初中数学规律性问题的分类研究

李杰梅

[摘 要]规律性问题是初中数学常考的一类问题，研究规律性问题的类型及其解法能提高学生分析问题和解决问题的能力。

[关键词]初中数学;规律性问题;分类

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）11-0007-03

笔者将规律性问题划分为数字变化类、算式变化类、坐标变化类、图形变化类四种类型。这四种类型问题涉及的背景不同，解题时需要学生在深刻理解题意的基础上进行合理的归纳和推理，尽快地找到隐含在题干中的规律。教学中，为了使学生更好地破解这四类问题，教师应为学生做好解题示范，使学生更好地掌握解题的技巧。

一、数字变化类

学生对数字变化类问题并不陌生，该类问题通常给出一组按照某一规律排列的数字，要求学生求出某一项数字的具体值。解答该类问题时需要从给出的已知条件出发，找到其潜在规律。如果题目中给出的数字是具体的，应认真观察数字，认真分析数字对应位数、前后项的变化情况，找到变化的值与对应序数之间的关系。如果题目中给出的数字是按照某一式子变化的，则需要运用归纳法进行分析。解题时一般写出数字的前面几项，相关的规律便会显现出来。学生若能掌握解题方法与技巧，积累解题经验，就能在解题中少走弯路。教师应做好经典例题的筛选与讲解，通过解题过程的板书，引导学生认真揣摩与反思解题过程，把握解题的关键。

[例1]已知在一列数[x1]，[x2]，[x3]，…中，[x1=1]，当[k≥2]时，[xk=xk-1+1-4k-14-k-24]（取整符号[a]表示不超过[a]的最大整数），则[x2014]的值为（ ）。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析：该题的已知条件并不复杂，解题的关键在于从给出的等式关系中找到潜在规律。观察要求解的问题可知，其项数较大，一定存在周期。对此，可结合给出的等式关系以及对[a]含义的理解，算出前面的几个数，归纳出周期。

当[k=2]时，[x2=x1+1-414-0=1+1-4×0=2];

当[k=3]时，[x3=x2+1-424-14=2+1-4×0=3];

当[k=4]时，[x4=x3+1-434-24=3+1-4×0=4];

当[k=5]时，[x5=x4+1-41-34=4+1-4×1=1];

当[k=6]时，[x6=x5+1-454-1=1+1-4×0=2];

……

可知其每隔4个数循环一次，其周期为4，则[2014=503×4+2]，∴[x2014=x2=2]，故选B。

点评：解答数字变化类问题时应注重分析题干，凡是要求解项数较大的具体数字时均具有一定的周期性，因此应将解题的重点放在归纳、推理其周期上。

二、算式变化类

算式变化类问题一般指运算法则按照一定规则变化的问题。解答该类问题的常规思路：审题，吃透题意→按照运算法则计算出结果→分析结果，寻找规律。其中“分析结果，寻找规律”对学生的观察、分析能力要求较高。对此，教师应引导学生牢记常规解法，认真审题，按照给出的运算法则认真计算，并通过观察结果的形式、各数字所处的位置，分析数字的变化规律，写出符合所有结果的通式。

[例2]某计算机程序如图1所示，每次运算均是将一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：

若将[π]输入进去，则[y10]的值为（ ）。

A. [256π255π+1] B. [512π511π+1]

C. [1024π1023π+1] D. [2048π2047π+1]

解析：要想求出[y10]的具体值还应根据给出的程序分别写出[y1]，[y2]，[y3]，[y4]，认真观察结果的构成，看能否找到所得结果的规律。

第1次，[y1=2ππ+1];

第2次，[y2=4ππ+12ππ+1+1=4π3π+1];

第3次，[y3=8π3π+14π3π+1+1=8π7π+1];

第4次，[y4=16π7π+18π7π+1+1=16π15π+1];

……

可得出[yn=2nπ（2n-1）π+1]，将[n=10]代入得到[y10=210π（210-1）π+1=1024π1023π+1]，故选C。

点评：该题计算较为复杂，但是只要找到正确的解题方向和规律，便不难解答。需要注意的是，得出计算结果后应注重化简，分析分子、分母和计算次数之间的关系。

三、坐标变化类

坐标变化类问题通常和函数图像结合在一起，解答该类问题，需要学生在明确求解问题的基础上，运用函数、几何图形的性质分析坐标间的关系，以及应用函数图像的平移规律、规则图形的相关性质、三角形全等、三角形相似的判定等。不仅如此，还需要结合具体的情境作出辅助线，以更好地计算相关坐标。

[例3]如图2，[△OA1B1]，[△A1A2B2]，[△A2A3B3]…是以[B1]，[B2]，[B3]…为直角顶点，斜边在[x]轴正半轴上的等腰直角三角形，直角顶点[B1（x1， y1）]，[B2（x2 ， y2）]，[B3（x3 ， y3）]，…均在反比例函数[y=4x] [（x>0）]的圖像上，则[y1+y2+…+y10]的值为（ ）。

A. 2[10] B. 6 C. 4[2] D. 2[7]

解析：该题是等腰直角三角形和反比例函数相结合的综合性问题，较为抽象，而且已知条件中未直接给出对应点的坐标。可设计如下问题引导学生思考：（1）怎样求直角顶点的坐标？（2）等腰直角三角形有什么性质？（3）相加计算时应注意哪些细节？

显然，需要作出对应的辅助线。等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，运用给出的反比例函数，可分别求出[y1]，[y2]，[y3]，…，[y10]，而后进行相加运算。为降低运算的复杂度，求和时应注重相关规律的应用。

如图3，分别由[B1]，[B2]，[B3]，…向[x]轴正半轴作垂线，垂足分别为[D1]，[D2]，[D3]，…对于[△OA1B1]，因其为等腰直角三角形，容易得出[OD1=D1B1]，因为[B1]在反比例函数[y=4x（x>0）]的图像上，所以[B1]的坐标为[（2， 2）]。设[A1D2=a]，则[B2（4+a， a）]，代入[y=4x（x>0）]，解得[a=22-2]，即[y2=22-2];同理，[y3=23-22]……[所以y1+y2+…+y10=2+22-2+23-22+…+210-29=210]，故选A。

点评：解答坐标变化类问题时应具备灵活的思维，注重几何知识的灵活应用，同时在计算时应注意观察，掌握相关的计算规律。

四、图形变化类

图形变化类问题要求学生根据图形的变化求解图形的角度、图形的线段长度、周长以及面积等。突破该类问题的关键在于找到图形变化前后的规律。该类问题创设的情境复杂多变，部分习题难度較大，因此教师应多给学生提供不同的情境，多与学生互动，避免其走进解题的误区。同时，注重运用多媒体技术为学生动态展示相关图形的变化，使学生能够清晰地看到图形变化过程中角度、线段长度等的变化，帮助其更好地找到解题的思路。

[例4]如图4，已知[△ABC]的面积为1，第一次操作：分别延长[AB]，[BC]，[CA]至[A1]，[B1]，[C1]，使得[A1B=AB]，[B1C=BC]，[C1A=CA]，顺次连接[A1]，[B1]，[C1]得到[△A1B1C1];第二次操作延长[A1B1]，[B1C1]，[C1A1]至[A2]、[B2]、[C2]，使得[A2B1=A1B1]，[B2C1=B1C1]，[C2A1=C1A1]，顺次连接[A2]，[B2]，[C2]，得到[△A2B2C2]，按照此规律进行下去，若使得到的三角形的面积超过2019，则至少需要经过（ ）次操作。

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：该题文字叙述较多，难度较大，只有充分理解题意，挖掘潜在的变化规律，才能顺利地求解。教师应引导学生作出相关的图形，并通过认真地对比、分析，挖掘题干中的隐含信息，找到操作后得到的三角形与原三角形面积之间的关系。

连接[BC1]，则其为[△A1AC1]的中线，则[S△ABC=S△BAC1=S△A1AC1=1]，则第一次操作后得到的三角形面积为[2×3+1=7]。同理，第二次操作后，[△A2B2C2]的面积为[△A1B1C1]的7倍，为[7×7=49]，以此类推，第三次、第四次操作后得到的三角形的面积分别为[49×7=343]、[343×7=2401]，若要想满足题意则至少需要进行4次操作，故选A。

点评：解答图形变化类问题时应注重把握变与不变的量，分析变量是怎样变化的，而后进行有规律的计算。

为了提高学生解答规律性问题的能力，教师应结合学生的实际情况，制订明确的教学目标与教学计划，既要注重相关解题技巧的教学，又要对习题分门别类地整理，优选精讲经典例题，更好地拓展学生视野，使其掌握解题规律。同时，及时组织学生的开展专题训练活动，趁热打铁，使学生将学到的知识内化为解题能力，灵活地解答各类问题。

[   参   考   文   献   ]

[1]  林卉，赵继源，叶文婷.例析初中数学规律题教学策略[J].广西教育，2020（25）：133-136.

[2]  朱方焘.初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析[J].试题与研究，2018（26）：115.

[3]  杜玉成.初中数学规律探索型问题的解答策略[J].甘肃教育，2017（19）：123.

[4]  生世忠.初中数学规律题的解题思想与方法例析[J].数学教学通讯，2014（34）：62-64.

[5]  漆海英.初中数学规律问题技巧初探[J].数学学习与研究，2010（24）：73.

[6]  钟德伟.初中数学中考规律题解题探究[J].基础教育论坛，2011（4）：37-38.

（责任编辑 黄桂坚）