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处理圆锥曲线问题的几个关键点

2022-05-30殷春生

中学教学参考·理科版 2022年4期
关键词:圆锥曲线关键点问题

殷春生

[摘 要]要处理好圆锥曲线问题应把握好几个关键点,即明确问题的类型、确定解题的方向、挖掘隐含的信息和明确解题的方法。把握好这几个关键点,能有效解决圆锥曲线问题。

[关键词]圆锥曲线;问题;关键点

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058(2022)11-0004-03

圆锥曲线问题是考查学生思维能力和计算能力的重要载体,在高考中常以压轴题的形式出现。学生在解决此类问题时,常常因为方向不明确或思路不正确,致使解题有始无终。基于此,笔者提出处理此类问题需要把握的几个关键点,并引例说明。

[例1]已知椭圆[C: x2a2+y22=1a>2]的离心率为[22],左、右顶点分别为[A, B],点[M]是椭圆[C]上异于[A, B]的一点,直线[AM]与[y]轴交于点[P]。

(1)若点[P]在椭圆[C]的内部,求直线[AM]的斜率的取值范围;

(2)设椭圆[C]的右焦点为[F],点[Q]在[y]轴上,且[AQ∥BM],求证:[∠PFQ]为定值。

易求得椭圆方程为[x24+y22=1],第(1)问较为基础,解题过程略。下面对第(2)问的解题关键进行详细说明。

一、解题方向要准确无误

定点、定值和最值问题是历年高考重点考查的题型。本题第(2)问要求证明[∠PFQ]为定值,有些学生认为这个角可能为特殊角,如[π6,π4,π3]等,想到利用正弦定理、余弦定理等解三角形的有关知识求解,进而要求[△PFQ]的其他边或角。因[M]是动点,所以点[P]、[Q]的位置不确定,要表示[P]、[Q]的坐标需要引入变量,再利用两点间距离公式求边长,即使可以表示出来,但不容易消元,计算烦琐。

[π6,π4,π3]虽然是我们熟悉的角,但是在圆锥曲线中这些角并不能称为特殊角,要证某一角为定值,这个角除[π2]以外,别无他选。因此,欲证[∠PFQ]为定值,则一定有[kFP·kFQ=-1]或[FP·FQ=0],进而明确了解题的方向。

类似地,判断一个角是锐角、钝角、直角时,均可采用此种方法。

二、方法选择要心中有数

圆锥曲线问题的求解思路,总的来说有两种:一是引入直线方程,设出交点坐标,将其与曲线方程联立,代入消元,结合判别式得出根与系数的关系,结合题目条件列出关系式,再代入根与系数的关系进行求解;二是采用设点法求解,即设出动点坐标[(x0, y0)],将其他相关点的坐标用[x0, y0]表示,再结合题目条件列出关于[x0, y0]的关系,最后将[x0, y0]代入曲线方程,据此进行消元处理。

本题中的动点是[M],因[M]的变动,使得[P]、[Q]随之变动,因此可采用设点法求解。具体解题过程如下:

设 [M(x0, y0)],则[x204+y202=1]。

已知[A(-2, 0)],所以直线[AM]的斜率为[y0x0+2],故直線[AM]的方程为[y=y0x0+2(x+2)],当[x=0]时,[y=2y0x0+2],即点[P0, 2y0x0+2]。

直线[BM]的斜率为[y0x0-2],因为[AQ∥BM],所以直线[AQ]的斜率也是[y0x0-2],直线[AQ]的方程为[y=y0x0-2(x+2)],当[x=0]时,[y=2y0x0-2],即点[Q0, 2y0x0-2]。

因为[F(2, 0)],所以[FP=-2, 2y0x0+2],[FQ=-2, 2y0x0-2],[FP?FQ=-2, 2y0x0-2·-2, 2y0x0+2=2+4y20x20-4=2x20+4y20-8x20-4]。

又[x204+y202=1],即[2x20+4y20-8=0],

所以[FP·FQ=0],即[∠PFQ=π2],故[∠PFQ]为定值。

本题在求解点[Q]的坐标时,也可利用直线[BM]与[BQ]的对称性,即先求出直线[BM]与[y]轴的交点的坐标,再利用点[Q]与该点的对称关系得出点[Q]的坐标。

三、隐含信息要挖掘清楚

本题能不能采用设直线的斜率[k]的方法来求解?答案是肯定的。这需要对题目中隐含的信息进行挖掘。本题中所隐含的信息在教材习题中有所体现。

[例2](人教版高中数学教材A版选择性必修1练习)已知点[B(6, 0)],[C(-6, 0)],过点[B]的直线[l]和过点[C]的直线[m]相交于点[A],设直线[l]的斜率为[k1],直线[m]的斜率为[k2],如果[k1·k2=-49],求点[A]的轨迹方程,并说明此轨迹是何种曲线。

解:设[A(x, y)], [x≠6], 则[kAB=yx+6], [kAC=yx-6]。

由[kAB·kAC=yx+6·yx-6=-49],得[x236+y216=1],

即点[A]的轨迹方程为[x236+y216=1x≠6],此轨迹为椭圆。

此习题可推广到一般的情况。

[例3]已知点[B(-a, 0)],[C(a, 0)(a>0)],过点[B]的直线[l]和过点[C]的直线[m]相交于点[A],设直线[l]的斜率为[k1],直线[m]的斜率为[k2],如果[k1·k2=-b2a2],求点[A]的轨迹方程,并说明此轨迹是何种曲线。

利用上述求解方法可得点[A]的轨迹方程为[x2a2+y2b2=1x≠a]。

对此结论进行逆向探究,可得出如下结论:

结论1 已知椭圆[C]:[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的左、右顶点分别为[A]、[B],[M]为椭圆上不同于[A]、[B]的一点,则直线[AM]、[BM]的斜率之积为定值[-b2a2]。

证明:已知[A(-a, 0)],[B(a, 0)],设[M(x0 , y0)],则[kMA=y0x0+a],[kMB=y0x0-a],所以[kMA·kMB=y20x20-a2]。

又因为[x20a2+y20b2=1],所以[y20=b21-x20a2],代入上式消元化简得[kMA·kMB=-b2a2]。

而例1所给的条件,恰好符合这一结论,故可采用设直线斜率的方法求解。

例1的另外解法:设直线[MA]的斜率为[k],则直线[MA]的方程为[y=k(x+2)],令[x=0],则[y=2k],即点[P(0, 2k)]。

由上述结论探究知[kMA·kMB=-b2a2=-12],所以直线[MB]的斜率为[-12k],即直线[AQ]的斜率为[-12k],所以直线[AQ]的方程为[y=-12k(x+2)],当[x=0]时,[y=-1k],所以[0,-1k]。

因为[F2, 0],所以[FP=-2, 2k],[FQ=-2,-1k],[FP·FQ=-2, 2k·-2,-1k=0]。

因此[FP·FQ=0],即[∠PFQ=π2],为定值。

教材中的例题、习题都具有典型性,其中隐含着重要的知识、结论,包括解题的方法。因此,广大教师在教学中要尊重教材,充分利用教材,并引导学生主动探究教材,充分发挥教材的最大作用。

四、结论探究要进行彻底

上述结论也可以推广到更为一般的形式,即只要[A]、[B]两点关于坐标原点对称,此结论仍然成立。

结论2 已知椭圆[C]:[x2a2+y2b2=1(a>b>0)],[A]、[B]是椭圆[C]上关于原点对称的两点,[M]为椭圆上与点[A]、[B]不重合的一点,若直线[AM]、[BM]的斜率存在且不为0,则直线[AM]、[BM]的斜率之积为定值[-b2a2]。

证明:设[A(m, n)],[B(-m, n)],[M(x0, y0)],则[kMA=y0-nx0-m],[kMB=y0+nx0+m],所以[kMA·kMB=y20-n2x20-m2]。

又因为[x20a2+y20b2=1],[m2a2+n2b2=1],所以[y20=b21-x20a2],[n2=b21-m2a2],代入上式消元化简得[kMA·kMB=-b2a2]。

[例4]如图1所示,椭圆[C]:[x2a2+y2b2=1]经过点[1,32],其离心率[e=12]。

(1)求椭圆[C]的方程;

(2)直线[l]过坐标原点[O],且不与[x],[y]轴重合,交椭圆[C]于点[P, Q],过点[P]作[x]轴的垂线,垂足为点[D],连接[QD]并延长交椭圆[C]于点[E],试判断直线[PE]和[l]的斜率乘积是否为定值。若为定值,请求出该定值,否则请说明理由。

解析:(1)[x24+y23=1](过程略);

(2)假设点[P(x1, y1)],[E(x2, y2)],则[Q(-x1,-y1)],[D(x1, 0)],且[y12=3-3x124],[y22=3-3x224],

[所以kPE·kQE=y2-y1x2-x1·y2+y1x2+x1=y22-y12x22-x12=3-34x22-3-34x12x22-x12=-34。]

又[kQE=kQD=y12x1],故[kPE=-3x12y1],[kPQ·kPE=y1x1-3x12y1=-32]。

即[PE]和直线[l]的斜率之积为定值[-32]。

本题中椭圆上的点[P]与点[Q]关于坐标原点对称,所以直线[PE]与[QE]的斜率之积为定值。只要我们心中有这个结论,解题的方向也自然就明确了。

类似地,在双曲线中也存在这一结论。

[例5]已知点[B(-a, 0)],[C(a, 0)(a>0)],过点[B]的直线[l]和过点[C]的直线[m]相交于点[A],设直线[l]的斜率为[k1],直线[m]的斜率为[k2],如果[k1·k2=b2a2],求点[A]的轨迹方程,并说明此轨迹是何种曲线。

不难得出点[A]的轨迹方程为[x2a2-y2b2=1x≠a],轨迹为双曲线。

结论3 已知双曲线[C]:[x2a2-y2b2=1(a, b>0)]的左、右顶点为[A]、[B],[M]为[C]上不同于[A]、[B]的一点,则直线[AM]、[BM]的斜率之积为定值[b2a2]。

证明:已知点[A(-a, 0)],[B(a, 0)],设点[M(x0, y0)],则[kMA=y0x0+a],[kMB=y0x0-a],所以[kMA·kMB=y20x20-a2]。

又因为[x20a2-y20b2=1],所以[y20=b2x20a2-1],代入上式消元化簡得[kMA·kMB=b2a2]。

计算量大是圆锥曲线问题的重要特征,因此在解决圆锥曲线问题时除了要注意上述几个关键点,还要做到准确计算。

总之,圆锥曲线问题虽然形式多变,方法灵活,但是只要我们能够准确把握好关键点,就能以不变应万变,顺利、准确地解决问题。

(责任编辑 黄桂坚)

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