学生能不能构造f（x）=ln（1+x）-x函数模型是解决这道题的关键. 另外，第9题通过建立正方体模型，对正方体中异面直线和线面角的考查，无需计算就能得分. 3 数学思想 本试卷的数学思想体现化整为零、积零为整两个方面，注重条理、逻辑，能训练学生的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置，很多方法来源对数学思想的深层次理解. 例5 （2022年新高考Ⅰ卷第22題）写出与圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程.分析 这是一道结论开放型试题，要求已知两圆的公切线方程，通过数形结合数学思想可快速写出其中的一条公切线方程. 如图2，先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1，圆（x-3）2+（y-4）2=16的圆心O1为（3，4），半径为4，两圆圆心距为32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切. 当切线为l时，因为kOO1=43，所以kl=-34.设方程为y=-34x+t（t>0），O到l的距离d=t1+916=1，解得t=54，所以l的方程为y=-34x+54. 当切线为m时，设直线方程为kx+y+p=0，其中p>0，k<0. 由题意p1+k2=1， 3k+4+p1+k2=4，解得k=-724，p=2524，故y=724x-2524. 当切线为n时，易知切线方程为x=-1，故答案为y=-34x+54或y=724x-2524或x=-1. 例6 （2022年新高考Ⅰ卷第22题）已知函数f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值.（1）求a; （2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f（x）和y=g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 分析 （1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注重分类讨论数学思想; （2）根据（1）可得当b>1时， ex-x=b的解的个数、x-lnx=b的解的个数均为2，构建新函数h（x）=ex+lnx-2x，利用导数可得该函数只有一个零点且可得f（x），g（x）的大小关系，根据存在直线y=b与曲线y=f（x）、y=g（x）有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.考查函数与方程的数学思想. 解 （1）f（x）=ex-ax的定义域为R，而f′（x）=ex-a， 若a≤0，则f′（x）>0，此时f（x）无最小值，故a>0. g（x）=ax-lnx的定义域为（0，+∞），而g′（x）=a-1x=ax-1x. 当x 当0 当x>1a时，g′（x）>0，故g（x）在1a，+∞上增函数， 故g（x）min=g1a=1-ln1a. 因为f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值， 故1-ln1a=a-alna，整理得到a-11+a=lna，其中a>0， 设g（a）=a-11+a-lna，a>0，则g′（a）=2（1+a）2-1a=-a2-1a（1+a）2≤0，故g（a）为（0，+∞）上的减函数，而g（1）=0，故g（a）=0的唯一解为a=1，故1-a1+a=lna的解为a=1. 综上，a=1. （2）由（1）可得f（x）=ex-x和g（x）=x-lnx的最小值为1-ln1=1-ln11=1. 当b>1时，考虑ex-x=b的解的个数、x-lnx=b的解的个数. 设S（x）=ex-x-b，S′（x）=ex-1， 当x<0时，S′（x）<0，当x>0时，S′（x）>0， 故S（x）在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，所以S（x）min=S（0）=1-b<0. 而S（-b）=e-b>0，S（b）=eb-2b， 设u（b）=eb-2b，其中b>1，则u′（b）=eb-2>0， 故u（b）在（1，+∞）上为增函数，故u（b）>u（1）=e-2>0，T′（x）<0. 故S（b）>0，故S（x）=ex-x-b有两个不同的零点，即ex-x=b的解的个数为2. 设T（x）=x-lnx-b，T′（x）=x-1x， 当0 所以T（x）min=T（1）=1-b<0. 而T（e-b）=e-b>0，T（eb）=eb-2b>0， T（x）=x-lnx-b有兩个不同的零点即x-lnx=b的解的个数为2. 当b=1，由（1）讨论可得x-lnx=b，ex-x=b仅有一个零点. 当b<1时，由（1）讨论可得x-lnx=b，ex-x=b均无零点. 故若存在直线y=b与曲线y=f（x），y=g（x）有三个不同的交点，则b>1. 设h（x）=ex+lnx-2x，其中x>0，故h′（x）=ex+1x-2. 设s（x）=ex-x-1，x>0，则s′（x）=ex-1>0， 故s（x）在（0，+∞）上为增函数，故s（x）>s（0）=0即ex>x+1. 所以h′（x）>x+1x-1≥2-1>0，所以h（x）在（0，+∞）上为增函数， 而h（1）=e-2>0，h1e3=e1e3-3-2e3 故h（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点x0，1e3 当0 当x>x0时，h（x）>0即ex-x>x-lnx即f（x）>g（x）， 因此若存在直线y=b与曲线y=f（x），y=g（x）有三个不同交点，故b=f（x0）=g（x0）>1，此时ex-x=b有两个不同的零点x1，x0（x1<0 又ex1-x1=b可化为ex1=x1+b，即x1-ln（x1+b）=0即（x1+b）-ln（x1+b）-b=0，故x1+b为方程x-lnx=b的解，同理x0+b也为方程x-lnx=b的解，所以{x1，x0}={x0-b，x4-b}，而b>1，故x0=x4-b，x1=x0-b，即x1+x4=2x0. 另外，17题（数列）数列求通项考到了常用的累乘法，第二问考到了数列求和中的裂项相消法;18题（三角）考查了函数与方程数学思想，第二问求最值转化为角的函数，用基本不等式求最值;19题（立体几何）、21题（解析几何）考查了数形结合数学思想、转化与化归数学思想，考查学生的直观想象素养.4 整合应用 今年高考题试卷重视难度和思维的层次性，数学概念的理解、基本数学方法的掌握、数学素养的养成等与思维水平有高度的关联性，给学生更广阔的思考空间、更多的思考角度以及基于自己认知水平的发现和探索解题方法的不同平台，具有高度整合性和应用性.例7 （2022年新高考Ⅰ卷第18题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B. （1）若C=2π3，求B; （2）求a2+b2c2的最小值. 分析 此题不是常规地利用正余弦定理与面积公式求解三角形，而是考查了函数与方程思想. 第二问求最值转化为角的函数，用基本不等式求最值或构造函数求解最值. 此题也不是单纯地考查运算能力，还要求具有很强的分析问题的能力，具有高度整合性. 所以考生备考时应注意内外角平分线定理、托勒密定理、斯特瓦尔特定理、米勒定理的证明，加强正余弦定理三角公式的灵活运用，加强对图形进行分解、组合等知识的整合. （1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cosA1+sinA=sin2B1+cos2B化成cos（A+B）=sinB，再结合0 详解 （1）因为cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，即sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC=12. 而0 （2）由（1）知，sinB=-cosC>0，所以π2 所以C=π2+B，即有A=π2-2B. 所以a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22B+1-cos2Bcos2B =（2cos2B-1）2+1-cos2Bcos2B=4cos2B+2cos2B-5≥28-5=42-5. 例8 （2022年新高考Ⅰ卷第20题） 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好良好病例组4060对照组1090 （1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有該疾病”. P（B|A）P（|A）与P（B|）P（|）的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R. （ⅰ）证明：R=P（A|B）P（|B）·P（|）P（A|）;（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值. 附K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）， P（K2≥k）0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 分析 以独立性检验和条件概率为原型，设计概率统计应用题，也以真实的某种疾病与卫生习惯的关系情境来考查，这些都体现出高考命题注重应用性. 考查考生对独立性检验、条件概率、数据处理等知识的理解和应用，引导考生重视数学实验和数学的应用. （1）由所给数据结合公式求出K2的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异;（2）（ⅰ） 根据定义结合条件概率公式即可完成证明;（ⅱ）根据（ⅰ）结合已知数据求R. 详解 由已知K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）=200（40×90-60×10）250×150×100×100=24，又P（K2≥6.635）=0.01，24>6.635， 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （ⅰ）因为R=P（B|A）P（|A）·P（|）P（B|）=P（AB）P（A）·P（A）P（A）·P（）P（）·P（）P（B）， 所以R=P（AB）P（B）·P（B）P（B）·P（）P（）·P（）P（A）， 所以R=P（A|B）P（|B）·P（|）P（A|）. （ⅱ）由已知P（A|B）=40100，P（A|）=10100， 又P（|B）=60100，P（|）=90100， 所以R=P（A|B）P（|B）·P（|）P（A|）=6. 另外，例如19题立体几何，第1问考查等体积法求点到面的距离，重视往年文科考题，对“点到面的距离”的解法感到陌生;第21题解析几何也是一个整合，与2009年辽宁高考数学试题和2011年全国高中数学联赛试题有相同点. 这些既有整合，也突出知识应用. 今年2022新高考Ⅰ卷数学试题体现了从“知识立意”到“能力立意”，再到“素养导向”，从“解题”到“解决问题”的思维跃升，从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题，已使单纯的知识记忆和刷题失效. 所以高三备考应注重养成独立思考和深入思考的习惯，发展思维的全面性与深刻性， 要能在思路受阻时进行灵活地调整与变通，使其意志品质和思维品质得到培养和提升. 参考文献 [1] 2022新高考Ⅰ卷数学卷试题，2022.6. 作者简介 潘冬丽（1989—），女，广西南宁人，硕士，高中数学一级教师;研究方向为课堂教学研究.
