数学探究视角下的“切线不等式”及其妙用

韩丽英

摘  要：针对教材中一道利用导数证明不等式的习题，通过观察图象，发现此类不等式的几何意义是曲线与其切线的位置关系，故称其为“切线不等式”. 再依据函数知识的内在关系引导学生进行变式，探究出系列切线不等式，并通过具体例题说明它们在解决函数性质问题中的作用.

关键词：数学探究;切线不等式;函数导数;解题教学

方法点睛：该解法的思路是寻找切线不等式，把原不等式转化为[ex+ax2-12x3≥x+1]. 左边函数的图象是曲线，右边函数的图象是直线，只要找到曲线与直线的切点，利用切点处的函数值的大小关系即可求解.

通过分析例1 ～ 例4发现，这些切线不等式的结论及其拓展可以快速解决利用导数研究函数的相关问题，较之常规解法具有较大的优越性和简洁性. 在高考复习中，教师应该引导学生建立超越函数的切线意识，如例5的解法2不是切线不等式的直接应用，而是利用了切线不等式求解问题的基本思想. 因此，教师不仅要教学科知识和学科方法，更要教学科思维方式和一般观念. 教学中，教师要设计有价值的问题，引导学生进行思考、探究，以数学思想为主线重建知识结构，通过问题解决提炼形成解決问题的一般方法和思路，实现知识结构化和方法系统化.

参考文献：

[1]殷玉波. 在解题教学中形成数学思想：以一元函数导数问题为例[J]. 中学数学教学参考（高中版），2021（4）：33-37.

[2]章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M]. 上海：华东师范大学出版社，2021.