巧用公式 妙手生花

王霞

【摘 要】  中考试题中常涉及到求双曲线上任意两点与坐标原点围成三角形面积的问题，其解法常用图形割补法，但图形割补法不仅图形复杂且计算量大，而且成功率较低.本文提供一种简洁巧妙的公式，利用它进行计算将大大提高解题速度和准确率.

【关键词】   反比例函数;三角形面积;图形割补

在反比例函数背景下探究几何图形的面积，是反比例函数中的一类典型问题，是数形结合的典范[1].中考试题中常涉及到求双曲线上任意两点与坐标原点围成的三角形面积问题.解决此类问题的常规方法采取割补的方法，将三角形的面积转化为其它规则图形（如矩形、梯形等）的面积来解决.这种方法计算量较大，体现不出数学的简洁美，下面提供一种简洁的、公式化的计算方法，以供参考.

1  公式及证明

如图1，已知A（x 1，y 1）、B（x 2，y 2）为双曲线y= k x （k>0）上的任意两点，则点A、B与坐标原点O围成的三角形的面积为：S △AOB= 1 2  k ·  x 1 x 2 - x 2 x 1  （其中A，O，B三点不共线）.

下面就采用常规的方法——图形割补法对上述结论给与证明.

我们知道，双曲线y= k x （k>0）的图象有两支组成，为了证明的严谨性，我们应分两种情况进行证明：（1）点A和点B在双曲线y= k x （k>0）的图象的同一分支上（以两点都在第一象限证明），如图1①;（2）点A和点B在双曲线y= k x （k>0）的图象的不同分支上，如图1②.

证明  （1）如图1①，已知A（x 1，y 1）、B（x 2，y 2）为双曲线y= k x （k>0）上任意两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，交x轴于M，N，则：

S △AOM= 1 2  x 1 · y 1 = 1 2  x 1y 1 = 1 2  k ，

S △BON= 1 2  x 2 · y 2 = 1 2  x 2y 2 = 1 2  k ，

所以S △AOM=S △BON= 1 2  k .   ①

所以S △AOB=S 四边形OABN-S △BON=S 四边形OABN-S △AOM=S 梯形AMNB，

即S △AOB=S 梯形AMNB[2].  ②

因为S 梯形AMNB= 1 2  y 1+y 2 · x 2-x 1

= 1 2   k x 1 + k x 2  · x 2-x 1 = 1 2  k · （ 1 x 1 + 1 x 2 ）·（x 2-x 1） = 1 2  k ·  x 1 x 2 - x 2 x 1  . 所以S △AOB= 1 2  k ·  x 1 x 2 - x 2 x 1  .

（2）如图1②，延长BO与双曲线的另一分支交于点C.

由反比例函数的中心对称性可知：OB=OC，C（-x 2，-y 2），则

S △AOB=S △AOC=S 梯形AMNC= 1 2  y 1+（-y 2） · （-x 2）-x 1

= 1 2   k x 1 - k x 2  · x 2+x 1 = 1 2  k · （ 1 x 1 - 1 x 2 ）·（x 2+x 1） = 1 2  k ·  x 1 x 2 - x 2 x 1  .

注  上述证明过程中的①式、②式是反比例函数中的两个重要结论，应用率非常高.本文中公式是在②式的基础上推演而生，感兴趣的话您可以尝试从其它角度推演.  2  公式的应用

上述公式简洁对称，易于记忆.只要知道反比例函数的解析式及其图象的任意两点的横坐标（或这两点横坐标的倍分关系），就可求出：双曲线上任意两点与原点（三点共线时除外）连接而成的三角形的面积.下面通过实例说明其应用.

例1  （2021年乐山市中考）如图2，直线l分别交x轴、y轴于A，B两点，与反比例函数y= k x （k≠0）的图象交于P，Q两点.若AB=2BP，且△AOB的面積为4.

（1）求k的值;

（2）当点P的横坐标为-1时，求△POQ的面积.

解析  （1）由AB=2BP，△AOB的面积为4，知

AB AP = 2 3 ， S △AOB S △AOP = AB AP = 2 3 ，所以S △AOP= 3 2 S △AOB= 3 2 ×4=6.

过点P向x轴作垂线交x轴于点H，则PH∥BO，

所以 AO OH = AB BP = 2 1 ，所以 S △POA S △POH = AO OH = 2 1 ，

所以S △POH= 1 2 S △AOP= 1 2 ×6=3，

所以 k =2S △POH=6.因为k<0，所以k=-6.

（2）由（1）知y=- 6 x ，所以P（-1，6）.

由 BO PH = AB AP = 2 3 ，知OB= 2 3 PH= 2 3 ×6=4，所以B（0，4）.

由点P（-1，6），B（0，4）可得y AB=-2x+4.

由  y=- 6 x ，y=-2x+4，  可求得点Q（3，-2）.

所以S △POQ= 1 2  k ·  x 1 x 2 - x 2 x 1  = 1 2  -6 ·  -1 3 - 3 -1  =8.

例2  （2022年广元市中考）如图3，已知平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y= k x 的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积是6，那么k的值是 .

解析  连接OC，因为点C是AB的中点，所以S △BOC= 1 2 S △OAB= 1 2 ×6=3.

分别过点C，B向x轴作垂线，垂足分别为点M，N，则BN∥CM，BN=2CM.即点B的纵坐标为点C纵坐标的2倍.

设点C的坐标为（t， k t ），所以点B的坐标为（ 1 2 t， 2k t ）.

由公式，得S △BOC= 1 2  k ·  t  1 2 t -  1 2 t t  =3，

整理求得k=-4（正值舍去）.

例3  如图4，直线y=-x+b与双曲线y= 1 x （x>0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，若S △OAB=S △OAD+S △OBC，则b= .

解析  由直线y=-x+b的解析式，可知点C（b，0）、D（0，b），

所以S △COD= 1 2 CO·DO= 1 2 b2.

因为S △OAB=S △OAD+S △OBC，

所以S △AOB= 1 2 S △COD= 1 4 b2.

由题意，得-x+b= 1 x ，

所以x2-bx+1=0，解得x= b± b2-4  2 ，

所以A、B两点的横坐标分别为 b- b2-4  2 、 b+ b2-4  2 .

由公式，得S △AOB= 1 2 ×1×   b- b2-4  2   b+ b2-4  2  -  b+ b2-4  2   b- b2-4  2   = 1 4 b2，

整理，得 b b2-4  = 1 2 b2，两边平方，化简求得b= 4 3  3 .

例4   （2019年新疆中考）如图5，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=-2x与反比例函数y= k x 的图象相交于A（a，-4）、B两点，过O点的另一条直线l与双曲线y= k x 的图象相交于P、Q两点（点P在第二象限），若以A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标是 .

解析  由直線y=-2x与双曲线y= k x 的图象相交于点A（a，-4），于是可求得点A（2，-4），反比例函数的解析式为y=- 8 x .

由反比例函数图象的中心对称性可知，OA=OB，OP=OQ，

所以四边形AQBP是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. 对角线将平行四边形的面积四等分，所以S △POA=6.

设点P坐标为（t，- 8 t ）（t<0），

所以S △POA= 1 2 × -8 ·  2 t - t 2  =6，解得，t=-1或t=-4，所以点P坐标为（-1，8）或（-4，2）.

评注  本例中的常规解法，需要进行分类讨论.按点P在点B的上方或下方两种情况进行分类解答.部分学生由于受思维定势的影响会出现漏解的情况，而运用本文中的公式解答则可避免因分类讨论而产生漏解的情况，从而提高了解题的正确性.     图6

例5  （2022年宁波市中考）如图6，矩形OABC，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y= 6 2  x （x>0）的图象上，BE⊥x轴于点E，若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC面积为9 2 时， EF OE 的值是 ，点F的坐标为 .

解析  连接OD.

因为点A关于OB的对称点为D，

所以△BOD≌△BOA，所以S △BOD=S △BOA=S △BOC= 9 2  2 .

因为△BOD≌△OBC，同底且面积相等，

所以DC∥BO，连接BF，由S △BOF=S △BOC= 9 2  2 ，

所以 EF OE = S △BEF S △BEO = S △BOF-S △BOE S △BOE =  9 2  2 - 6 2  2   6 2  2  = 1 2 ，

所以OF= 3 2 OE.

设点B（a， 6 2  a ），D（b， 6 2  b ）（b>a>0）.

由公式得，S △BOD= 1 2 ×6 2 ×  a b - b a  = 9 2  2 ，

整理，得2b2-3ab-2a2=0，解得b=2a，b=- 1 2 a（舍去），

所以D（2a， 3 2  a ），OF= 3 2 OE= 3 2 a，点F（ 3 2 a，0）.

过点D作DG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥y轴，交GD的延长线于点H.

由△BHD∽△DGO，得 BH DG = DH OG ，即 2a-a  3 2  a  =  6 2  a - 3 2  a  2a ，解得a= 3 .

所以点F（ 3 3  2 ，0）.

在解决数学问题的过程中，既要让学生掌握并灵活运用课本上直接或间接给出的结论，还应重视以现有结论和相关题目为载体多角度、多元化的深入研究，进而推导出的新结论的应用.这些结论，不仅能帮助我们快速找到解题的思路，而且对选择题、填空题等特殊题型的解答，更能起到事半功倍的效果.这不仅有助于激发学生的学习兴趣，又能培养学生应用数学结论解决数学问题的能力，同时还提高了学生的数学创新意识，对发展学生的数学思维能力具有重要的现实意义.

参考文献

[1] 韦丽云.把握思维规律 提升复习实效——以“反比例函数与图形面积”为例[J].中学数学教学参考（中旬），2022（4），73-75.

[2] 李春花.反比例函数中的几个重要结论及应用[J].中小学数学（初中版），2019（11），55-57.