小题压轴 构建支架 凸显本质

陈冬

【摘 要】  选择题、填空题的压轴题虽为一道小题，但其题量内涵、知识外延、思维的广度与深度、选拔的区分度与难度等都会有所提升，如果按常规的解题技巧和方法去做，可能花了较多时间算出来还是模棱两可的结果.为此，压轴小题常有其独特的解题思路和策略，构建恰当、合理的情境支架，多方位、多角度构建情境支架，既有利于压轴小题思路的展开与延伸，又激发了压轴小题本质的凸显与深化.

【关键词】  情境;支架;本质

原题呈现  （2022年江苏省苏州市中考第16题） 如图1，在矩形 ABCD中， AB BC = 2 3 .动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN.动点M，N同时出发，点M运动的速度为v 1，点N运动的速度为v 2，且v 1

分析  本题属于矩形背景下的动点问题、翻折问题，涉及到矩形的性质、翻折性质、轴对称性质、中点性质、两个三角形相似的判定与性质、勾股定理及两个三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握相關判定及性质，求出相应线段长是解决这道压轴题的关键.

解答  如图2，在矩形ABCD中， AB BC = 2 3 ，设AB=2a，BC=3a，所以CD=AB=2a，AD=BC=3a，运动时间为t，所以BN=v 2t，AM=v 1t.在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N，所以B′N=BN=v 2t，A′M=AM=v 1t.若在某一时刻，点B的对应点B′恰好在CD的中点重合，所以DB′=B′C=a，在 Rt △B′CN中，∠C=90 ° ，B′C=a，B′N=v 2t，CN=3a-v 2t，由勾股定理：B′C2+CN2=B′N2，易得BN=v 2t= 5 3 a.

因为∠A′B′N=∠B=90 ° ，所以∠A′B′D+∠CB′N=90 ° .因为∠CNB′+∠CB′N=90 ° ，所以∠A′B′D=∠CNB′，所以△EDB′∽△B′CN，所以 DE DB′ = B′C CN = B′C BC-BN = a 3a- 5 3 a = 3 4 .

因为DB′=B′C=a，所以DE= 3 4 DB′= 3 4 a，则B′E= （DB′）2+DE2 = a2+  3 4 a 2 = 5 4 a，所以A′E=A′B′-B′E=2a- 5 4 a= 3 4 a，即DE= 3 4 a=A′E.

在△A′EM和△DEB′中，

∠A′=∠D=90 ° ，A′E=DE，∠A′EM=∠DEB′，

所以△A′EM≌△DEB′（ ASA ），所以A′M=B′D=a，即AM=v 1t=a，所以 v 1 v 2 = v 1t v 2t = AM BN = a  5 3 a = 3 5 .

解后思考  上述解答实为本题的通式通法，充分利用图形翻折、矩形的性质、中点性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及全等三角形的判定与性质等诸多知识，最终解决了两动点的速度之比问题.但回头细想，本题为填空式压轴题，涉及的知识点多、计算量大，学生在较短时间内解决这个问题，必定要费些周折.那有没有快捷、有效的解题思路方法呢？答案是肯定的，我们来欣赏几种解法.

1.特殊值法

分析  此题用这个特殊值作情境支架的话，可以简化参数带来的繁琐，可能比较贴近学生的思维，学生更容易上手解答.当然作为填空题，这样做也不会影响最后正确答案的得出.

简答  如图3，由题中 AB BC = 2 3 ，我们不妨设AB=2，BC=3，则AB=CD=2，AD=BC=3，由点B′为CD的中点，可得DB′=B′C=1.在 Rt △B′CN中，由勾股定理：B′C2+CN2=B′N2，易得BN=B′N= 5 3 ，CN= 4 3 .由∠A′B′N=∠C=∠D=90 ° ，易证△EDB′∽△B′CN，于是便可得DE= 3 4 ，B′E= 5 4 ，又A′B′=AB=2，易得A′E= 3 4 ，然后发现△A′EM≌△DEB′（ ASA ），可得A′M=B′D=1，即AM=A′M=1，则 v 1 v 2 = AM BN = 1  5 3  = 3 5 .

2.K模型法

分析  本题通过翻折发现图中存在“K”字形这个基本图形，然后直接利用“K”字模型作情境支架，将三角形问题“模块”化，利于拓展解题思路，提高解题效率.当无法直接发现“K”字形图，欲利用这种基本模型来解决问题，可以通过添加辅助线的方法，构造出我们熟悉的K模型.当然，“K”字形图一般为“一线三垂直”形式，从中可以得出两三角形全等或相似.有时我们可将垂直条件弱化，同样可以构造出“K” 字形图.

简答  如图4，我们可以在原题解答的基础上，连接MB和MB′，利用翻折可知MB=MB′，易证△MDB′≌△BAM，于是AM=DB′=a，则 v 1 v 2 = v 1t v 2t = AM BN = a  5 3 a = 3 5 .

3.十字架模型法

分析  “十字架模型”是数学平面几何中比较重要的一个模型.常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架.本题除了由折叠的性质得到图形全等外，还能由轴对称分析得出：对称轴垂直平分对应点之间的连线段.为此，我们构建这个“十字架模型”作情境支架，引导学生透过表象，抓住本质看问题，充分挖掘解题模型隐含着的关键信息和特征条件，学生就能进一步实现知识的迁移应用，拓宽思维，加深对模型的全面理解，提高解题能力[1].

简答  如图5，连接BB′，过点M作MG⊥BC于G.BB′与MN构成“十字架”，由翻折可知BB′⊥MN，易证△MNG∽△BB′C，得 MG BC = NG B′C ，由MG=AB=2a，B′C=a，BC=3a，得出NG= 2 3 a，再由NB= 5 3 a，可得出AM=BG=a，则 v 1 v 2 = v 1t v 2t = AM BN = a  5 3 a = 3 5 .

4.角平分线+平行线等腰三角形

分析  角平分线与等腰三角形有着紧密的联系.比如，在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形.当一个图形里出现角平分线和平行线时，我们发现图中会出现两角相等或两线段相等，即“角平分线+平行线等腰三角形”.本题我们可构建这个模型作情境支架，透过表面现象，挖掘本质属性，便会从中归纳出某些规律性的东西，并可以用这个共性结论去指导解决类似的问题[2].

简答  如图6，其实这道题的难点在于如何求AM的长度，我们可以延长NB′和AD，两延长线交于点H.由翻折知∠MNB=∠MNB′，由AD∥BC可得∠MNB=∠DMN，则∠MNB′=∠DMN，于是有HM=HN.易证△HDB′≌△NCB′，则有HB′=NB′= 5 3 a，HD=NC= 4 3 a，于是有HM=HN= 10 3 a，DM=HM-HD= 10 3 a- 4 3 a=2a，所以AM=AD-DM=a，则 v 1 v 2 = v 1t v 2t = AM BN = a  5 3 a = 3 5 .

5. 建立坐标系法

分析  一般来说，几何问题较多利用几何图形的性质与判定来解，但如果我们跳出这个框框，构建适当的平面直角坐标系作情境支架，从中可以说明或确定某些点的位置、运动的快慢、方向等.因此，我们可以在此坐标系中，按规定方法选取有次序的一组数据，即“坐标”，利用这些点的坐标就能计算线段的长度或求解出直线的函数解析 式.笔者以为这种想法会让同学们对坐标法的作用有更进一步认识，这是坐标系里由两点坐标得到线段长或直线解析式的具体途径，其实也是一个由“数”到“形”的过程，是我们破解压轴题应该具备的技能.

简答  此题虽为几何问题，但建立坐标系来解也不失为一种好方法.我们可以以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图7的直角坐标系，连接BB′交MN于K.由题中 AB BC = 2 3 ，可设AB=2a，BC=3a，则B（2a，0），C（2a，3a），D（0，3a），B′（a，3a），由翻折知BB′⊥MN且K为BB′的中点，于是点K（ 3 2 a， 3 2 a），可求得k BB′=-3，由BB′⊥MN知k MN= 1 3 ，可得直线MN的解析式为y MN= 1 3 （x- 3 2 a）+ 3 2 a，易求M（0，a），N（2a， 5 3 a），则AM=a，BN= 5 3 a，所以 v 1 v 2 = v 1t v 2t = AM BN = a  5 3 a = 3 5 .  综上所述， 小题虽小，但作为压轴题， 得满分似乎比大题更难，因为鉴于试题容量、试题表述等诸多因素， 压轴小题的描述相对更为精炼， 而压轴大题的描述则比较详细. 正因为这样， 压轴小题显得更难， 解答时花费时间多，

而且一不留意就要做错或一时找不到有效的方法.为此， 很多同学看到压轴小题一般就是一猜二蒙三放弃.但笔者认为，同学们要敢于嘗试压轴小题，所有难题背后涵盖的就是解题技巧和方法.只要同学们能熟练掌握数学模型和通性通法， 构建合适的情境支架，深挖问题内在的本质，善于灵活机动，精于相互验证，压轴小题自然会迎刃而解.

参考文献

[1] 施长燕.巧用K字型，品基本图形在相似中的妙用[J].中学课程辅导（教师通讯），2016（18）.

[2] 梁珏，朱宸材.难舍难分的角平分线与等腰三角形[J].中学生数理化（八年级数学），2015（09）.