基于深度学习 重拾教材碎片

[摘  要] 初中数学教学中，受学生思维力和知识储备等因素的限制，会遗留知识碎片.教师基于深度学习理念，在整体理解课程和精准评估学情的基础上，重拾碎片，设计融合章节的大单元教学，让学生在深度学习中发展核心素养.

[关键词] 深度学习;教材碎片;核心素养;单元整体

受学生的思维力和知识储备等因素的限制，在数学教学中，不可避免地会遗留一些知识碎片，给学生设置了“知其然，不知其所以然”的认知门槛. 知识的零散与断层，让部分学生难以把握数学的整体结构，使教学陷于浅层次、低效率的困境. 初中数学深度学习要求能够整体呈现初中数学内容的结构，以融会贯通的方式对學习内容进行组织、整合[1]. 教师基于这一理念，在学生思维力和知识储备达到要求时，重拾教材碎片，跨章节融合教材，贯通式设置教学环节，形成有思维场的大单元教学，为学生搭建学习阶梯，使学生在解决问题的情境中，达成构筑知识体系，实现思维进阶，发展核心素养的教学目标.

问题提出

1. 问题背景

图1和图2是苏科版七下第12章“证明”的章头图.

原文：图1是面积为64的正方形纸片，把它剪成4块，按图2所示重新拼合，这4块纸片恰好能拼成一个长为13、宽为5的长方形吗？

2. 教材思考

该章头图旨在通过拼合图形，给学生营造出将面积为64的正方形拼成了面积为65的长方形的“神秘”情境，激发学生的学习兴趣，在教师的引导下，通过操作、观察和思考，寻找“面积多出1”的原因，感知该“神秘”情境的不合理性. 让学生认识到通过思考、观察、操作、实验得到的结论不一定是正确的，为学生种下追求真理的种子，感受证明的合理性与必要性，揭开章节学习的序幕，实现从合情推理到演绎推理的交融过渡.

该章头图虽然培养了学生的问题意识，激发了学习兴趣，但数学的核心是解决问题，仅发现、提出问题，没有分析、解决问题，知识生长链条不完整. 而以七年级学生的知识储备与思维层次，的确较难找到面积相差1的说理方法，通常是教师给出“矩形的中间有空白”、“不能拼成长、宽分别为13和5的矩形”等解释，学生的印象不深刻，对知识的理解浮于表面，随着时间的推移，较多的学生容易淡忘. 该图在七年级的教学中，虽发挥了启后的作用，却以“碎片”的形式遗留，在某种程度上限制了学生的思维进阶.

通观苏科版初中数学6册教材，该图没能如“搭小鱼”等情境，随着学生思维进阶与知识储备增多而渐次呈现. 该章头图虽为学生埋下了思维的种子，却没能催生、成长，留白过大，给学生设置了“知其然，不知其所以然”的认知门槛.

教学实施

1. 设计原则

学生的思维水平与知识储备是决定能否有效开展数学深度学习的条件之一. 苏科版数学教材八年级上册第五章和第六章分别为平面直角坐标系和一次函数，笔者在结束上述两章的教学后，基于深度学习的理念，审慎学情，以重拾教材碎片设置问题情境，融合章节实现大单元教学，学生在深度学习中发展核心素养为原则，设计并实施了以“1从哪里来？”为题的单元教学.

2. 教学片段呈现

师：同学们，七年级时，我们曾接触了这样一个问题，图1是面积为64的正方形纸片，把它剪成4块，按图2所示重新拼合，这4块纸片恰好能拼成一个长为13、宽为5的长方形吗？组成正方形的4个图形分别是哪些图形，它们之间有什么关系？

生：我发现有两个全等的直角三角形，和两个全等的直角梯形.

师：可以用什么方法验证这位同学的猜想？

生：用叠合法可以验证，两个直角三角形和两个直角梯形是对应全等的.

师：怎样拼合这4个图形，形成如图2所示的矩形？

生：直角三角形的较短直角边和直角梯形的上底长度相等，所以分别用将直角三角形和梯形组合，可分别形成两个较大的直角三角形，然后将两个大直角三角形重合斜边可组成如图2所示的矩形.

师：请同学们动手试一试.

学生完成后，展示拼成的矩形.

师：请同学们计算拼成的矩形面积是多少？

生：矩形的面积计算公式是长乘以宽，拼成后的矩形长为13，宽为5，所以面积是65.

师：比较正方形和矩形的面积，同学们有什么发现？

生：老师，我发现面积由64变成了65，这真的很神奇.

师：这种神奇的现象真实存在吗？

生：我认为存在，通过计算可以获得，图形的面积确实发生了改变.

（教室中略安静，随后有学生小声议论.）

生：我不认同这个观点，我感觉面积不可能由64变成65，因为图形面积是守恒的，重新组合只是形状发生了变化，面积是不可能改变的.

生：我记得在七年级时，老师说过这个问题，面积是不会变的，不可能由64变成65.

师：但是同学们通过计算的确发现了面积多了1，1从哪里来？观察你手里的拼图，想一想原因.

（学生观察、动手、思考.）

生：我认为面积不可能多1，但是我没找到合理的解释.

生：我刚才在摆动矩形的过程中，发现矩形的对角线好像没能完全贴合，不知道是不是我裁剪的过程中有误差.

有学生附和也发现了这一现象.

师：同学们，如何来验证对角线不在一条直线上呢？

生：可用平角，因为平角是180°，利用特殊角可以证明.

师：你的思路很好，能想到从形的角度来解决这个问题，说说你的具体思路.

生：四个图形除直角外，其他角度都不明确，不能完成证明.

师：这位同学虽然没给出具体的思路，却提供了一条有价值的线索，即我们所看到的对角线可能不在同一条线段上，可以怎样来说理呢？

生：我想可以在对角线上取3个点，过两点确定一条直线，如果第三点在直线上，则三点共线，如果第三点不在该直线上，则三点不共线.

师：直线是外显的形，结合近期所学，由直线你能想到什么？

生：一次函数的图像.

教师：很好，现在有这么多的线索了，能理出什么样的思路？

生：建立坐标系，让矩形左下顶点与原点重合，相邻的长和宽与坐标轴重合，根据题中的数据，能得出矩形两个顶点的坐标，用待定系数法求出该一次函数表达式，然后在“对角线”上再找1个点的坐标，就能验证这三点是否共线.

師：这位同学说的很细致，请同学们快速求解，我请一位同学上来展示过程.

（教师指定一名学生板书过程，完成板书后向其他学生口述解题思路.）

师：由三点不共线，可得到哪些结论？

生：可验证，矩形中间确实有空白.

生：我知道面积为什么会相差1了，因为中间有空白，四个图形在组成矩形时，并不是完全对接的，我感受到另一种证明方法.

师：在获得这一结论的过程中，同学们用了哪些方法，有什么感悟？

生：建立坐标系，将图形问题转化为代数问题，实现了数形结合.

生：以后见到直线，可以考虑能否建立一个合理的坐标系，然后用表达式描述直线.

师：同学们说得很好，理性思维是数学的核心，观察、操作得到的结论不一定正确，只有通过证明得出的结论才是正确的，课后请继续思考其他解法.

教学反思

1. 融合教材碎片，形成单元教学

教材是诠释《课标》的载体，解读课标并合理分解到章节，在课标、教材及学情间建立融通共生的渠道，需要教师从整体上把握教材的价值，催生其教与学的最大效能. 该章头图在七年级教学中，虽然发挥了帮助学生认识证明必要性的效能，但限于学生的认知水平，当时较难找到证明的思路，使认识浮于表面，没能更大程度地挖掘该情境的价值. 《课标》指出：数学教学过程中恰当地使用数学课程资源，将在很大程度上提高学生从事数学活动的水平和教师从事教学活动的质量[2]. 在八年级上学期，学生学习了平面直角坐标系和一次函数后，积累了用解析法解决问题的经验，有了重拾教材碎片，形成单元教学的基础. 此时，基于深度学习的理念，融合了矩形的性质、平面直角坐标系、一次函数等知识，设计该教学内容，形成大单元教学链条，知识的综合面广，思维跨度大，在析粹解决问题的过程中，培养学生的理性思维，拉伸了学生的深度思考域.

2. 综合运用知识，学生思维进阶

问题既是数学新知的逻辑生长点，又是数学知识、技能与能力的逻辑发展点，也是数学活动的载体. 达成深度学习的元素是多元化的，但起决定性作用的依然是教师、教材和学生. 教师要客观评价学情，对数学有深度的理解，既能设置合理的问题情境，又能找到解决问题的驱动力，组织学生在问题情境中独立思考、合作交流，调用知识储备，借鉴过程方法经验，切准问题核心，梳理解题途径，使学生在亲历解决问题的过程中，领悟从“学什么”到“如何用”的转化过程. 本课例源于苏科版七年级教材的碎片遗留，在深度学习理念的指引下，合理评估学情，将该章头图重现于八年级的教学中，在问题情境中学生综合运用矩形、平面直角坐标系和一次函数的知识储备，渐次转化问题，逐步切准核心并最终解决问题，在大单元的教学过程中，达成了深度学习的目标，学生实现了思维进阶，发展了数学核心素养.

3. “三会”思想统领，达成深度学习

史宁中教授对《高中数学课程标准（2017年版）》的六大数学核心素养解读为“会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界. ”[3]三会思想突出反映了数学学科核心素养的本质. 本课例，笔者基于深度学习的理念，通过重拾教材碎片，在跨章节的融合中形成大单元教学，在探究的过程中，唤醒学生的求知欲望，在寻找解题思路中渗入数学思想方法，在问题解决的情境中实现学生思维进阶，学生从拼成的矩形纸片中抽象出点、线，建立坐标系，经历了“会用数学的眼光观察世界”，探究得到用一次函数描述直线，判断第三点是否在该直线上的求证思路，经历了“会用数学的思维思考世界”，建立起一次函数的数学模型，并用以解决问题，经历了“会用数学的语言表达世界”，整节课在“三会”思想的统领下，达成了深度学习的目标.

参考文献：

[1] 刘晓玫，黄延林. 深度学习：走向核心素养[M]. 北京：教育科学出版社，2019.

[2] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2011.

[3] 吴晓红，谢海燕. 基于学科核心素养的数学教学课例研究[M]. 上海：华东师范大学出版社，2019.

基金项目：江苏省教育科学“十四五”规划课题“基于核心素养的初中数学单元整体教学实践研究”（D/2021/02/136）.

作者简介：魏宇亭（1981—），本科学历，中小学高级教师，从事初中数学教学工作，曾获江苏省优秀课一等奖，徐州市优秀课一等奖，徐州市带头优师，邳州市名师等奖项和荣誉.