处理圆锥曲线问题的几个关键点

殷春生

[摘 要]要处理好圆锥曲线问题应把握好几个关键点，即明确问题的类型、确定解题的方向、挖掘隐含的信息和明确解题的方法。把握好这几个关键点，能有效解决圆锥曲线问题。

[关键词]圆锥曲线;问题;关键点

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）11-0004-03

圆锥曲线问题是考查学生思维能力和计算能力的重要载体，在高考中常以压轴题的形式出现。学生在解决此类问题时，常常因为方向不明确或思路不正确，致使解题有始无终。基于此，笔者提出处理此类问题需要把握的几个关键点，并引例说明。

[例1]已知椭圆[C： x2a2+y22=1a>2]的离心率为[22]，左、右顶点分别为[A， B]，点[M]是椭圆[C]上异于[A， B]的一点，直线[AM]与[y]轴交于点[P]。

（1）若点[P]在椭圆[C]的内部，求直线[AM]的斜率的取值范围;

（2）设椭圆[C]的右焦点为[F]，点[Q]在[y]轴上，且[AQ∥BM]，求证：[∠PFQ]为定值。

易求得椭圆方程为[x24+y22=1]，第（1）问较为基础，解题过程略。下面对第（2）问的解题关键进行详细说明。

一、解题方向要准确无误

定点、定值和最值问题是历年高考重点考查的题型。本题第（2）问要求证明[∠PFQ]为定值，有些学生认为这个角可能为特殊角，如[π6，π4，π3]等，想到利用正弦定理、余弦定理等解三角形的有关知识求解，进而要求[△PFQ]的其他边或角。因[M]是动点，所以点[P]、[Q]的位置不确定，要表示[P]、[Q]的坐标需要引入变量，再利用两点间距离公式求边长，即使可以表示出来，但不容易消元，计算烦琐。

[π6，π4，π3]虽然是我们熟悉的角，但是在圆锥曲线中这些角并不能称为特殊角，要证某一角为定值，这个角除[π2]以外，别无他选。因此，欲证[∠PFQ]为定值，则一定有[kFP·kFQ=-1]或[FP·FQ=0]，进而明确了解题的方向。

类似地，判断一个角是锐角、钝角、直角时，均可采用此种方法。

二、方法选择要心中有数

圆锥曲线问题的求解思路，总的来说有两种：一是引入直线方程，设出交点坐标，将其与曲线方程联立，代入消元，结合判别式得出根与系数的关系，结合题目条件列出关系式，再代入根与系数的关系进行求解;二是采用设点法求解，即设出动点坐标[（x0， y0）]，将其他相关点的坐标用[x0， y0]表示，再结合题目条件列出关于[x0， y0]的关系，最后将[x0， y0]代入曲线方程，据此进行消元处理。

本题中的动点是[M]，因[M]的变动，使得[P]、[Q]随之变动，因此可采用设点法求解。具体解题过程如下：

设 [M（x0， y0）]，则[x204+y202=1]。

已知[A（-2， 0）]，所以直线[AM]的斜率为[y0x0+2]，故直線[AM]的方程为[y=y0x0+2（x+2）]，当[x=0]时，[y=2y0x0+2]，即点[P0， 2y0x0+2]。

直线[BM]的斜率为[y0x0-2]，因为[AQ∥BM]，所以直线[AQ]的斜率也是[y0x0-2]，直线[AQ]的方程为[y=y0x0-2（x+2）]，当[x=0]时，[y=2y0x0-2]，即点[Q0， 2y0x0-2]。

因为[F（2， 0）]，所以[FP=-2， 2y0x0+2]，[FQ=-2， 2y0x0-2]，[FP?FQ=-2， 2y0x0-2·-2， 2y0x0+2=2+4y20x20-4=2x20+4y20-8x20-4]。

又[x204+y202=1]，即[2x20+4y20-8=0]，

所以[FP·FQ=0]，即[∠PFQ=π2]，故[∠PFQ]为定值。

本题在求解点[Q]的坐标时，也可利用直线[BM]与[BQ]的对称性，即先求出直线[BM]与[y]轴的交点的坐标，再利用点[Q]与该点的对称关系得出点[Q]的坐标。

三、隐含信息要挖掘清楚

本题能不能采用设直线的斜率[k]的方法来求解？答案是肯定的。这需要对题目中隐含的信息进行挖掘。本题中所隐含的信息在教材习题中有所体现。

[例2]（人教版高中数学教材A版选择性必修1练习）已知点[B（6， 0）]，[C（-6， 0）]，过点[B]的直线[l]和过点[C]的直线[m]相交于点[A]，设直线[l]的斜率为[k1]，直线[m]的斜率为[k2]，如果[k1·k2=-49]，求点[A]的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线。

解：设[A（x， y）]， [x≠6]， 则[kAB=yx+6]， [kAC=yx-6]。

由[kAB·kAC=yx+6·yx-6=-49]，得[x236+y216=1]，

即点[A]的轨迹方程为[x236+y216=1x≠6]，此轨迹为椭圆。

此习题可推广到一般的情况。

[例3]已知点[B（-a， 0）]，[C（a， 0）（a>0）]，过点[B]的直线[l]和过点[C]的直线[m]相交于点[A]，设直线[l]的斜率为[k1]，直线[m]的斜率为[k2]，如果[k1·k2=-b2a2]，求点[A]的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线。

利用上述求解方法可得点[A]的轨迹方程为[x2a2+y2b2=1x≠a]。

对此结论进行逆向探究，可得出如下结论：

结论1 已知椭圆[C]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右顶点分别为[A]、[B]，[M]为椭圆上不同于[A]、[B]的一点，则直线[AM]、[BM]的斜率之积为定值[-b2a2]。

证明：已知[A（-a， 0）]，[B（a， 0）]，设[M（x0 ， y0）]，则[kMA=y0x0+a]，[kMB=y0x0-a]，所以[kMA·kMB=y20x20-a2]。

又因为[x20a2+y20b2=1]，所以[y20=b21-x20a2]，代入上式消元化简得[kMA·kMB=-b2a2]。

而例1所给的条件，恰好符合这一结论，故可采用设直线斜率的方法求解。

例1的另外解法：设直线[MA]的斜率为[k]，则直线[MA]的方程为[y=k（x+2）]，令[x=0]，则[y=2k]，即点[P（0， 2k）]。

由上述结论探究知[kMA·kMB=-b2a2=-12]，所以直线[MB]的斜率为[-12k]，即直线[AQ]的斜率为[-12k]，所以直线[AQ]的方程为[y=-12k（x+2）]，当[x=0]时，[y=-1k]，所以[0，-1k]。

因为[F2， 0]，所以[FP=-2， 2k]，[FQ=-2，-1k]，[FP·FQ=-2， 2k·-2，-1k=0]。

因此[FP·FQ=0]，即[∠PFQ=π2]，为定值。

教材中的例题、习题都具有典型性，其中隐含着重要的知识、结论，包括解题的方法。因此，广大教师在教学中要尊重教材，充分利用教材，并引导学生主动探究教材，充分发挥教材的最大作用。

四、结论探究要进行彻底

上述结论也可以推广到更为一般的形式，即只要[A]、[B]两点关于坐标原点对称，此结论仍然成立。

结论2 已知椭圆[C]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，[A]、[B]是椭圆[C]上关于原点对称的两点，[M]为椭圆上与点[A]、[B]不重合的一点，若直线[AM]、[BM]的斜率存在且不为0，则直线[AM]、[BM]的斜率之积为定值[-b2a2]。

证明：设[A（m， n）]，[B（-m， n）]，[M（x0， y0）]，则[kMA=y0-nx0-m]，[kMB=y0+nx0+m]，所以[kMA·kMB=y20-n2x20-m2]。

又因为[x20a2+y20b2=1]，[m2a2+n2b2=1]，所以[y20=b21-x20a2]，[n2=b21-m2a2]，代入上式消元化简得[kMA·kMB=-b2a2]。

[例4]如图1所示，椭圆[C]：[x2a2+y2b2=1]经过点[1，32]，其离心率[e=12]。

（1）求椭圆[C]的方程;

（2）直线[l]过坐标原点[O]，且不与[x]，[y]轴重合，交椭圆[C]于点[P， Q]，过点[P]作[x]轴的垂线，垂足为点[D]，连接[QD]并延长交椭圆[C]于点[E]，试判断直线[PE]和[l]的斜率乘积是否为定值。若为定值，请求出该定值，否则请说明理由。

解析：（1）[x24+y23=1]（过程略）;

（2）假设点[P（x1， y1）]，[E（x2， y2）]，则[Q（-x1，-y1）]，[D（x1， 0）]，且[y12=3-3x124]，[y22=3-3x224]，

[所以kPE·kQE=y2-y1x2-x1·y2+y1x2+x1=y22-y12x22-x12=3-34x22-3-34x12x22-x12=-34。]

又[kQE=kQD=y12x1]，故[kPE=-3x12y1]，[kPQ·kPE=y1x1-3x12y1=-32]。

即[PE]和直线[l]的斜率之积为定值[-32]。

本题中椭圆上的点[P]与点[Q]关于坐标原点对称，所以直线[PE]与[QE]的斜率之积为定值。只要我们心中有这个结论，解题的方向也自然就明确了。

类似地，在双曲线中也存在这一结论。

[例5]已知点[B（-a， 0）]，[C（a， 0）（a>0）]，过点[B]的直线[l]和过点[C]的直线[m]相交于点[A]，设直线[l]的斜率为[k1]，直线[m]的斜率为[k2]，如果[k1·k2=b2a2]，求点[A]的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线。

不难得出点[A]的轨迹方程为[x2a2-y2b2=1x≠a]，轨迹为双曲线。

结论3 已知双曲线[C]：[x2a2-y2b2=1（a， b>0）]的左、右顶点为[A]、[B]，[M]为[C]上不同于[A]、[B]的一点，则直线[AM]、[BM]的斜率之积为定值[b2a2]。

证明：已知点[A（-a， 0）]，[B（a， 0）]，设点[M（x0， y0）]，则[kMA=y0x0+a]，[kMB=y0x0-a]，所以[kMA·kMB=y20x20-a2]。

又因为[x20a2-y20b2=1]，所以[y20=b2x20a2-1]，代入上式消元化簡得[kMA·kMB=b2a2]。

计算量大是圆锥曲线问题的重要特征，因此在解决圆锥曲线问题时除了要注意上述几个关键点，还要做到准确计算。

总之，圆锥曲线问题虽然形式多变，方法灵活，但是只要我们能够准确把握好关键点，就能以不变应万变，顺利、准确地解决问题。

（责任编辑 黄桂坚）