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数学与体育馆的结合

2017-03-29尤建琴

数学学习与研究 2017年5期
关键词:反比例函数实际问题

尤建琴

【摘要】 本文在陶行知老先生的名言“教育中要防止两种不同的倾向:一种是将教与学的界限完全泯除,否定了教师主导作用的错误倾向;另一种是只管教,不问学生兴趣,不注重学生所提出问题的错误倾向.前一种倾向必然是无计划,随着生活打滚;后一种倾向必然把学生灌输成烧鸭”的启发下,联系体育馆中的一系列问题,引导学生用反比例函数的知识给予解决.

【关键词】 反比例函数;实际问题;函数关系

随着社会的发展,数学的应用已经渗透到生活的各个领域,函数是数学的核心和主线,它的内涵恰好能体现不断变化的事物的本质及事物间的内在联系.而反比例函数经常作为主角出现在函数的应用中,如通讯话费、计程车计费、银行利率、邮资、个人所得税等,所以,很有必要在这些方面开展研究性学习.这样既能使学生体悟数学的应用价值,又能激发其学习数学的兴趣,还能形成学数学、用数学的思维和意识.下面笔者以与学生息息相关的体育馆中的一系列问题,用反比例函数给予解决,探讨反比例函数的应用.

问题1 莲花学校要筹建新的体育馆,其地基为长方形,占地面积为2 400平方米.(1)体育馆的长与宽之间具有怎样的函数关系?(2)如果体育馆的宽为100米,那么长为多少?(3)由于場地的限制,长最多为60米,那么宽应该满足什么条件?

解析 (1)设长为x,宽为y,由长方形面积=长×宽,可得y= 2400 x ;

(2)将y=100代入y= 2400 x ,可得x=240;

(3)长最多为60米,即x≤60,这个很像是一道解不等式的题目,但学生很难用解不等式解决,这里通常有两种方法:① 根据反比例函数的增减性,因为k>0,x>0,y随x的增大而减小,所以考虑临界值,当x最大为60时,y最小值为400,即y≥400.② 根据反比例函数的图像,因为k>0,x>0,图像在第一象限,从左到右呈下降趋势,根据x的取值范围确定对应的图像,进而得出y的取值范围.

分析 此题是以莲花体育馆的筹建为背景引入的,让学生来当一回设计师,设计体育馆的地基,就像陶行知老先生说的:“教育不能创造什么,但它能启发儿童创造力以从事于创造工作.”这题的三小题分别用反比例函数的解析式、取值以及增减性解决.问题(1)的反比例函数关系式是由长方形面积公式直接得出的;对于问题(2)的解答,只要将y=100的数值代入关系式中,就可以求出相对应的x数值;问题(3)是对反比例函数增减性的考查,也可结合图像更直观地感受当长最多为60米时,宽应该满足的条件,这里还用到了临界值,当考虑某一变量的取值范围时,往往会先分析临界值,在下面的题目中我们还将涉及.

问题2 某建筑商出售一批进价为2万元/吨的钢材,在市场营销中发现此钢材的销售单价x万元/吨与销售量y(吨)之间有如下关系:

x(万元/吨) 3 4 5 6

y(吨) 20 15 12 10

(1)猜测并确定y与x之间的函数关系式;(2)设经营此钢材的销售利润为w万元,试求出w与x之间的函数关系式;(3)若物价局规定此钢材的销售价最高不能超过10万元/吨,请你求出当销售单价x定为多少万元时,才能获得最大销售利润?

解析 (1)由四组数据积的不变性,可以得出xy=120,y= 120 x ;

(2)根据销售利润=单件利润×销售量,得出w=(x-2)y,但题目要求是w与x之间的函数关系式,这里将把第(1) 小题中的y= 120 x 直接代入,得到一个新函数w=- 240 x + 120;(3)对于函数w=- 240 x +120,已知x≤10时,确定w的取值范围,应把w看成两项,一项为定值120,一项为变值- 240 x ,所以w的取值范围由- 240 x 确定,也有两种方法:① 根据反比例函数的增减性,因为k<0,x>0,y随x的增大而增大,所以考虑临界值,当x最大=10时,w最大=96,即0≤w≤96.② 根据反比例函数的图像,因为k<0,x>0,图像在第四象限,从左到右呈上升趋势,根据x的取值范围确定对应的图像,得出- 240 x 的取值范围,进而得出w的取值范围.

分析 这题是以莲花体育馆建造时,钢材供应商经营策略为背景引入的,它在问题1的基础上有所提高,体现了不同的求解析式的方法.这里的设计主要想体现陶行知老先生的名言:“好的先生不是教书,不是教学生,乃是教学生学.”让学生在已有的基础上进一步提升.问题(1)的反比例函数关系式是由售价与销售量乘积的不变性,直接得出的;问题(2)在确定了销售量与销售价之间的反比例函数关系之后,根据总利润=单价利润×销售量或者总利润=销售额-成本的数量关系,列出w与x之间的关系式,这里销售量y要用x来表示;问题(3)根据利润的函数关系式w=- 240 x +120,由x的取值范围来确定w的取值范围,这里应该把w的函数关系式看成由- 240 x 和120两部分组成,而其中的120是不变的,所以w的值主要由- 240 x 来确定,也就是由反比例函数的增减性来确定,其实这一题和问题1的第三小题是考查的同一知识点,但却比问题1要难.

问题3 如图,体育馆建成之后,学校对它进行药熏消毒.已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例,药物燃烧完后,y与x成反比例.现测得药物8 min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg.请根据题中所提供的信息,解答下列问题:

(1)药物燃烧时,y与x的关系式为 ;药物燃烧完后,y与x的关系式为 ;

(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6 mg时学生方可进入教室,那么从消毒开始,至少经过 min后,学生才能回到教室;

(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次药熏是否有效?请说明理由.

解析 (1)由图像可知,它有两部分组成,一条经过原点的线段和一条曲线,可知它对应两个函数:正比例函数和反比例函数,所以当08时,y= 48 x ;(2)含药量即为y的值,相当于已知y=1.6,代入反比例函数y= 48 x 求相应的x;(3)已知y的取值范围y≥3,求出x的取值范围,主要用临界值的方法,把y=3分别代入正比例函数y=0.75x和反比例函数y= 48 x ,求出相应的x,即在图像找出y=3相对应的两个点,再找出y≥3时相对应的图像,把两个x相减,得出的差与10做比较,如果差大于或等于10则有效,如果差小于10则无效.

分析 问题(3)是以对体育馆进行消毒为背景引入的.相对于问题(1)、(2),它多了图像,也就是说主要要结合图像来解决此题.第(1)小题是根据图像用待定系数法求出函数关系式;第(2)小题是常规的已知y代入解析式求x,但此题有两个函数关系式,学生要根据题目要求选择适当的解析式,因为题目要求“学生进入教室”,所以要选择反比例函数;第(3)小题是第(2)小题的延伸,它是已知y的取值范围确定x的取值范围,主要体现了数形结合思想.

就像陶行知老先生说过的:“活的人才教育不是灌输知识,而是将开发文化宝库的钥匙,尽我们知道的交给学生.”

所以,我在前面三个问题的基础上,设计的问题4,它只给出了图像以及简洁的提示,没有给出任何问题,主要由学生自主提出问题并解决问题,以此提升学生的能力以及对知识点认知的升华.

问题4 体育馆建成之后,很多教师去参观,体育教师就热情地邀请他们喝茶.图中是喝茶前,烧水和泡茶两个工序中,水温随着时间的变化所呈现的图像,其中BC=1,CD为反比例函数图像的一部分.根據以上信息,你能设计出哪些与烧水、泡茶有关的问题.

解析 问题4是以烧水泡茶为背景引入的.这个题目抛出后,极大地调动了学生的参与性和积极性,他们结合前面三个问题所用到的知识点,想出了一系列的问题.(1)根据图像求出函数关系式;解答:因为图像分为三段,所以它对应三个函数关系式,但根据图中给出的已知条件,只能先求出CD段的反比例函数y= 900 x (x>9),进而求出点C坐标(9,100),点B(8,100),并确定BC段的函数y=100(8

综合以上问题,我们不难发现求解反比例函数应用题的一般策略,即充分阅读和理解题目的具体内容,找出其中隐含的必要条件,从而确定相应的反比例函数关系式,然后,结合图像利用方程或不等式等方法解决相应问题.

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