利用问题变式，促进数学思考

[摘  要] 探寻简单自然的方法是数学解题追求的基本要义.波利亚指出，当原来的问题看起来似乎不好解时，就构想一个合适的辅助问题.辅助问题从何而来？可以是从认知基础变式而来. 数学课堂从一个最简单的问题出发，通过不断改变问题的条件，挖掘问题的思维价值，深化对数学问题的理解，进一步凸显数学的思考. 数形结合，以形解数，以数助形，一法贯穿，有助于认识数学问题的本质;“多思少算”提升学生的思维层次和思维品质. 课堂教学应当关注问题变式的研究与实施.

[关键词] 数形结合;问题变式;数学思考

二次函数综合题是基于二次函数本质、图像变化，再以三角形或四边形等几何关系为转化桥梁，考查学生应用数学思想方法等综合解题的能力. 想让学生体会几何与数量关系转化的实质，教学的核心任务是理解和转化问题[1]，那么，如何设计教学任务促进学生思考？我们尝试从理解数学、理解学生、理解教学三个维度来展开教学设计. 下面以“二次函数数形结合微专题——探索面积背景下如何确定动点的坐标”为例，阐述具体的教法和学法.

问题探究，形成策略

问题分析：

3. 理解教学：俗话说“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好”， 此处设计“用数定形，再以形求数”的方法解决问题，抓住两个三角形AB同为底，要使得，只能是点P到AB的距离是点C到AB的距离的2倍，进而确定点P的位置是与x轴距离10的地方，即在直线y=±10上. 点P的位置既在抛物线图像上，又在直线y=±10图像上，即“两条轨道相交处”为点P（如图2所示），最后借助方程思想得以求解P的坐标. 这种“定形”方法解决问题1感觉是有点“不必要”，但是它正是本次“数形结合”问题研究的起点，同时也帮助学生理解坐标分类的道理. 目的是引导学生归纳求动点坐标的一般思路：①先“定形”——确定符合要求的动点位置;②再“定量”——求动点所在直线的解析式;直线与抛物线解析式联立方程，求出动点P的坐标.

解决问题，形成方法

问题分析：

1.理解数学：问题2是问题1的变式，虽然两个三角形面积确定，但共有的边（AB）从平行于x轴，转变为斜向（BC），将点与线的距离由特殊化（距离即坐标）转变为一般化（距离非坐标）.

2. 理解学生：学生用原有的方法处理这个问题是有一定难度的，原因是不能顺利将△BCP 的BC边上的高转化成“坐标”. 经过问题1的启发，大部分学生能通过高之比为3∶2，确定点P可能在的位置有两处，即能对符合点P的位置进行“定形”;但是在“定量”时，部分学生在求动点P所在直线解析式时遇到了问题. 问题①：有学生想求出直线平移的距离来确定解析式，但不能准确理解平移的距离是哪一段;问题②：有学生通过线的平行知道直线解析式的k，但是不知道再找哪个点来确定直线解析式，或者如果找到一个点（如与坐标轴的交点），也不知道如何求这个交点的坐标. 也有学生善于利用“数形结合”解决该问题[2].

3. 理解教学：问题2延用问题1的方法，找到符合条件的动点P的位置，这里只列举一种，其他以此类推，如图4所示. 将三角形面积之比转化成高之比，进而利用平行线分线段成比例，将线段比“化斜为正”，即将斜向的线段比转化成y轴上的线段比，具体做法如下：

直线NG的解析式为y=x-9. 联立方程y=x2-4x-5，y=x-9，解得x1=1，y1=-8.x2=4，y2=-5，所以点P的坐标为P1（1，-8），P2（4，-5）.

也可以如图5所示，同理将线段之比转化到x轴上AB与BH之比. “形”的处理，引导学生不用计算三角形BC边上具体的高，不用具体求出线段EG长，从而达到方法的优化，思维的进阶. 学生通过图形的分析，找到条件和结论之间的联系点，实现“几何”关系和“代数”关系的互化，挖掘在解析几何中“数形结合”思想的本质，体会转化的数学思想和从特殊到一般的数学问题探究方法.

方法应用，拓展延伸

问题分析：

1. 理解数学：问题3是问题2的变式和拓展，不同的是△CPD，△CQD两个三角形的面积是动态的，不能确定面积大小，但面积比为1∶3是确定的.但如何确定点P坐标？问题设置螺旋上升，数学思考也更深一层.

2. 理解学生：前面两个问题的完成，学生逐渐形成了自己的理解，但是处理两个动态三角形的问题可能还是会遇到困难. 比如面积比1∶3转化成共底边CD上的高，但是两条高都是变化的，又怎么处理？可以转化成到底PD与底DQ边上的比吗？或者转化成到CQ边上的高之比吗？猜想很多，如何筛选？

3. 理解教学：通过类比的方法研究条件为“两个动三角形”面积之比为定值的问题，再次感受用平行线将线段比“化斜为正”的转化思想，体会这种转化思想的“优越性”，从而提高学生分析问题、解决问题的能力，体会数形结合思想的重要性，发展学生的核心素养.学生可能用到的方法归纳如下：

方法1：如图7所示，过P，Q分别作PH⊥x轴，QG⊥x轴，则PD∶DQ=PH∶QG=3∶1，再利用坐标关系代数化，带入解析式求解.

方法2：如图8所示，过P，D分别作PN∥BC交y轴于点N，DM∥BC交y轴于点M，则PD∶DQ=NM∶MC=3∶1，再利用MC确定NM，从而确定动点P的直线解析式，最后联立解析式求解.

方法对比：方法1，坐标法表示关系，建立方程，容易想，但计算烦琐，坐标与线段互化符号容易出错;方法2，转比（面积比转线段比，斜向线段比转正向线段比），计算简便，但不容易想到. 可能学生还有另一个转线段比的方法，如图9所示，这里不再赘述. 解决数学问题，要“多思少算”，利用图形中的不变量与图形的性质进行转化，在变中围绕不变量转化会事半功倍！借助几何画板，将学生的方法及原理展示出来，让学生总结研究问题的方法、解决问题的策略等，点明整节课的主线，加深学生的印象.

专题抓住“線段转化”为主线，从一个简单易解的面积问题出发，循序展开三个问题，问题层层深入，设计连续变式.看似不同的问题，实则内在紧密联系，形成方法自然水到渠成.探究如何“化斜为正”转化线段，体现“数形结合”的优越性，化繁（数）为简（形），以形解数、以数助形的数学思想，启发学生对二次函数综合问题的思考. 课后，还可以鼓励学生“原创”问题，在同一个二次函数背景下，你能根据哪些简单的数学问题，变化出一串相关联的，并且有研究价值的问题？以小组为单位展开数学活动.综合性再强的函数问题，都是由简单到复杂的变式，由特殊到一般的变式，由静态到动态的变化[3]，学生亲自参与到探讨和设计数学问题，并验证问题是否具有研究性，发散学生思维，启迪思考与反思，相信这将是学生真正做数学的开始.

参考文献：

[1]  朱建良. 设计迁移问题 助力深度探究——以“二次函数——设元引参”专题复习为例[J]. 数学通讯，2021（15）：5-7.

[2]  温晖，曾爱群. 在专题复习中提升数学核心素养——以“二次函数综合性问题”为例[J]. 中学数学研究（华南师范大学版），2021（14）：19-23.

[3]  刘才云. 题组变式渐次呈现，简约开放对话让学——以“含参二次函数”专题课打磨为例[J]. 中学数学，2021（18）：25-26.

作者简介：朱春烨（1990—），本科学历，中学一级教师，从事中学数学教学工作.