圆锥曲线压轴题的处理策略

应莉

[摘 要]圆锥曲线是高中数学的核心内容之一，圆锥曲线问题在历年高考中常以压轴题的形式出现，注重考查考生的推理能力、化归能力和运算能力。确定正确的解题方向、找到正确的解题方法是解决圆锥曲线问题的关键，因此，教师要引导学生做好关键条件的识别、审视以及题型的归纳和解题方法的总结。

[关键词]圆锥曲线;压轴题;策略

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）11-0001-03

本文以2020年新课标Ⅰ卷（山东）第22题为例，从解题方向的确定、解题方法的寻找和问题的拓展三个视角谈谈圆锥曲线压轴题的处理策略。

[例1][2020年新课标Ⅰ卷（山东）第22题]已知椭圆[C：] [x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）的离心率为[22]，且过点[A（2 ， 1）]。

（1）求[C]的方程;

（2）点[M]，[N]在[C]上，且[AM⊥AN]，[AD⊥MN]，[D]为垂足。证明：存在定点[Q]，使得[DQ]为定值。

一、解题方向的确定

确定正确的解题方向是成功解题的关键。解题是从审题开始的，那么审题要审什么呢？总的来说，要审条件、审结论、找关联。本题的主要条件是[M]，[N]是椭圆[C]上两点，[A]为已知点，可将问题转化为一条直线与椭圆[C]交于[M]、[N]两点，且[AM⊥AN]。由[AM⊥AN，]可得直线[AM]和[AN]的斜率之积为-1。

椭圆有下面的性质：

[M]，[N]是椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上关于原点对称的两个点，[P]为椭圆[C]上不与[M]、[N]重合的点，若[MP]，[NP]的斜率存在且不为零，则[kMP?kNP=-b2a2]。

证明： 令[P（x0， y0）]，[M（x1， y1）]，[N（-x1，-y1）]，則[kMP=y1-y0x1-x0]，[kNP=y1+y0x1+x0]，所以[kMP·kNP=y21-y20x21-x20]，又[y21=b21-x21a2]，[y20=b21-x20a2]，所以[kMP?kNP=y21-y20x21-x20=b2x20a2-x21a2x21-x20=-b2a2]。

由该性质不难得出如下推论：

直线[l]与椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]交于[M]，[N]两点，[P]为椭圆[C]上不与[M]、[N]重合的点，若[kMP?kNP=-b2a2]，则直线[l]过坐标原点。

证明方法同上，省略。

上述性质和推论中两条直线的斜率之积为定值[-b2a2]，可得直线过定点，即坐标原点。若斜率之积为定值，但这个定值不是[-b2a2]，那么直线是否过定点呢？如果直线过某一定点，对本题的求解是否有帮助？

如图1所示，若直线[MN]过定点，设该点为[E]，因为[A]为已知点，所以[AE]为定值，而[AD⊥MN]，所以△[ADE]为直角三角形，或所求的点[Q]为[AE]的中点，则[DQ=12AE]，为定值，进而问题得解。

从上述分析来看，解题方向并不是盲目确定的，而是与我们熟悉的内容建立关联。通过研究不难发现，很多高考题都是以我们熟悉的知识为背景，只要我们明确这些背景，解题方向的确定也就水到渠成了。

二、解题方法的寻找

以直线与圆锥曲线相交为背景的考题，常规解法是先引入直线方程，将其与椭圆方程联立，再利用坐标法、消元法、判别式及根与系数的关系等，结合所给的条件建立关联进行求解。

解法1：

（1）求得[C]的方程为[x26+y23=1]。

（2）当直线[MN]的斜率存在时，设其方程为[y=kx+m]，联立[x26+y23=1，y=kx+m，]

代入消元可得[（1+2k2）x2+4kmx+2m2-6=0]。

设[M（x1， y1）]，[N（x2， y2）]，由韦达定理得

[x1+x2=-4km1+2k2]，[x1x2=2m2-61+2k2]，

由[AM?AN=0]，且[AM=（x1-2， y1-1）]，[AN=（x2-2， y2-1）]，可得[（x1-2）（x2-2）+（y1-1）（y2-1）=0]。又[y1=kx1+m]，[y2=kx2+m]，所以[（1+k2）x1x2+（km-k-2）（x1+x2）+（m-1）2+4=0]，于是有[（1+k2）2m2-61+2k2-（km-k-2）4km1+2k2+（m-1）2+4=0]，整理得[（2k+3m+1）（2k+m-1）=0]。

因为[A（2， 1）]不在直线[MN]上，所以[2k+m-1≠0]，即[2k+3m+1=0]，[k≠1]，所以直线[MN]的方程为[y=kx-23-13（k≠1）]，过定点[E23，-13]。

若直线[MN]的斜率不存在，设[M（x1， y1）]，则[N（x1 ，-y1）]，由[AM?AN=0]得[（x1-2）（x2-2）+（y1-1）（y2-1）=0]，又[x216+y213=1]，所以[3x21-8x1+4=0]，解得[x1=2]（不符合条件，舍去），所以[x1=23]，此时直线[MN]过点[E23，-13]，所以[AE=2-232+1+132=423]。

设[AE]的中点为[Q]，则[Q43，13]，所以在Rt[△ADE]中，[QD=12AE=223]为定值，故存在点[Q43，13]使得[DQ]为定值。

另外，对于以直线斜率关系为背景的问题，可通过构造斜率的齐次式来处理。

解法2：

（1）求得[C]的方程为[x26+y23=1]。

（2）设[x-2=s]，[y-1=t]，则[x=s+2]，[y=t+1]。

设[M（x1， y1）]，[N（x1， y2）]，则[kAM?kAN=y1-1x1-2?y2-1x2-2=t1s1?t2s2=k1?k2=-1]。

设直线[MN]的方程为[ms+nt=1]，椭圆方程为[（s+2）2+2（t+1）2=6?s2+4s+2t2+4t=0]，即[s2+4s（ms+nt）+2t2+4t（ms+nt）=0]，整理得[（4n+2）t2+4（m+n）st+（4m+1）s2=0]，所以[（4n+2）ts2+4（m+n）ts+（4m+1）=0]，即[（4n+2）k2+4（m+n）k+（4m+1）=0 ]，故[k1?k2=4m+14n+2=-1?-34m+-34n=1]，直线[MN]（[ms+nt=1]）过点[-43，-43]，所以直线[MN]过点[E23，-13]，[AE]=[2-232+1+132=423]。

在Rt[△ADE]中，设[AE]的中点为[Q]，则[Q43，13]，此时[QD=12AE=122-232+1+132=223]为定值，所以存在点[Q43， 13]使得[DQ]为定值。

本题是由斜率之积为定值（该定值为-1）引发的定点问题，事实上斜率之积为定值（不一定为-1）也能引发定点问题。解法2采用了“齐次化”的方式，大大地简化了运算。

三、问题的拓展

类似的问题还有很多，我们可将斜率之积为定值变换为斜率之和为定值。另外，也可以将曲线类型变换为双曲线或抛物线进行探究，从而拓展视角。

[例2]已知椭圆[C]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，四点[P1（1，1）]，[P2（0 ， 1）]，[P3-1，32]，[P4-1，32]中恰有三点在椭圆C上。

（1）求椭圆C的方程;

（2）设直线l不经过点[P2]且与椭圆[C]相交于A、B两点，若直线[P2A]与直线[P2B]的斜率和为-1，证明：直线[l]恒过定点。

解析：

（1）因为[P3]，[P4]两点关于[y]轴对称，所以由题设知椭圆[C]经过[P3]，[P4]两点。

又由[1a2+1b2>1a2+34b2]可知，椭圆[C]不经过点[P1]，所以点[P2]在椭圆[C]上。

因此[1b2=1，1a2+34b2=1，]解得[a2=4，b2=1，]故椭圆[C]的方程为[x24+y2=1]。

（2）方法1：设直线[P2A]与直线[P2B]的斜率分别为[k1]，[k2]，如果直线[l]与[x]轴垂直，设直线[l]：[x=t]，由题设知[t≠0]，且[t<2]，可得[A]，[B]的坐标分别为[t，4-t22]，[t ，-4-t22]。

则[k1+k2=4-t2-22t-4-t2+22t=-1]，得[t=2]，不符合题设。

从而可设直线[l]：[y=kx+m]（[m≠1]），将[y=kx+m]代入[x24+y2=1]得[4k2+1x2+8kmx+4m2-4=0]，根据已知条件可得判别式[Δ=164k2-m2+1>0]。

令[A（x1， y1）]，[B（x2， y2）]，则[x1+x2=-8km4k2+1]，[x1x2=4m2-44k2+1]。

又[k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1+m-1x1+kx2+m-1x2=2kx1x2+m-1（x1+x2）x1x2]。

已知[k1+k2=-1]，所以[2k+1x1x2+m-1（x1+x2）=0]，进而可得[2k+1·4m2-44k2+1+m-1·-8km4k2+1=0]，故[k=-m+12]。

當且仅当[m>-1]时，[Δ>0]，欲使[y=-m+12x+m]，即[y+1=-m+12x-2]，所以直线[l]过定点（2，[-1]）。

方法2：[P2（0， 1）]，设直线[l]的方程为[mx+n（y-1）=1]，设[y'=y-1]，则[y=y'+1]，设直线[l]的方程为[mx+ny'=1]，

[x2+4（y'+1）2=4?x2+4y'2+8y'（mx+ny'）=0?（8n+4）y'2+8mxy'+x2=0]，即[（8n+4）k2+8mk+1=0]，

所以[k1+k2=-8m8n+4=-1?m=n+12]。

设直线[l]的方程为

[n+12x+n（y-1）=1?（x+y-1）n+12x=1]，令[x+y-1=0，12x=1?x=2，y=-1，]所以直线[l]过点[（2 ，-1）]。

[例3]已知抛物线[C]：[y2=2x]和点[P（2， 2）]，[A]、[B]是[C]上异于点[P]的两点，直线[PA]、[PB]的斜率分别为[kPA]，[kPB]，且满足[kPA?kPB=2]，则直线[AB]过定点（ ）。

A. [-2，32]   B. [2，-32]

C. [32，-2] D. [-32， 2]

解析：令[Aa22， a]，[Bb22， b]，则直线[AB]的方程为：[y-ab-a=x-12a2b22-a22]，化简得[y=2b+ax+abb+a]。

又[kPA?kPB=2]，所以[a-2a22-2?b-2b2-22=2]，即[1a+2?1b+2=1]，所以[ab=-2（a+b）-3]，代入[y=2b+ax+abb+a]，得[y=2a+bx+-2（a+b）-3a+b=2a+bx-32-2]，故直线[AB]过定点[32，-2]。正确选项为C。

[例4]已知抛物线[C]：[y2=2x]和点[P（2， 2）]，[A]、[B]是[C]上异于点[P]的两点，直线[PA]、[PB]的斜率[kPA]，[kPB]满足[kPA+kPB=0]，则直线[AB]的斜率为（ ）。

A. [12] B. [-12] C. 1 D.不确定

解析：  设[Aa22， a]，[Bb22， b]，则直线[AB]的方程为[y-ab-a=x-12a2b22-a22]，整理得[y=2b+ax+abb+a]。

已知[kPA+kPB=0]，故[kPA=-kPB]，[a-2a22-2=-b-2b2-22]，所以[1a+2=-1b+2]，即[a+2=-（b+2）]，[a+b=-4]，故[kAB=2a+b=-12]。正确选项为B。

圆锥曲线问题虽然常考常新，但万变不离其宗，只要把握题目条件特征，化陌生为熟悉，即可明确解题的方向，确定解题的方法。将问题的曲线类型进行拓展，构建知识网络，可有效拓展学生的解题思路，提升学生分析问题和解决问题的能力。

（责任编辑 黄桂坚）