我国中小学数学可视化研究的回顾与展望

张治才

摘  要：数学可视化是数学学习过程中师生思维的可视化，即通过某种方式将内隐在师生头脑中的数学思维过程外显出来. 通过对中国知网2011—2021年论文的分析，从数学可视化的本质、数学可视化的方式、数学可视化的应用三个维度对我国中小学数学可视化的研究进行了梳理，并剖析了目前我国中小学数学可视化研究存在的问题，在此基础上提出未来可能的研究方向.

关键词：中小学数学;数学可视化;思维可视化

数学具有抽象性、严谨性和广泛的应用性等特征，数学的抽象性使得数学教学过程中教师和学生的思维过程难以有效外显，从而不能快速将教师的“言传”转化为学生的“意会”，形成教学难点. 若能将内隐在师生头脑中的思维过程以适当的形式外显，将有助于教师的教和学生的学. 数学可视化是将思维过程外显的重要途径. 本文从数学可视化的本质、方式、应用等角度，透析我国中小学数学可视化的研究现状，并对研究前景进行展望，希望对数学可视化领域的研究提供参考和借鉴.

一、研究现状透析

在中国知网上，以“数学可视化”为主题，共检索到60篇文献. 再使用高级检索，以“思维可视化”并含“数学”为主题，共检索到224篇文献. 从上述文献中，选择学位论文、中小学教育教学核心期刊和人大复印报刊资料全文转载排名靠前的普通期刊刊发的共71篇论文进行重点研究. 其中，学位论文5篇，占比7%;核心期刊论文34篇，占比48%;普通期刊论文32篇，占比45%. 对71篇文献分析梳理发现，我国学者主要从数学可视化的本质、数学可视化的方式和数学可视化在教学中的应用等角度对数学可视化进行了研究.

1. 数学可视化的本质

（1）数学可视化的内涵——内隐的数学思维外显化.

数学可视化的核心是数学思维的可视化. 关于思维可视化的内涵，不同的学者有不同的认识. 刘濯源教授认为，思维可视化是以图式或图式组合的方式把原本看不见的思维路径、结构、方法及策略呈现出来，使其清晰可见的过程. 张卫星认为，可视化即让抽象的数学道理、数学思考和数学思维显性化，可以通过动手操作、语言表达、直观表征让内隐的数学思维显性化. 左晓明等人认为，数学可视化就是将抽象的数学学习对象用可以看见的表征形式清楚、直白地呈现出来.

很多学者认为，可视化需要借助一定的媒介与技术. 张齐华认为，思维可视化是通过一系列图示技术，实现不可见思维的具现化. 张志勇认为，可以通过GeoGebra软件建立“可见的事物”与“抽象的思维”之间的直接联系，实现“看见不可见”. 张加红借助图形计算器，用数学对象的外部表征形式（图形、现实情境）呈现数学对象的本质属性.

综上所述，数学可视化就是数学教学中师生思维的可视化，即在数学教学中，通过某种方式，将内隐在师生头脑中的思维过程外显出来，使得抽象的知识图象化、知识建构直观化、隐性知识显性化、解题规律模型化、零散知识系统化、核心知识发散化.

（2）数学可视化的作用——促进数学学习与思维发展.

数学可视化对数学学习和学生的思维发展都具有重要作用. 文献分析显示，数学可视化的具体作用如下.

① 有助于激发学生的学习热情.

在小学数学教学中，采用思维可视化手段，能激发学生的学习兴趣，培养学生良好的学习习惯，活跃课堂氛围，让学生的学习潜能得以激发. 在中学数学教学中，借助GeoGebra软件创设可视化教学情境，建构数学探究场，让学生亲历数学知识的发生、发展过程，把“看不透”“说不清”的性质展现出来，能激发学生的学习热情，提高课堂教学的参与度.

② 有利于学生理解数学.

当前数学学习存在学生理解流于表面，理解片面化、浅表化、碎片化等问题. 数学可视化可以化数学抽象为直观具体，帮助学生直观观察和视觉感知，降低理解的难度 ，让学生对数学的理解从经验性理解走向衍生性理解、结构化理解和抽象性理解，进而促进知识的内化.

③ 有利于提升学生的直观想象素养.

借助信息技术将函数的动态变化过程直观呈现，能促进学生对数与形的联系的认知. 利用可视化软件进行数学实验，具有信息技术的表征优势，可以将静态的概念进行动态的演示，丰富几何直观的体验，提升直观想象的悟性，让学生在“数”与“形”的感悟中，逐步提升直观想象素养.

④ 有助于发展学生的思维能力.

表格、流程图等可视化工具，有助于学生思维过程的显性化，便于学生提炼、归纳、概括，帮助学生搭建从情境到数学符号和模型的桥梁. 学生以图为工具，进行判断和推理，并不断自我优化，在此过程中，促进零散的思维结构化、具象思维抽象化，实现思维的自然生长和不断进阶.

（3）数学可视化的关键——把握直观与抽象的平衡.

数学可视化需要把握数学直观与数学抽象之间的平衡. 数学学习中，直观是手段，抽象是归宿. 数学可视化侧重用图示等形式直观反映数学内容，而数学学习需要抽象思维，如何处理抽象与直观的关系是数学可视化应该关注的重点. 在数学可视化过程中，要处理好以下问题.

第一，正確理解技术. 章建跃博士指出，数学教学要懂得如何有效利用信息技术帮助学生的学和教师的教. 由于数学内容的复杂性使得单一表征不能有效反映数学的本质，可视化侧重“形”的表征，而“形”的表征应该以形的直观性助推对“数”的理解为首要目的. 因此，可视化只是一种促进学生数学学习的表征手段，要将信息技术与数学教学深度融合，真正发挥技术的力量.

第二，避免过度使用可视化教学. 数学的抽象概括性和形式化表达，仅仅依靠可视化很难达成. 教师应该清楚可视化的目的和作用，把握数学可视化呈现的时机和方式. 过度使用可视化教学容易造成学生对图象的依赖，形成思维惰性，阻碍学生的思维层次从直观向抽象的过渡. 因此，需要把握形式化的演绎推理和可视化的直观感知之间的平衡.

第三，寻找数学可视化的着力点. 数学可视化建立了数学直观与数学抽象之间的纽带，但可视化不是目的，而是策略和手段. 数学教学应以可视化为手段，帮助学生从直观形象中探究数学的内在逻辑联系、寻找数学内部具有普适性和本源性的方法逻辑，把握数学知识的本质、数学方法的内涵和数学思想的内在力量，最终实现数学高阶思维的发展. 高阶思维是数学可视化的着力点，可视化工具帮助实现数学问题的几何直观，通过直观把复杂的问题变得简明、形象，易于学生理解，让学生的思考更能反映问题的本质，在顺应学生思维水平的过程中，发展学生的高阶思维.

2. 数学可视化的方式

在数学学习和教学中，如何实现数学思维的可视化？已有文献分析显示，研究者们从传统教学的可视化尝试、借助思维可视化工具、利用现代信息技术等方面进行了实现数学可视化的方式的研究.

（1）优化传统课堂教学，助推数学可视化.

对已有课堂教学进行优化，通过板书设计、任务设计、师生活动设计的优化，促进数学思维的可视化.

① 优化板书设计.

板书是师生互动的重要渠道，好的教学板书能反映整节课师生共同的思考路径，给学生足够的思考空间. 在小学数学教学中，借助图和文字相结合的形式进行图画式板书，可以促进学生的形象化理解;进行导图式板书能让学生頭脑中的数学知识从零散走向模块化;简明扼要的板书有助于反映教师教学中的深层次思考：教什么，为什么教，怎么教.

② 优化任务设计.

以问题串为载体，建构数学知识是中学数学的常用教学手段，通过对问题的优化，以任务驱动的形式，可以使学生在问题串的解决过程中逐步暴露思维过程. 引导学生画数学，是小学课堂教学中常用的实现思维可视化的学习任务. 通过画算理、画推理、画意义、画题意，明白算理本质、明确运算意义、明晰数量关系、明朗解题路径.

③ 优化活动设计.

设计数学实验，在实验活动中，将学生的隐性思维外显为图形、符号、操作、语言等外在表征形式，并及时捕捉学生的思维困惑，为学生搭建思维的“支点”，将数学抽象思维变得形象可视，帮助学生在直观形象中感悟数学知识的内在联系，促进数学内化.

（2）借助思维可视化工具，实现数学可视化.

借助可视化工具进行数学教学是实现数学思维可视化的重要方式. 我国学者所运用的思维可视化工具主要有：思维导图、流程图、概念图、思维地图、可视化表格.

① 思维导图.

思维导图是最常用的思维可视化工具. 思维导图是由主题、节点、连线、图象和色彩构成的从多维度来表达、反映、修饰和组织相关领域知识的网络结构图. 思维导图的主要构成要素是节点、连线. 绘制思维导图时，从主节点（主题）开始，画出下一层的子节点，节点之间的联系用连线来反映. 在思维导图中，可以清晰、直观地读出各节点之间的层次和内在联系. 一线数学教育工作者进行了思维导图的应用研究. 张理科认为，在引入新课、突破难点、课堂小结中，都可以借助思维导图，实现数学思维可视化;王友智研究了如何在高中数学教学中应用思维导图;商庆平研究了如何借助思维导图帮助数学概念教学.

② 流程图.

流程图是实现思维可视化的工具之一. 它将思考的具体过程以一张图的形式展现，在图中可以直观地看出对问题的思考路径和思考要点. 流程图对逻辑推理的解题教学、数学知识生成过程的教学都很有帮助.

③ 概念图.

概念图是指利用图示的方法把隐藏在人头脑中的概念、思想、理论等显性化、可视化. 概念图通过节点和连线的组合来反映概念之间的内在关系. 国内学者对概念图在教学中的应用进行了相关研究，盛朝阳和邵利利用概念图进行了“对数函数的性质”的教学设计.

④ 思维地图.

在1988年出版的 Expand Your Thinking 一书中首次公开提出思维地图工具，它可以以图示的形式详细阐述某个知识点，并将多个概念放在一起分析其异同，研究各概念之间的关系. 目前常用的思维地图包括画圆圈、气泡图、数形图.

⑤ 可视化表格.

可视化表格是一种朴素而常用的思维可视化工具. 它具有整理数据和知识点的功能，将两个知识点以表格的形式对比呈现，有利于学生掌握知识. 此外，也可以借助可视化表格帮助教师备课，以便教师厘清上课思路.

（3）利用现代信息技术，实现数学可视化.

现代信息技术能突破传统课堂教学和可视化工具的限制，为数学可视化的研究打开别样的视角和广阔的天地. 我国学者对现代信息技术帮助数学可视化的研究主要集中在可视化软件的应用和可视化计算器的应用两方面.

① 可视化软件.

现有的数学可视化软件主要包括Mindmaster、几何画板、GeoGebra等. Mindmaster是思维导图的一种软件形式，主要用于辅助在电脑中快速绘制思维导图. 几何画板是一种比较古老的可视化软件，能实现数和形的直观展示. 实现思维可视化的软件的研究中，更多聚焦GeoGebra软件的应用. GeoGebra软件是处理代数、解析几何、立体几何等数学问题的开放源码数学软件，其功能超越几何画板，是数学可视化的重要“云梯”，是数学教学中的“诗意催化剂”，它可以帮助教师进行动态展示、帮助学生数学探究，能在数和形之间自由切换.

② 可视化计算器.

现有的可视化计算器是CASIO FX-CP400，它是一款集“数、形、表”于一屏的手持技术，能建立多元联系表征的学习情境，建立符号、图形、表格之间的联系，它能帮助学生在直观中理解数学，在体验中促进内化，在探究中发现规律.

3. 数学可视化的应用

我国学者通过优化传统教学设计、借助可视化工具和现代信息技术进行了数学思维可视化的教学实践. 文献分析显示，研究者从思维可视化的教学路径探索和教学模式建构两个角度进行了数学可视化的应用研究.

（1）教学路径探索.

研究者在数学思维可视化的教学实践中以具体案例为载体，进行数学可视化的教学路径探索. 蒋碧云进行了基于“数学理解层次”的教学路径探索，提出运用思维可视化从横向六个方面、纵向三个层次梯状发展学生的数学理解能力. 张卫星、商庆平分别研究了如何通过思维可视化进行数学概念教学. 廖小琴研究了如何運用可视化技术进行数学建模的教学，提出情境可视化、图形可视化、数据可视化在数学建模教学中的应用及其意义. 岳峻、杨忆婷探索了如何借助数学可视化提升直观想象素养. 王友智、张理科分别进行了思维导图在教学中的应用研究. 张志勇通过教学实践，进行了可视化情境的价值、设计原则和操作路径研究，提出可视化情境设计应遵循直观形象原则、先行支架原则、知情达理原则、融通延展原则. 李婷运用思维可视化模型进行了“抽屉原理”的教学. 庄严以“一次函数”的应用为例，研究了思维可视化下三种数学语言如何转化. 张雪娟以圆锥曲线为例，进行了思维可视化在复习课中的教学路径探索.

（2）教学模式建构.

一线中小学数学教师研究了以可视化为手段的教学模式重构. 廖小琴提出高中数学可视化U型教学模式. U型教学模式包括下沉、潜行、上浮三个过程，其中下沉是指知识的还原和内化，潜行是指在数学探究中挖掘数学思想方法，上浮是指知识的外化和运用. 张齐华提出了思维可视化视域下小学数学课堂之重构，通过精准加工、问题驱动、深度对话，让思维真正发生，通过动笔画、动手做、动嘴说，让思维看得见. 葛敏辉提出以概念图重构小学数学课堂样态，在教学实践中总结了“四图一思”的教学模式：初学构图，互学论图，合学正图，拓学用图，让学生在数学课堂中经历“构图、论图、正图、用图”四个环节.

二、研究前景展望

1. 研究现状评析

基于上述研究现状分析，我国现有关于数学可视化的研究具有如下特点.

（1）重实践，轻理论.

已有数学可视化的实践研究较多，但是缺乏理论研究. 从研究者的构成来看，目前该领域的研究者主要是中小学教师或硕士研究生，高校教授或专职科研人员较少. 从研究内容来看，已有的研究侧重从教学实践的角度研究如何运用思维可视化工具和现代信息技术实现学生和教师数学思维的可视化，以及以某个数学内容的教学为载体，探索运用思维可视化手段改进教学的路径. 由此可见，数学可视化的研究主要集中在一线数学教师的教学实践的经验提炼，缺乏必要的理论支撑.

（2）重思辨，轻实证.

关于数学可视化的作用的研究，主要基于研究者的经验，从思辨的角度研究了数学可视化对学生数学学习和思维能力发展的影响. 上述研究没有用实证研究的方法，通过调查和实验，研究数学可视化对数学教师和学生的作用. 由此可见，已有数学可视化的作用的研究缺乏必要的信度和效度.

（3）重课堂，轻作业.

已有的数学可视化的研究绝大多数聚焦课堂教学，缺乏对可视化作业的研究. 现有的研究多数从课堂教学出发，通过可视化手段，在课堂教学中促进教师和学生内隐的思维外显化，进而促进学生对数学知识的理解和方法的内化. 作业是数学学习的重要环节，如何在数学作业的设计与实施中反映师生的思维过程，并以作业为抓手促进教学资源的整合的相关研究相对较少.

2. 进一步研究展望

结合上述研究现状的分析，后续研究可以从以下几个方面进行.

（1）建构数学可视化的理论体系.

数学可视化的核心是数学思维的可视化，将已有的思维可视化的研究理论迁移到数学学习中，并建构符合数学学科特点的可视化的理论体系. 借助心理学原理，将脑科学、认知发展理论、有意义学习等理论与数学可视化相结合，研究数学思维可视化的一般原则、实现方式和一般策略.

（2）建构数学可视化的评价体系.

目前，关于数学可视化的价值和作用的研究偏少. 而在数学教学中，可视化手段对数学教学是否有帮助，需要建构科学的评价体系. 在未来的研究中，研究者可以进行实验研究，通过对照组和实验组，以实证研究的方法，研究数学可视化对学生的数学学习和思维能力发展的作用.

（3）拓宽数学可视化的研究范围.

从可视化课堂教学的研究拓展到可视化作业的研究. 研究作业设计中如何把内隐的教师的思维过程呈现出来，并研究如何将学生作业中的思维过程清晰地展示出来. 从理论层面研究实现教师与学生思维可视化的作业设计的一般流程，并进行可视化作业设计的实践.

（4）重视数学可视化与核心素养的结合.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》要求发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学核心素养. 数学可视化是促进数学教学的策略之一，它应服务于数学教学的总目标，应有利于学生数学核心素养的发展. 在未来的研究中，研究者可将数学可视化与数学核心素养相结合，研究如何通过数学可视化，更好地促进学生数学核心素养的提升.

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