走进历史 理解对数

赵浩浩 薛红霞 薛翠萍

摘  要：数学文化课要优化史料的选择，面对浩瀚复杂的文献，教师要根据教学目标合理取舍，针对“对数的起源与应用”一课的教学主题，要做到预设资料目标，体现对数优越性;整合史料，追加对数练习;凸显目标，删繁就简. 之后整合史料，设计了三个核心问题引导学生学习，包括对数思想的萌芽、对数的完善和对数的影响. 在实践过程中，师生都要做到角色矫正、真实“穿越”.

关键词：对数起源;数学文化;文献阅读

根据《普通高中数学课程标准（2017年版2022年修订）》（以下简称《标准》）的要求，要将数学文化融入高中数学课程内容之中. 对此，人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）除了在各章节教学内容中融入了数学文化，还增设了数学文化的拓展栏目. 如何用好这些素材开展数学文化的教学？关于数学文化的教学定位又是怎样的？这都需要教师的实践探索.

一、设计：优化史料，凸显目标

1. 依据要求，進行选题

（1）高考评价体系的要求.

在《中国高考评价体系》“一核、四层、四翼”的要求下，数学核心素养可以凝练为理性思考、数学应用、数学探索和数学文化. 其中，数学应用要求学生了解数学发展对国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活实际的推动作用，并能运用数学能力和数学素养发现问题，能利用数学知识解决问题;数学文化要求学生了解中外数学发展历史中的数学成就，感受数学对历史进程的推进作用，明确学习数学的重要意义，发展数学思维，涵养数学哲学思想，尤其是认识中国古代灿烂的数学成就，增强民族自豪感.

（2）课程标准的要求.

《标准》在提及数学文化时，肯定了数学文化在数学教育中的重要作用，如促进数学理解，改变学生的数学观，培养学生处理现实问题的思维. 同时，针对大众对数学史、数学和人文艺术所反映的人文价值重视程度不足的问题，要求加强全民对数学人文价值的认识.

设计“对数的起源与应用”一课的目的，就是要引导学生在形式和内容上了解对数发展的历史演进过程，体会对数对大数乘除运算的简化作用，感受对数发展的历史脉络;借助对数发展过程中的研究结果，进行一些简单的运算，帮助学生认识数学学科的发展对其他学科的影响，尤其对天文学的帮助，体会数学应用的广泛性.

（3）教材中相关内容的启示.

教材必修第一册中安排了一节阅读与思考——对数的发明. 对数的发展历程是数学发展史上一个令人惊奇的篇章，研究对数的发展历程不仅有利于学生更加深刻地认识对数及其运算，而且能够促进学生体会数学家在数学运算上对美的追求.

2. 设定目标，筛选史料

（1）预设史料目标，体现对数优越性.

为了体现对数在大数乘除上的优越性，展示对数对天文学进程的推动作用. 在搜集史料时，不仅要关注对数的发展时间线和关键节点，还要注意天文学在相同时间线中的发展进程. 因此，史料要从数学和天文学两个方向搜集.

（2）整合史料，追加对数练习.

第一次整合史料时，先将对数发现的时间线与天文学发展的时间线合并，发现开普勒在探究开普勒第二定律和开普勒第三定律时，与瑞典钟表匠比尔吉交往甚密，并用到了比尔吉的对数计算表，大幅度提高了发表开普勒定律的速度，可见对数计算对天文学发展的帮助. 另外，统计了在对数提出之前，天文学提出重要天文结论之间的时间间隔. 两相对比，可以帮助学生更好地感受对数的魅力.

资料合并之后，为了体现对数计算的优越性，在设计学案时，引入了一些与对数有关的高考试题，目的是体现高考的导向. 但是，这些试题与对数的发展其实毫不相干，因此在后期进行了修改.

（3）凸显目标，删繁就简.

为了将对数的发展历程更好地呈现给学生，让学生更加深入地了解对数，体会对数对天文学的帮助，凸显数学文化在本节课中的重要地位. 首先，将史料分成三个部分，分别是对数思想萌芽、对数完善和对数影响. 其次，去除之前引入的高考试题，并在对数发展的每个小节中设计与阅读材料有关的问题，通过这些问题，加深学生对本节阅读材料的认识.

3. 确定教学方向，选编练习题

为了加深学生对阅读材料的认识，需要设计一些简单的练习.

在最初的教学设计中，安排了如下高考试题.

例 （2020年全国新高考Ⅰ / Ⅱ卷·6）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数. 基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间. 在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：[It=ert]描述累计感染病例数[It]随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 = 1 + rT. 有学者基于已有数据估计出R0 = 3.28，T = 6. 据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（    ）.（ln 2 ≈ 0.69.）

（A）1.2天 （B）1.8天

（C）2.5天 （D）3.5天

虽然上述高考试题具有一定的代表性，也确实使用到了对数计算，但是与本节课的阅读材料完全割裂开来，因此安排在这节课中并不适宜.

本节课是要学生了解数学发展史，于是相应的练习也就要服务于数学史的落实. 因此，根据阅读材料内容的不同，设计了三个层次的练习题.

练习1针对对数思想的萌芽，设计了简单的数的乘除，目的是帮助学生理解阅读材料中数的乘除与加减法之间的对应关系.

练习2针对对数的完善，设计了使用对数表计算大数的乘除，目的是让学生体会对数发展过程中数学家对简化计算的不断追求，感受数学美.

练习3针对对数对天文学的巨大推动作用，设计了用对数计算解决天文问题的情境题.

阅读材料的对应练习题不仅要紧扣阅读材料的内容，更要对学生理解阅读材料有所帮助. 练习的目的不能只是服务于考试，更多的是要服务于数学史思想的落实.

二、实践：角色矫正，真实“穿越”

核心问题1：思考阿基米德和史蒂非在计算大数的乘除法时所用到的表格是如何建立和使用的. 学生自主阅读材料1，并解决该问题.

材料1：（对数思想的萌芽）对数的基本思想可以追溯到古希腊时代. 早在公元前500年，阿基米德就研究过几个10的连乘积与10的个数之间的关系，用现在的表达形式来说，就是研究了如表1所示的两个数列.

阿基米德发现了它们之间有某种对应关系. 利用这种对应可以用第二个数列的加减关系来代替第一个数列的乘除关系. 阿基米德虽然发现了这一规律，但他却没有把这项工作继续下去，使对数失去了破土而出的机会.

2 000年后，一位德国数学家对对数的产生做出了实质性的贡献，他就是史蒂非. 1514年，史蒂非重新研究了阿基米德的发现，并给出了如表2所示的两个数列.

史蒂非发现，第一行数的加、减运算结果与第二行数的乘、除运算结果之间有一种对应关系. 例如，第一行数中的2，5之和为7，第二行对应的两个数4，32之积为128，恰好为2的7次方. 实际上，用现在的说法，即第二行的数以2为底的对数就是第一行与之对应的数. 史蒂非还发现，第一行数的乘法、除法运算，可以转化为第二行数的加法、减法运算.

就在史蒂非悉心研究这一发现的时候，他遇到了困难. 由于当时的指数概念尚未完善，无法确定诸如[2x=17，2x=63]等式子中[x]的值，进而对17 × 63，1 025 ÷ 33等式子的求解也会感到束手无策了. 在这种情况下，史蒂非无法继续深入研究下去，只好停止了这一工作. 但他的发现为对数的产生奠定了基础.

练习1：（1）计算16 × 64的值.

（2）计算2 048 ÷ 64的值.

（3）试用对数或指数知识解释以上计算过程.

课堂实践1：学生很快完成了练习1前两道小题的计算，有的学生用的是小学学习的列竖式的方法;有的学生用的是初中学习的同底数幂乘法法则，即[16×64=24×26=][210=1 024;] 还有的学生用的是材料中计算乘法的方法，通过查表可得，表2第二行中的16和64分别对应第一行中的4和6，然后求和得10，再去找第一行中10对应的第二行的数1 024即可.

随后，学生用指数或者对数的知识解释了第三种解法：由[4=log216，6=log264，] 可得[4+6=log216+log264=][log216×64，] 即[16×64=210=1 024.]

学生在课堂上逐步将自己所学的计算方法搁置，使用史蒂非当时的计算体系. 在这样的计算过程中，学生去掉了现代的角色，经历了数学家研究问题的过程.

核心问题2：布里格斯对对数的完善主要针对对数的什么部分，为什么要对对数进行这样的完善. 学生阅读材料2，解决该问题.

材料2：（對数的完善）纳皮尔的对数著作引起了广泛的关注，伦敦的一位数学家布里格斯于1616年专程到爱丁堡看望纳皮尔，建议把对数做一些改进，使1的对数为0，10的对数为1，这样计算起来更简便，也将更为有用. 次年纳皮尔去世，布里格斯独立完成了这一改进，就产生了使用至今的常用对数. 1617年，布里格斯发表了第一张常用对数表. 1620年，哥莱斯哈姆学院教授甘特试作了对数计算尺.

在计算机出现以前，对数是十分重要的简便计算方式，曾得到广泛的应用. 对数计算尺几乎成了工程技术人员、科研工作者离不了的计算工具. 直到20世纪发明了计算机后，对数的作用才为之所替代. 但是，经过几代数学家的耕耘，对数的意义不再仅仅是一种计算技术，而且找到了它与许多数学内容之间千丝万缕的联系，对数作为一个基础内容，表现出极其广泛的应用性.

练习2：（1）查阅常用对数表，计算[lg1.21，lg121，][121×1 760，176÷121.]

（2）查阅常用对数表，计算[1233×4564， 12334564.]

课堂实践2：根据如表3所示的对数表，学生很快找到了1.21的对数值，但是在求解121的常用对数时，在表格中无法找到，这时有学生提出可以根据1.21的常用对数与100的常用对数，求出121的常用对数值为2.082 8.

在计算[121×1 760]时，同理可以找到[1 760]的常用对数值3.245 5. 再计算2.082 8+3.245 5 = 5.328 3，在对数表中查找0.328 3对应的数，给这个数乘以105即可求得[121×1 760]的值. 但是在对数表中，查找0.328 3时，只能找到与它接近的0.328 4. 这时教师提出，在没有计算器的年代，计算能够达到一定的精度就足够了. 况且在这么短的时间内能够完成这样的计算，可以节省科学家很多的时间. 所以在使用对数表时，可以进行这样的替换，如果想进行更精确的计算，就要使用精确度更高的对数表.

有学生提出把估算的结果与实际结果进行对比，观察误差的大小. 对比可得，由对数表得到的结果约为[213 000，] 而[121×1 760=212 960，] 两个结果很接近. 由此可见，在一定精度范围内，可以使用常用对数表来进行乘除计算.

在计算[1233×4564]时，先查找1233对应的数，同样可以计算[lg1233=3×lg123=3×lg1.23+2=6.269 7.] 同理可得，4564对应的数为10.636. 由6.269 7 + 10.636 =16.905 7，在对数表中查找0.905 7近似对应的数8.05，乘以1016，得[8.05 × 1016.]

对于已经拥有先进计算设备的学生来说，了解数学家是如何在没有计算器和电脑的情况下进行复杂运算是一件很必要的事. 这不仅能让学生感受到数学家的研究对数学发展的推动作用，同时还能让学生感受到数学家孜孜不倦的钻研精神. 数学史的阅读，就是要让学生“识其人，感其事，同其心”，这样具有带入感的数学阅读能够让学生更加生动地认识数学、理解数学，最终爱上数学.

课后作业：（1）阅读材料3，并参照实际数据进行对比，体会对数在天文计算上的简化作用.

（2）阅读教材第157页的“文献阅读与数学写作”，查阅与对数有关的文献，自己选题，写一篇数学小论文.

材料3：（对数的影响）对数的发展绝非一人之功. 首先要提到的是16世纪的瑞士钟表匠比尔吉，当他结识了天文学家开普勒，看到开普勒每天与天文数字打交道，数字之大、计算量之繁重，真的难以想象，于是便产生了简化计算的想法.

从1603年到1611年，比尔吉用八年的时间，一个数一个数地算，造出了一张对数表，这个对数表帮了开普勒的大忙. 开普勒认识到了对数表的实用价值，劝比尔吉赶快把对数表出版，比尔吉认为这个对数表还过于粗糙，一直没下决心出版.

正在比尔吉犹豫不定的时候，1614年6月在爱丁堡出版了苏格兰纳皮尔男爵所造的名为《奇妙的对数表的说明》一书，这个对数表的出版震动了整个数学界.

练习3：（1）地球绕太阳旋转的轨道是一个近似的圆，设太阳位于轨道圆的圆心，日地距离约为15 000万千米，地球绕太阳公转一天经过的路程约为257万千米，则太阳与地球的连线一天内扫过的面积约为多少平方千米？

（2）开普勒第三定律又称周期定律，是指绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道半长轴[a]的立方与周期[T]的平方之比是一个常量[k]（即[a3T2=k]）. 现假设地球绕太阳公转与火星绕太阳公转的轨道都是近似的圆，且两者绕太阳的轨道半长轴可近似看作圆形轨道的半径，地球绕太阳公转的半径约为14 960万千米，火星绕地球公转的半径约为22 794万千米，试估算火星绕太阳公转一周的时间约为多少天.

为了更好地发挥数学学科的育人功能，突出学科内容的本质，体现数学思想方法，培养数学能力，发展学生的数学核心素养. 在对数章节，教材比较注重数学知识的背景与应用. 同时，在教材的“文献阅读与数学写作”中，也引导学生去搜集整理对数概念的形成与发展资料，体会对数对数学和社会的推动作用.

三、反思：面向未来，大胆改革

1. 面向学生的反思

（1）什么是数学文化？

数学文化迄今为止尚未有统一的定义，但很多学者都给出了自己的见解.“数学文化”一词是由美国数学家怀尔德在《作为文化体系的数学》一书中提出的. 顾沛认为，“数学文化”一词的内涵，简单来说，是指数学的思想、精神、方法、观点，以及它们的形成和方法;广泛来说，除上述内涵外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等. 方延明指出，数学文化是一种外延广泛的学科，涉及文学、史学、哲学、经济、语言、高科技等多种学科.

（2）什么是数学阅读？

真正的数学阅读不是单纯的读数学故事，数学阅读是对数学、科学、人文艺术等的整合阅读，基于核心素养的数学阅读关注的是学生运用数学知识、技能、思想方法和活动经验对阅读材料进行数学化的过程. 在这个过程中，学生要理解其中所蕴含的数学知识、方法、思想和精神，并将其应用到数学问题或实际情境中. 本节课的数学阅读能力体现在：① 通过对数思想的萌芽，读懂什么叫对数;② 在对数完善的过程中，通过对数简化计算;③ 在对数的影响中，解决真实的天文问题.

（3）为什么要进行数学文化教育和数学阅读？

《普通高中数学课程标准（实验）》在内容标准部分，将数学探究、数学建模与数学文化作为独立的部分呈现，阐述了各自的内涵和教育价值，并提出了要求，但是并未独立设置内容和课时，因此在实施过程中往往流于表面，达不到要求. 由此可见，数学文化教育是亟待解决的一个问题.

刘洁民提出，数学文化在数学教育中起到了促进数学理解、改变学生的数学观、培养学生处理现实问题的思维等积极作用.

数学阅读是高中阶段进行数学文化教育的一个重要抓手. 在本节课中，可以发现部分学生不能较好地利用材料中涉及的数学思想方法解决问题，用到的方法仍然是学生自己计算体系中的旧方法，这就是学生阅读能力弱的一个表现. 此外，在过去的教学中，教师习惯于教学生怎样解题，而忽视了怎样读题，学生的数学阅读能力完全取决于自身的阅读理解能力. 在新的高考评价体系中，高考的考查要求分别提到了基础性、综合性、应用性和创新性. 基于此，未来的高考势必会引入更多学科综合、学科前沿的应用性问题. 对学生的数学阅读能力提出了更高的要求. 同时，在进行数学阅读的过程中，学生对对数的理解会更加深入，对数学的发展与现实世界的发展的同步性会有更多的思考和认识.

（4）如何渗透数学阅读的习惯？

数学阅读与一般的文学阅读是不同的，数学阅读要求学生从大量的数学材料中甄别出关键的数学信息，结合自身的数学知识、技能、思想方法和活动经验，找到问题与史料之间的联系性，然后用数学知识去解决问题. 为了更好地培养学生数学阅读的习惯，教师需要选取一些具有特色的数学材料，定期进行数学阅读练习，或者引导学生自己阅读课内外的数学材料，整理之后，在班级内进行简单的展示、汇报和交流.

2. 面向教師的反思

（1）查阅资料的能力.

在目前强大的搜索引擎的帮助下，教师查阅相关资料的难度较低. 但很多时候，由于对所查询的目标资料不够明确，导致花费时间较多，且搜集的资料比较杂乱. 因此，在查询时，首先，要确定资料目标和资料类型;其次，要根据不同的资料类型，选择合适的搜索网站或者软件进行查阅.

（2）资料整理和整合的能力.

在第一手资料的基础上，教师要根据自己的教学目标和学生的学习能力，整理出一条主线，然后围绕主线进行相应完善. 对于一些视频资料要进行合理剪辑，保留最需要的部分.

（3）对数学文化课型的认识.

数学文化课要为学生创设一个“穿越”的情境，让学生经历过去的历史，体会数学在历史中所扮演的角色. 在这个情境中，教师可以根据历史的发展提出一些可能在历史中出现的问题，或者亟待解决的问题. 在课堂上，学生体验历史情境并解决问题. 这样的数学文化对学生对知识的理解有很好地促进作用，有利于培养学生处理现实问题的思维，甚至改变学生的数学观.

参考文献：

[1]教育部考试中心制定. 中国高考评价体系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[2]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[3]顾沛. 数学文化[M]. 北京：高等教育出版社，2008.

[4]方延明. 数学文化[M]. 北京：清华大学出版社，2009.

[5]中华人民共和国教育部制订. 普通高中数学课程标准（实验）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[6]刘洁民. 数学文化：是什么和为什么[J]. 数学通报，2010，49（11）：11-15，18.

[7]黄光玉. 从历史过程中找寻数学知识的意义：“对数的运算性质”教学思考[J]. 数学通报，2020，59（10）：46-52.