探究试题规律 发现数学的美

王尊甫

[摘 要]探究试题背后隐秘的规律，并将相关结论进行推广，既可以为问题探究提供范式，也可以提高学生的解题能力。

[关键词]试题;规律;探究;数学美

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）11-0013-03

罗素曾说过，如果正确地看数学，它不但拥有真理，而且也具有至高的美。数学的美不仅包括外在的形式美和简洁美，还包括内在的抽象美以及隐秘的理性美。

许多圆锥曲线问题中都有着隐秘的结论和规律。很多结论和规律可以进一步引申和推广，这也充分体现了圆锥曲线的拓展美和奇异美。

一、试题呈现

（2021年高考全国甲卷理科第20题）抛物线[C]的顶点为坐标原点[O]，焦点在[x]轴上，直线[l]：[x=1]交[C]于[P]，[Q]两点，且[OP⊥OQ]。已知点[M（2， 0）]，且⊙[M]与[l]相切。

（1）求[C]，⊙[M]的方程;

（2）设[A1]，[A2]，[A3]是[C]上的三个点，直线[A1A2]，[A1A3]均与⊙[M]相切，判断直线[A2A3]与⊙[M]的位置关系，并说明理由。

解：（1）[C]：[y2=x]，⊙[M]：[（x-2）2+y2=1];

（2）设[A1（a2， a）]，[A2（b2， b）]，[A3（c2， c）]。

当[a=±1]或[a=±3]，可证直线[A2A3]与⊙[M]相切。

当[a≠±1]且[a≠±3]时，

则直线[A1A2]：[y=1a+b（x-a2）+a]，

[A1A3]：[y=1a+c（x-a2）+a]，

[A2A3]：[y=1b+c（x-b2）+b]。

因为直线[A1A2]，[A1A3]均与⊙[M]相切，

所以点[M（2， 0）]到[A1A2]，[A1A3]两直线的距离均相等，且距离为[1]。

即[2+ab1+（a+b）2=2+ac1+（a+c）2=1]，

可知[b]，[c]是方程[2+ax1+（a+x）2=1]的两个不等根，

即[b]，[c]是方程[（a2-1）x2+2ax+3-a2=0]的两个不等根，

所以[b+c=-2aa2-1]， [bc=3-a2a2-1]。

则点[M（2， 0）]到直线[A2A3]的距离为

[2+bc1+（b+c）2=1+a2a2-11+-2aa2-12=1+a2（1+a2）2=1]，

因此，直線[A2A3]与⊙[M]也相切。

二、提出问题

培养学生的问题探究意识是中学数学教学的一个重要方面，它对于培养学生的逻辑推理素养有着重要的意义，有助于提升学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，有助于培养学生的应用意识和创新能力。

问题求解之后，笔者与学生进行了交流。学生对解题思路转化印象深刻，并惊讶于结果的奇异美。学生不约而同地提出了一个问题：该圆是不是随意设定的，其圆心位置和半径有无必然的联系？

笔者引导学生利用GeoGebra软件辅助研究。学生对⊙[M]的圆心和半径分别进行了调整，发现直线[A2A3]与⊙[M]不再相切，这表明⊙[M]：[（x-2）2+y2=14]的设定是基于某种隐秘的规律，它与抛物线肯定存在着某种联系。

三、问题探究

基于学生的能力基础，笔者将⊙[M]设定为圆心在抛物线轴上的圆，并提出问题：

设抛物线[C]：[y2=2px（p>0）]，已知⊙[M]：[（x-x0）2+y2=R2（R>0）]，设[A1]，[A2]，[A3]是[C]上的三个点。若⊙[M]是[△A1A2A3]的内切圆，试分析[x0]与[R]应满足的关系。

我们不妨先借助图像的对称性，由特殊位置入手探究。

当[A1]为坐标原点时，则必有[A2]，[A3]关于[x]轴对称。

不妨设直线[A1A2]的方程为[x=my]，

与抛物线[C]：[y2=2px（p>0）]方程联立得[y2=2pmy]。

因为⊙[M]是[△A1A2A3]的内切圆，所以点[M]到直线[A1A2]，[A2A3]的距离均为[R]，

即[R=x01+m2=2pm2-x0]，

整理得[x0=R22p+R]。

下面证明当⊙[M]的半径为[R]，圆心为[R22p+R， 0]时，⊙[M]是抛物线的内接三角形[△A1A2A3]的内切圆。

设[A1a22p， a]，[A2b22p， b]，[A3c22p， c]，

则直线[A1A2]：[y=2pa+bx+aba+b]，

[A1A3]：[y=2pa+cx+aca+c]，

[A2A3]：[y=2pb+cx+bcb+c]。

当直线[A1A2]，[A1A3]均与⊙[M]相切时，

点[MR22p+R， 0]到两直线的距离均相等，且距离为[R]。

即[R2+2pR+ab4p2+（a+b）2=R2+2pR+ac4p2+（a+c）2=R]，

可知[b]，[c]是方程[R2+2pR+ax4p2+（a+x）2=R]的两个不等根，

即[b]，[c]是方程[（a2-R2）x2+4pRax+R4+4pR3-a2R2=0]的两个不等根，

所以[b+c=-4pRaa2-R2]， [bc=R4+4pR3-a2R2a2-R2]。

则点[MR22p+R， 0]到直线[A2A3]的距离为[R2+2pR+bc4p2+（b+c）2=R2+2pR+R4+4pR3-a2R2a2-R24p2+4pRaa2-R22=R（a2+R2）（a2+R2）2=R]。

于是，直线[A2A3]与⊙[M]也相切。

综上，[x0]与[R]应满足[x0=R22p+R]。

基于此，可得到以下结论。

结论1 设抛物线[C]：[y2=2px（p>0）]，已知[⊙M]：[（x-x0）2+y2=R2（R>0）]，设[A1]，[A2]，[A3]是[C]上的三个点，若⊙[M]是[△A1A2A3]的内切圆，则必有[x0=R22p+R]。

四、揭示本源

从以上探究过程可以发现，只要⊙[M]是抛物线[C]某一内接三角形[MNP]的内切圆，那么就必定满足：设[A1]，[A2]，[A3]是[C]上的三个点，直线[A1A2]，[A1A3]均与⊙[M]相切，那么直线[A2A3]与⊙[M]必定也相切。

结论2 已知抛物线[C]：[y2=2px（p>0）]，动点[A（x1， y1）]在抛物线上，由点[A]引抛物线某内接三角形的内切圆的切线分别交抛物线于点[B]，[C]，则直线[BC]必与该圆相切。

如果推广到椭圆和双曲线，也有类似的结论。

结论3 已知椭圆[C]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，动点[A（x1， y1）]在椭圆上，由点[A]引椭圆某内接三角形的内切圆的切线分别交椭圆于点[B]，[C]，则直线[BC]必与该圆相切。

[例题]已知椭圆[C]：[x24+y2=1]，点[A]，[M]，[N]在椭圆上，且点[A]是椭圆的左顶点，点[M]，[N]关于[x]轴对称。若圆[E]：[x2+y2=r2（r>0）]是[△AMN]的内切圆。

（1）求[r];

（2）点[P（x0， y0）]是椭圆上任意一点，由点[P]引圆[E]的两条切线分别交椭圆于点[S]，[T]，则直线[ST]必与圆[E]也相切。

解析：（1）由题意知，点[A（-2， 0）]，设[M（r， yM）]，则[r2+4yM2=4]，

且原点[O]到直线[AM]的距离为[r]，因此有[yM2+r=r4-r2]，

两式联立得[r=23]。

（2）点[P（x0， y0）]是椭圆上任意一点，故[x204+y20=1]，设[S（x1， y1）]，[T（x2， y2）]。

当直线[PS]，[PT]斜率均存在时，设直线[PS]：[y=k1（x-x0）+y0]，直线[PT]：[y=k2（x-x0）+y0]。

因为直线[PS]，[PT]均与圆[E]：[x2+y2=49]相切，故原点到两条直线的距离均为[23]。

于是有[y0-kx01+k2=23]，即[（9x20-4）k2-18x0y0k+9y20-4=0]，

则[k1]，[k2]为该方程的两个不等根，因此[k1+k2=18x0y09x20-4]， [k1k2=9y20-49x20-4]。

將直线[PS]与椭圆[C]：[x24+y2=1]联立，

得[（1+4k21）x2+8k1（y0-k1x0）x+4（y0-k1x0）2-4=0]，

于是[x0+x1=8k1（k1x0-y0）1+4k21]，解得[x1=（4k21-1）x0-8k1y01+4k21]，

代入直线[PS]方程得[y1=-2k1x0-（4k21-1）y01+4k12];

同理，可得[x2=（4k22-1）x0-8k2y01+4k22]，[y2=-2k2x0-（4k22-1）y01+4k22]，

因此，直线[MN]的斜率[kMN=y1-y2x1-x2=-14×x1+x2y1+y2]，将上式代入可得[kMN=-x02y0]。

于是，直线[MN]的方程为[y=-x02y0（x-x1）+y1]。

原点到直线[MN]的距离为[d=x0x1+2y0y1x20+4y20=x0x1+2y0y12]，

将[x1=（4k21-1）x0-8k1y01+4k21]，[y1=-2k1x0-（4k21-1）y01+4k21]，

以及[（9x20-4）k21-18x0y0k1+9y20-4=0]代入，

可得[d=-（1+2k21）（x20+4y20）+83k21+832（1+4k21）=163k21+432（1+4k21）=23]。

因此，直线[ST]与圆[E]也相切。

本题的第（1）问以椭圆中的特殊位置开启思路，以图形的对称性为切入点，形成简洁的求解思路。第（2）问则将特殊位置推广至一般位置，以探究引发学生深度思考，进而揭示其中隐秘的规律。

如果继续深入探究，可得到：

若圆[O]：[x2+y2=r2（r>0）]是椭圆[C]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的内接三角形的内切圆，则必有[r=aba+b]。

结论4 已知双曲线[C]：[x2a2-y2b2=1（a>0， b>0）]，动点[A（x1， y1）]在双曲线上，由点[A]引双曲线某内接三角形的内切圆的切线分别交双曲线于点[B]，[C]，则直线[BC]必与该圆相切。

五、总结反思

在数学教学中，融入数学美，运用数学美的感染力，可以激发学生的学习兴趣，调动学生学习数学的主动性和积极性，启发学生的数学思维，促进学生理解知识之间的内在联系，形成知识的有序结构和解题方法体系，还可以激发学生对真和美的追求，陶冶学生的思想情操，培养学生的进取精神。教师应充分挖掘美育素材，抓住有利时机来培养学生的数学审美能力。

在本文中，笔者从一道高考题出发，经过大胆的猜想与严谨的求证，最终得到了题目背后隐秘的规律，感悟到圆锥曲线结论中的奇异美与统一美，这正是数学探究的魅力。

教师应结合学生的发展规律和认知能力，帮助学生实现经问题的合情推理步入深度的数学探究，进而培养学生的思维能力，提升学生的数学学科核心素养。在这个过程中，我们可以清晰地看到，学生在以“美”为感性追求的活动中逐步形成了对“真”的理性追求。

[   参   考   文   献   ]

[1]  波利亚.怎样解题[M].涂弘，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2002.

（责任编辑 黄桂坚）