六个转变：从能力立意到素养导向

王祥芬

摘  要：2021年高考数学试题很好地实现了从能力立意到素养导向的转变. 以2021年平面向量及其应用、概率与统计高考试题为例，论述了考查目的从关注知识转变为学科育人、考查目标从问题解决转变为探究能力、考查情境从学科知识转变为真实情境、试题条件从结构良好转变为结构不良、试题要素从单一因素转变为复合因素、试题结构从知识碎片转变为系统整体等六个方面.

关键词：核心素养;素养导向;思路分析;试题评析

为全面贯彻落实全国教育大会精神，教育部考试中心发布了《中国高考评价体系》（以下简称《体系》），提出了“四层”高考考查内容，即核心价值、学科素养、关键能力和必备知识.《体系》确立了高考学科素养的考查目标，成为高考命题和备考的重要指南. 与以往的考试大纲相比，《体系》不仅考查学生对知识的理解和学生能力的提升，更注重考查对学生素养的培育，考查学生在德智体美劳方面的综合素质，关注学生的全面发展、全面培养.《体系》标志着高考正在实现从能力立意到素养导向的转变.

2021年共有10套高考数学试卷，分别为全国甲卷（文、理科）、全国乙卷（文、理科）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、天津卷、北京卷、上海卷和浙江卷. 试卷中的平面向量及其应用、概率与统计试题考查了向量运算、向量基本定理、向量的应用、计数原理、概率、统计等重点内容，重视考查学生理性思维、核心素养、综合能力，注重联系实际、学以致用，围绕现代化建设新成就和科学技术发展新成果设计真实问题情境，注重体现数学的应用价值，等等. 同时，这些试题增加了开放性和探究性，以及多项选择题、数据分析题、结构不良题和双空填空题等题型，在结构上有所创新，打破了固有模式，聚焦了数学核心素养，突出了对关键能力的考查，体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向.

与以往高考数学试题相比，2021年高考数学试题从能力立意到素养导向的转变体现在如下六个方面.

一、考查目的从关注知识转变为学科育人

2021年高考数学试题不仅注重对学生数学知识的考查，还更多地关注学生的核心价值、道德品质，培养学生的社会责任感，倡导学生积极参与社会公共事务，并能结合熟悉的知识嫁接文本信息解答实际问题. 例如，全国新高考Ⅰ卷第18题以“一带一路”知识竞赛为背景与国事关联，体现了立德树人的命题原则;全国乙卷理科第6题以北京冬奥会为背景考查排列组合内容;天津卷第14题以学生熟知的传统猜谜语活动为背景考查概率问题;等等. 这些试题的考查目的从关注知识转变为关注学生的价值观、思维品质，落实德智体美劳全面发展的教育方针.

例1 （全國新高考Ⅰ卷·18）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记[X]为小明的累计得分，求[X]的分布列;

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

思路分析：（1）由题意，若小明先回答A类问题，得分[X]的所有可能取值为[0]，[20]，[100]，分别求出对应的概率，列出分布列即可.

（2）如果小明先回答B类问题，求出得分的分布列和数学期望，比较两个随机变量数学期望的大小.

【评析】此题以“一带一路”知识竞赛为情境，倡导学生关注国家发展战略，关注我国经济建设、科技发展和大国外交等领域的成就，增强学生的家国情怀、民族自豪感与自信心. 考查学生对离散型随机变量的概率分布及其数字特征期望的理解，并能应用数学期望的意义解答实际问题. 从学生答题情况来看，得分并不高. 该题并不是一道容易题，而是一道考查学生数据分析和数学运算素养的中档题，只有平时脚踏实地学习、勤于思考的学生才能得满分，体现出高考考查目的从关注知识转变为学科育人.

例2 （全国乙卷·理6）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）.

（A）60种       （B）120种

（C）240种   （D）480种

思路分析：根据题意，共有[C25×A44=240]种不同的分配方案. 故答案选C.

【评析】以北京冬奥会志愿者的培训方案为命题背景，具有鲜明的时代气息，体现了中国的志愿精神，倡导学生承担社会责任. 同时，引导学生关注冬奥会，关注体育运动，加强体育锻炼，强健体魄，实现高质量的学习和生活，具有积极的教育意义. 在考查排列组合的应用的同时，考查了学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考对核心素养和关键能力的考查要求.

例3 （天津卷·14）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局. 已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为[56]和[15]，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________;3次活动中，甲至少获胜2次的概率为________.

思路分析：根据题意可得，一次活动中，甲获胜的含义为甲猜对且乙猜错，所以概率为[56×45=23]. 因此，在3次活动中，甲至少获胜2次分为两种情况，概率为[C23×232×13+233=2027]. 故答案为[23]和[2027].

【评析】以学生熟知的传统猜谜语活动为背景考查互斥的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式.

二、考查目标从问题解决转变为探究能力

素养导向的高考试题注重对学生探究能力的考查，考查学生面对生活实践或学习探究情境时，组织整合相应的知识与能力、运用不同的方法探究问题的综合品质. 全国新高考Ⅱ卷第18题中的存在性问题，需要学生根据题目条件，判断符合条件的对象是否存在，变换了题目的设问角度，考查了学生的逻辑推理能力和探究能力;全国新高考Ⅱ卷第21题通过探究微生物临近灭绝的概率与三次方程根的关系，得出期望，以灭绝概率与1的大小关系解决关系问题后，又追问结论的实际含义，层层递进地考查了学生获取信息、加工信息的探究能力;全国甲卷文（理）科第17题、全国乙卷文（理）科第17题都设置了新的问题，学生不仅要解决问题，还要分析结果，提出新观点或发现新问题，培养探究问题的能力.

例4 （全国新高考Ⅱ卷·21）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第[0]代，经过一次繁殖后为第[1]代，再经过一次繁殖后为第[2]代，……，该生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设[X]表示[1]个微生物个体繁殖下一代的个数. [PX=i=pi i=0，1，2，3].

（1）已知[p0=0.4]，[p1=0.3]，[p2=0.2]，[p3=0.1]，求[EX];

（2）设[p]表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，[p]是关于[x]的方程[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]的一个最小正實根，求证：当[EX≤1]时，[p=1]，当[EX>1]时，[p<1];

（3）根据你的理解说明第（2）小题结论的实际含义.

思路分析：（1）[E（X）=1].

（2）不妨设[fx=p3x3+p2x2+p1-1x+p0]. 由[p3+][p2+p1+p0=1]，可得[fx=p3x3+p2x2-p2+p0+p3x+p0]. 这样就把方程的最小正实根问题转化为函数的零点问题. 研究导函数[fx=3p3x2+2p2x-p2+p0+p3]的零点，找出原函数[fx]的单调区间，结合[f1=0]及极值点的范围，可得[fx]的最小正零点.

（3）意义：当1个该种微生物繁殖后代的平均数小于或等于1时，若干代后该种微生物必然灭绝;当繁殖后代的平均数超过1时，则若干代后该种微生物还有继续繁殖的可能.

【评析】该题以生命科学中某种微生物的自身繁殖为背景，探究若干代后这种微生物存在的条件或灭绝的原因. 试题情境来源于生命科学中的真实问题，体现了概率知识在生命科学中的具体应用. 试题考查学生是否理解1个微生物个体繁殖下一代的个数[X]的分布列和数学期望的含义，理解微生物灭绝的概率[p]和数学模型[p0+p1x+][p2x2+p3x3=x]的含义;考查了数学抽象和逻辑推理素养，以及综合应用概率、方程、函数和不等式等知识解决实际问题的探究能力. 该题考查知识跨度较大，对学生的综合探究能力要求较高，对数学核心素养水平有较好的检测和区分度.

例5 （全国乙卷·理 / 文17）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如表1所示.

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为[x]和[y]，样本方差分别记为[s21]和[s22].

（1）求[x，y，s21，s22];

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高.（如果[y-x≥2s21+s2210]，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高.）

思路分析：（1）由平均数和样本方差的定义可知[x=10，y=10.3，s21=0.036，s22=0.04].

（2）根据题目判断新设备是否有显著提高的依据，并结合第（1）小题的结论计算[y-x]与[2s21+s2210]的结果，可知新设备的指标均值较旧设备有显著提高.

【评析】试题以生产高精产品的新、旧设备为原型，应用统计的数字特征解决问题，根据新、旧设备各生产同样多的产品得到的指标数据，将判断新设备生产产品的该项指标与旧设备比较是否有显著提高的问题转化为判断[y-x≥2s21+s2210]是否成立的问题. 该题考查学生对平均数和方差公式的理解与应用，引导学生关注科技生产和发展，体会科技创新的必要性.

例6 （全国新高考Ⅱ卷·18）在[△ABC]中，角[A，][B，C]所对的边长分别为[a，b，c，b=a+1，c=a+2.]

（1）若[2sinC=3sinA]，求[△ABC]的面积;

（2）是否存在正整数[a]，使得[△ABC]为钝角三角形？若存在，求出[a]的值;若不存在，说明理由.

思路分析：（1）由正弦定理，可得[2c=3a]. 结合已知条件求出[a]的值，进一步求得[b]和[c]的值，利用余弦定理及同角三角函数基本关系求出[sinB]，再利用三角形面积公式可以求得结果.

（2）分析可知，角[C]为钝角. 由[cosC<0]，结合三角形的三边关系，可以求得整数[a]的值为[2].

【评析】该题的背景是三角形的边长、面积问题及三角形形状的判定，内容贴近学生的认知. 已知[△ABC]的边长分别为[a，a+1，a+2]，结合余弦定理即可求解三角形的面积;第（2）小题判断是否存在正整数[a]使得[△ABC]是钝角三角形，并进行推理和说明理由. 试题设计具有探究性和开放性，重点考查学生的逻辑推理和数学运算素养.

三、考查情境从学科知识转变为真实情境

情境是实现价值引领、素养导向、能力为重、知识为基的综合考查的载体. 情境即问题情境，是真实的问题背景，情境要源于学生的生活实际，要与学生的经验相联系. 对于学生而言，真实可信的情境可以使学生产生研究问题的动力，促使学生发现问题和提出问题. 全国甲卷理科第8题和全国乙卷理科第9题通过选取测量珠穆朗玛峰和海岛的高度等真实素材，再现学科产生的场景或现实的情境，学生在真实存在的情境的背景下运用数学知识解决实际问题，全面而综合地展现数学核心素养;北京卷第18题以新冠病毒、核酸检测研究为题材，引导学生关注社会热点，增强社会责任感.

例7 （全国甲卷·理8）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一. 如图1，是三角高程测量法的一个示意图，现有[A，B，C]三点，且[A，B，C]在同一水平面上的投影[A，B，C]满足[∠AC′B′=45°]，[∠ABC=60°]. 由点[C]测得点[B]的仰角为[15°]，[BB]与[CC]的差为100;由點[B]测得点[A]的仰角为[45°]，则[A，C]两点到水平面[ABC]的高度差[AA-CC]约为（    ）.（[3≈1.732].）

思路分析：通过添加辅助线，将所求量[AA-CC]转化到直角三角形中. 通过分析可知将所求量[AA-CC]转化为求[AB+100]的长度，借助正弦定理求得[AB]，进而得到答案为B.

【评析】该题以中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰高度为背景设计解三角形问题，这是我国第三次公布地球最高峰的海拔数据，向世界展示了中国的登山实力和测量水平. 该题考查学生看图和厘清数量关系的能力，用此测量法计算点[A，C]到水平面[ABC]的高度差的问题. 题目背景真实，联系实际，要求学生应用线线关系、线面关系和点面关系等几何知识建构数学模型，考查学生运用正弦定理解决实际问题的能力.

例8 （全国乙卷·理9）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高. 如图2，点[E]，[H]，[G]在水平线[AC]上，[DE]和[FG]是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，[EG]称为“表距”，[GC]和[EH]都称为“表目距”，[GC]与[EH]的差称为“表目距的差”，则海岛的高[AB]的值为（    ）.

（A）[表高×表距表目距的差+]表高

（B）[表高×表距表目距的差-]表高

（C）[表高×表距表目距的差+]表距

（D）[表高×表距表目距的差-]表距

思路分析：由相似三角形的性质，知[DEAB=EHAH]，[FGAB=CGAC]. 而已知[DE=FG]，所以由比例的性质得到[DEAB=EHAH=CGAC=CG-EHAC-AH=CG-EHCH]. 而[CH=CE-EH=][CG-EH+EG]，即[AB=CG-EH+EGCG-EH×DE=EG×DECG-EH+][DE=表高×表距表目距的差][+]表高. 故答案选A.

【评析】该题是我国古代数学文化的经典问题——重差，出自魏晋时期数学家刘徽的著作《海岛算经》. 以著作中的测量方法为背景，考查学生根据测量中的相关条件推出海岛高度的计算公式，以及运用知识解决问题的能力，让学生感悟我国古代数学家的智慧. 将数学史和数学文化作为真实情境镶嵌于数学问题之中，是近几年高考数学试题的新特点，需要学生具备较好的数学阅读能力，理解题意并注意试题的各种表述.

例9 （北京卷·18）在核酸检测中，“[k]合1”混采核酸检测是指：先将[k]个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这[k]个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果为阴性，检测结束;如果这[k]个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

（1）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.

① 如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;

② 已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为[111]. 设[X]是检测的总次数，求[X]的分布列与数学期望[EX.]

（2）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测，设[Y]是检测的总次数，试判断数学期望[EY]与（1）中[EX]的大小.（结论不要求证明.）

思路分析：（1）① 对每组进行检测，需要10次. 再对结果为阳性的组中的每个人进行检测，需要10次. 因此总检测次数为20次.

② 由题意，得[X]可以取20，30.

所以[PX=20=111]，[PX=30=1-111=1011].

所以[EX=20×111+30×1011=32011].

（2）由题意，得[Y]可以取25，30.

所以两名感染者在同一组的概率为[P1=20×C22×C398C5100=][499]，不在同一组的概率为[P2=9599].

则[EY=25×499+30×9599=2 95099>EX].

【评析】新冠病毒核酸“[k]合1”混采检测技术的研发大幅度提高了检测效率. 该题以此为背景进行设计，目的是让学生应用概率统计知识解释大规模核酸检测中混采技术的原理，体会数学在科学防疫方面的应用价值. 真实的问题情境展示了我国科学抗疫的智慧和成果.

四、试题条件从结构良好转变为结构不良

学生学习中常见的试题一般是结构良好试题，条件不多不少，需要解决的问题目标明确，有规范的思路和解法. 然而，现实生活中的问题多是结构不良型，具有条件模糊、解決方案多样、结果开放等特点，需要学生多角度综合地思考问题. 近几年的高考数学试题中逐渐出现结构不良问题. 例如，全国新高考Ⅱ卷第14题、全国甲卷理科第18题和北京卷第16题等设置了结构不良试题，在给出的几个条件中要求学生先选择后补充，体现了一定程度上的开放性. 开放性试题的设置较好地体现了新课程的理念，更全面地考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及数学核心素养.

例10 （北京卷·16）在[△ABC]中，[c=2bcosB，][∠C=2π3].

（1）求[∠B];

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使[△ABC]存在且唯一确定，求[BC]边上中线的长.

条件①：[c=][2b];条件②：[△ABC]的周长为[4+][23];条件③：[△ABC]的面积为[334].

思路分析：（1）根据题意，可求得[∠B=π6].

（2）若选择条件①：由正弦定理求解，可得[cb=][3]，与[c=2b]矛盾，故这样的三角形不存在;若选择条件②：由正弦定理结合周长得出[a=b=2，c=23]，再由余弦定理可以求得边[BC]上的中线的长度为[7];若选择条件③：由面积公式可以求得边长[a=b=3]，再由余弦定理求得边[BC]上的中线的长度为[212].

【评析】以解三角形为背景设置结构不良试题，题目给出的其实是“已知三角形的三个角度，再选择附加的条件求边长”的问题. 试题所给的三个不确定条件是平行的，即无论选择哪个条件试题的难易程度都适中，给了学生很大的可操作空间，是一道妙题. 相信这类题型将是新高考的趋势.

五、试题要素从单一因素转变为复合因素

高考要求学生能够触类旁通、融会贯通，既包括同一层面的交互融合，也包括不同层面之间的融会贯通. 试题突出数学各分支内容的内在联系和思想方法的贯通，从而考查知识的复合性.

例11 （天津卷·15）在边长为1的等边三角形[ABC]中，点[D]是线段[BC]上的动点，[DE⊥AB]且交[AB]于点[E]，[DF∥AB]交[AC]于点[F]. 则[2BE+DF]的值为      ;[DE+DF · DA]的最小值为      .

思路分析：一是通过向量的几何属性进行求解. 设[BE=x]，由[2BE+DF2=4BE2+4BE · DF+DF2]可以求出第一空;将[DE+DF · DA]转化为关于[x]的关系式即可求出最值. 二是通过向量的坐标运算的代数属性进行求解.

【评析】此题以平面几何为背景，以平行、垂直、角度和长度为载体，考查向量的和、数乘、数量积及模的运算. 题目条件繁多，关系较为复杂，解决问题的方法多样，给学生提供了很大的发挥空间. 通过动点位置的巧妙设计建立函数模型，将所求问题转化为在某个范围内求解函数的最值问题，对学生的数学运算、数学建模素养要求较高.

六、试题结构从知识碎片转变为系统整体

2021年的高考数学试题中出现了很多大单元的知识考查，考查知识的联系性. 这些试题不是片面地考查某一个知识点或单一技能，而是把众多碎片化的数学知识融合成一个整体. 这个整体可以是数学主题、观点或思想方法. 通常通过命制多项选择题突出数学主干知识及知识之间的联系性，从而考查学生是否具有良好的认知结构. 例如，全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷都有四个多项选择题，围绕数学的大情境、大问题、大单元开展多角度、多知识、多层次的探索，将知识碎片转化为系统整体进行考查，以深度检测学生的思维水平.

例12 （全国新高考Ⅰ卷·9）有一组样本数据[x1，][x2，…，xn]，由这组数据得到新样本数据[y1，y2，…，][yn]，其中[yi=xi+c i=1，2，…，n]，[c]为非零常数，则（    ）.

（A）两组样本数据的样本平均数相同

（B）两组样本数据的样本中位数相同

（C）两组样本数据的样本标准差相同

（D）两组样本数据的样本极差相同

思路分析：利用两组数据的线性关系[yi=xi+c]，根据公式[Ey=Ex+c]，[Dy=Dx]，可以判断样本的平均数和标准差是否相同，就可以判断选项[A]和选项[C]的正误;根据中位数、极差的概念可以判断选项[B]和选项[D]的正误. 故正确答案为选项[C]和选项[D].

【评析】人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册第九章“统计”中的“用样本估计总体”练习的第2题和习题9.2的第4题中都推导了上述两个公式. 用样本估计总体是统计学的基本思想，总体集中趋势的估计要素比较多，有平均值、中位数、众数等，总体离散程度的估计有极差、方差、标准差等. 该题将这些知识串成一个整体进行考查.

例13 （全国新高考Ⅰ卷·10）已知点[O]为坐标原点，[P1cosα，sinα，P2cosβ，-sinβ，P3cosα+β，sinα+β，][A1，0]，则（    ）.

（A）[OP1=OP2]

（B）[AP1=AP2]

（C）[OA · OP3=OP1 · OP2]

（D）[OA · OP1=OP2 · OP3]

思路分析：一是写出[OP1， OP2， OP3， OA， AP1，][AP2]的坐标，利用坐标公式求向量的模，应用向量数量积的坐标表示及两角和（差）公式化简，即可判断正误. 二是通过向量的几何属性，在单位圆中构造角度[α，β，-β，α+β]等，结合向量数量积的定义得出答案，难点在于图形的构造.

【评析】此题涉及两角和的余弦公式、平面向量的数量积、向量的模，是向量单元的基本概念和基本运算，考查学生对三角函数、平面向量综合问题的分析与解决能力. 试题聚焦知识的交会，将多个知识点融会贯通，设问新颖，综合考查学生的数学建模、直观想象和数学运算素养.

综上所述，教师要把握高考考查从能力立意到素养导向的六个转变，素养导向落实“四基”，制定合适的教学策略有效备考. 在日常教学中，要立足数学内容本身，构建知识结构体系;立足精准落实基础，发挥教材的引领功能;立足知识交会综合，发展学生的数学应用能力;立足数学思想方法，提升学生的数学核心素养;立足研究高考试题，把握数学命题趋势，凸显教学的实效性.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]教育部考试中心制定. 中国高考评价体系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

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[4]安学保. 评价体系新实践  高考命题新突破：新高考Ⅰ卷数学试题评析[J]. 数学通报，2020，59（9）：52-55，63.

[5]任子朝，赵轩. 数学考试中的结构不良问题研究[J]. 数学通报，2020，59（2）：1-3.