落实高考评价体系 引领数学教学改革

张晓斌 李继权 吉士钦

摘  要：以2021年八省市适应性测试题第20题为例，从试题难点、试题解析、错误分析、试题评价等几个方面进行研究. 试题体现新高考“立德树人、服务选才、引导教学”的理念;试题注重对数学核心素养和数学文化的考查;嫁接真实问题背景情境，贯彻全面育人的要求;试题坚持高考数学命题的基础性、综合性、应用性和创新性要求，充分体现了数学学科考试的选拔功能和正确导向作用.

关键词：适应性测试;数学试题;深度分析;科学评价

由教育部考试中心统一命制的八省市适应性测试数学试卷第20题，以大兴机场建设成就为实际应用背景命题，仅考查立体几何初步知识，而不涉及空间向量和常见的平行、垂直等论证与计算，颇为异常，也倍感构思设计精巧创新. 该题的具体背景是微分几何中的[Gauss-Bonnet]公式在简单多面体中的特殊情形，世界著名数学家陈省身先生平生最得意的工作即是此公式的内蕴证明. 该题的证明与简单多面体的欧拉示性数[V+F-E=2]的证明思路相似. 而多面体欧拉公式的发现与证明在《全日制普通高级中学教科书·数学（试验修订本）》必修第二册（下A）和人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》（选修3—3）“球面上的几何”中都有深入的介绍.

一、情境再现，感悟真题

2021年八省市适应性测试卷第20题如下.

题目  北京大兴国际机场（如图1）的显著特点之一是各种弯曲空间的运用. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容. 用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于[2π]与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和. 例如，正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是[π3]，所以正四面体在各顶点的曲率为[2π-3×π3=π]，故其总曲率为[4π].

（1）求四棱锥的总曲率;

（2）若多面体满足：顶点数 - 棱数 + 面数 = 2，证明：这类多面体的总曲率是常数.

该题学生实际得分不高，在解决第（2）小题时，最难的就是需要学生在考场上根据问题情境学习新知识之后进行数学建模，将空间问题平面化，建立顶点数、面数、棱数与总曲率的关系. 该题对学生的阅读理解能力和空间想象能力提出了较高要求，对培养学生的应用意识、创新意识也起到了积极的引导作用，是对新高考下高中数学教学改革的引领示范.

二、多维探究，深度思考

下面主要给出解决第（2）小题的四种解法.

解：（1）四棱锥共有5个顶点，5个面. 四棱锥所有面角之和等于4个三角形内角之和再加上1个四边形内角之和，所以四棱锥的总曲率为[5×2π-4×π-2π=4π].

（2）设多面体的顶点数为[V]，棱数为[E]，面数为[F].

多面体的总曲率[=V×2π-]多面体所有面角之和[=][V×2π-]多面体所有面的内角之和.

（方法1）多面体的面均为多边形，每个面分别记为[ni i∈N，1≤i≤F]边形，[ni]边形的内角和为[ni-2π]，且[i=1Fni=2E]（在所有多边形的边数总和的计算过程中，每条棱都计算了两次），则所有面的内角和为[i=1Fni-2π=][πi=1Fni-2πF=2πE-F]. 所以多面体的总曲率[=V×][2π-2πE-F=2πV-E+F=4π]. 故这类多面体的总曲率是常数.

（方法2）设多面体的所有面中，有[a3]个三角形，[a4]个四边形，…，[an]个[n]边形（[ai∈N，i=3，4，…，n]），则有[i=3niai=2E， i=3nai=F]，所以多面体的总曲率为[V×2π-i=3ni-2πai=V×2π-πi=3niai+2πi=3nai=V×2π-][2πE-F=2πV-E+F=4π].

（方法3）在多面体每个面内作出只从同一顶点出发的所有面对角线（若面是三角形则不需要进行此项工作），则每个面被切割成了几个互不交叉的三角形. 设现有三角形的个数为[F]，原多面体的棱数与上述作出的对角线条数总和为[E]. 在作辅助线的过程中，多一条上述作出的对角线就多一个三角形，而顶点数不变. 所以由欧拉公式知，[V，E，F]仍满足关系式[V+F-E=2]. 而每个三角形的每一条边都是相邻两个三角形的公共边，则[E=3F2，F=2V-4=2V-2]，多面体所有面的内角之和为[Fπ=2V-2π]，则多面体的总曲率为[V×2π-][π2E-2F=2πV-E+F=4π].

（方法4）假设多面体的表面由橡皮膜制成，以多面体的一个面为底，将其适当扩大使其余[F-1]个面的顶点向底面的正投影全部落在该底面内，剪去该底面多边形，将多面体压成平面图形（可以认为将该多面体垂直压向底面，也可以认为将其余各面拉开铺平）. 如图2，正十二面体剪去它的一个面[ABCDE]后，投影到面[ABCDE]上得到的平面图形，如图3所示.

多面体的顶点、棱和面分别与平面图形中的顶点、棱和面一一对应，即将多面体压缩成平面图形后，其顶点数、棱數与面数均未发生改变，则所有面的内角之和也不变. 这样，多面体所有面的内角之和可以转化到平面图形中进行研究. 在平面图形所有[V]个顶点中，设剪去的最大多边形（底面）有[n]个顶点，其内角和为[n-2π]，它的内部含有[V-n]个顶点. 其他多边形的内角总和可以看成由两部分组成：一部分为[V-n]个周角（每个顶点处内角和为[2π]）;另一部分为剪掉的那个多边形的内角和. 因此，多面体的总曲率为[V×2π-n-2π+n-2π+V-n · 2π=4π].

三、执果索因，反思错解

在解答该题的过程中，很多学生存在许多错误想法和思维障碍.

在解决第（1）小题时，主要有如下错误. ① 认为四棱锥为四面体. ② 利用特殊四棱锥得到结果. 例如，对于各棱长均相等的正四棱锥，计算得到其总曲率为[4×2π-π3×2-π2+2π-π3×4=4π]. ③ 对四棱锥的结构特征认识不到位，对新定义“多面体的面角”理解不到位，类比方法运用不合理. 例如，四棱锥每个顶点有四个面角，每个面角为[π4]，所求四棱锥的总曲率为[5×2π-π4×4=5π]或者[2π-π3×4×4=83π]或者[2π-π4-π4-π2×4=4π]，等等.

在解決第（2）小题时，主要有如下错误. ① 认为符合题意的简单多面体只有棱锥与棱柱，只是研究了某一类多面体的曲率，结论不具有一般性. ② 对于“多面体所有面角之和[=]多面体所有面的内角之和”的条件阅读理解不到位. ③ 把多边形内角和为[n-2π]遗忘了. ④ 顶点数、棱数、多边形的边数、面数、多边形的个数，这些量比较多，数量关系梳理不清，所有面角和[2πE-F]推理论证不充分、不严谨，字母代数运算也不过关. ⑤ 归纳猜想能力不足.

该题设计富有特色，由特殊几何体正四面体、四棱锥的总曲率可以猜想简单多面体的总曲率，由特殊几何体正四面体、四棱锥的总曲率计算方法让学生归纳猜想，联想多边形内角和，翻译出“多面体所有面角之和[=]多面体所有面的内角之和”的意义. 但是学生“由特殊到一般”的猜想论证能力不足，而运算中“棱”参与了两次运算又加大了难度.

立体几何主要承载了六大数学核心素养中的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养的要求. 现行教材立体几何内容是采用“三条腿”（即综合法、向量法、坐标法）走路的，但是很多学生在学习中都采用综合法证明平行与垂直、采用坐标法求角，甚至有的学生只会用长方体建立坐标系计算. 源自对身边三维世界的观察而抽象出来的立体几何，结果在实际运用中学生的空间观念未能很好地建立起来，学生的空间想象能力未能形成，缺少了对形象直观的想象. 学生对立体几何中的定义的理解与运用能力较弱，不能较好地运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索图形的性质. 同时，学生的形象思维和逻辑思维能力有待提高，学生的空间想象能力较弱，容易受到其他条件的干扰，无法从整体角度分析题目的条件逐步进行推导证明，没有形成综合分析问题的概括能力，导致无法解答该题.

四、育人导向，科学评价

中国高考评价体系的科学构建是从根本上解决教育评价中指挥棒问题的重大举措，也是健全立德树人落实机制、实现德智体美劳全面发展育人目标的必经之路. 在具体设计试题时，要突出理性思维，考查关键能力，反映基础性、综合性、应用性与创新性的“四翼”要求. 下面结合该试题，分析《中国高考评价体系》中的这些新理念、新要求是如何渗透在高考试题之中的.

1. 坚持立德树人导向，创新命题改革方向

该题在考试内容改革、题型创新、试卷结构改革及科学调控难度等方面进行了积极探索. 试题内容体现了中学数学与高等数学相衔接的教材内容，题型是新定义的解答题，是把紧扣新定义的计算与证明相结合的有难度层次的问题，正确把握试题与《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）的关系，体现了对数学核心素养的考查，发挥了试题对中学数学教育的导向作用.

该题背景深刻、立意深远，源于生活的真实情境新颖而不落窠臼，陌生却似曾相识. 题目体现了数学的科学价值和理性价值，渗透了与大学数学内容相链接的概念及思想方法，既考查了学生的数学核心素养，又考查了学生的学习潜能. 有助于学生关注现实生活、领会创新精神，激发了学生学习数学的兴趣，以及在社会实践活动中应用数学工具和方法解决重大问题的热情，落实了立德树人的教育理念. 试题进一步发挥了高考数学的选拔性和导向性功能，以高校人才选拔的要求为依据，强化高考数学的思想教育和价值引领. 由此可见，高考数学试题今后将更加注重考查学生的综合素养和创新意识，体现数学问题的育人功能.

2. 立足“四翼”要求，提升数学核心素养

该题知识性的考点有两个：一是空间几何体的空间结构，简单多面体的概念，多面体的顶点、棱、面之间的数量关系，如每一条棱被两个面共用等;二是平面多边形的内角和，即[n]边形的内角和为[n-2π]. 该题对即将进入高校的高三学生应该掌握的立体几何中的基本概念、原理、技能和思维方法等进行了较好的测量与评价，较好地检测了学生是否具备立体几何中的“四基”，是否具有应对生活实践和数学探究问题的基础知识、基本能力和核心素养，是否具有今后进入大学学习和终身发展所需要的必备知识和关键能力.

该题围绕直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析这五个数学核心素养，在知识网络的联结处着眼，着重考查学生将已有知识和方法综合应用到新情境中去分析问题和解决问题的能力，科学评价和合理区分学生数学学科学业质量水平和数学核心素养水平的达成情况.

数学源于现实世界，又要回到现实世界中去解决有关的实际问题. 新高考对数学应用性关注度明显提高，《标准》对数学建模和数学应用都有一定的要求. 因此，该题考查了学生的阅读理解能力和获取新信息的能力，增强了学生的数学应用意识，充分体现了对学生解决实际问题能力的要求，从而引导学生关注现实生活和时事新闻，从生活中提取数学问题，进一步落实立德树人的根本任务.

该题的创新性体现在题目的呈现形式和阅读理解上. 读题、审题是解决该题的基础，读懂题意是解决该题的关键. 阅读理解是基于思维活动的一种重要认识能力，是直接影响解决问题效果的前奏和序曲. 该题看似阅读量不大，但阅读题目中“规定”的难度并未降低，对学生的阅读、思考和创新思维要求较高. 该题设计的背景和知识考点与历年高考数学立体几何解答题完全不同，面貌焕然一新. 以北京大兴机场的建筑设计、微分几何中的曲率为背景，用曲率刻画空间弯曲性，规定了多面体顶点的曲率和多面体总曲率. 这种试题设计的呈现方式和设问方式与众不同，要求即将进入高校的学生在新颖或陌生的情境中主动思考，完成数学探究性任务，测试与评价了学生发现新问题、找到新规律、得出新结论的水平. 该题的设计意在引导教师在教学中重视提高学生的思维品质，为适应新时代发展打下良好的基础.

3. 贯彻科学探索精神，体现以文化人理念

该题从正四面体的曲率出发，探索一般多面体的曲率问题，渗透了由特殊到一般的思想方法，有助于培养学生用更长远的眼光寻找该题的规律与本质. 我国著名数学家华罗庚教授曾说，对于复杂的问题要善于“退”，先足够地“退”到我们最容易看清楚問题的地方，认透了、钻深了，然后再上去. 事实上，就是将复杂问题简单化、特殊化，通过特殊情况将问题认识透彻，再探索一般的方法来解决原问题. 该题的探索和解决需要学生能够在数学学科一般观念的指导下，科学合理地运用数学通性、通法和解决数学问题的思维策略，统摄数学学科相关知识，运用数学学科关键能力，高质量、高水平地理解问题、分析问题、解决问题和反思问题，使高三学生适应新时代要求并获得支撑终身发展的能力.

源于具体的实际问题，需要学生进行审题分析、提炼、翻译，挖掘问题的数学本质，突出对学生的数学抽象、直观想象、数学建模等素养的考查，渗透解决数学问题的统摄性思想——普遍性寓于特殊性之中. 抽象并进行数学建模，让问题数学化，使错综复杂的实际应用问题更加直观化和逻辑化.

数学文化是学生数学学习过程中的重要组成部分. 在今后的数学教学和高考数学命题中，应坚持文理互补的数学教育理念，促进学生数学核心素养、精神品质和正确价值观的形成. 该题在考查相关知识的同时弘扬了科学精神，在展现社会主义建设成就的同时增强了学生的文化自信与民族自豪感，将数学知识、思想方法和文化精神等融为一“题”，促进了学生的全面发展，贯彻了全面育人的要求.

从近几年全国卷的高考数学试题可以看出，教育部考试中心已经把在高考试题中渗透数学文化作为高考试题改革的一个重要方面. 而这类试题阅读量较大，突出考查学生的数学学科综合素养. 以社会生活实际情境为载体，注重跨学科融合试题的命制，在考查“四基”的同时，着力考查学生的“四能”及数学学科关键能力、创新意识和应用意识，把“五育并举”的价值观融入试题内容中，让学生切身体会数学学科的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值. 发展学生的数学核心素养需要建立在数学文化的基础上，而数学文化教育需要教师在教学过程中传承、渗透数学文化，通过数学教学活动实现数学文化的育人功能，培养学生的综合素养. 在数学课堂教学中研究一些经典数学问题，如“哥尼斯堡七桥问题”“多面体的欧拉定理”等来领略数学家解题时的辩证思维，感受数学家的哲学智慧，有助于学生突破固定的形式逻辑思维，自觉运用多元、变化和发展的眼光看问题，提升学生的思维品质，培养学生的理性精神.

总之，该题坚持高考的核心价值，考点新、命题新，突出数学学科特色，注重考查学生的独立思考能力、阅读理解能力、提取信息能力、分析问题与解决问题的能力，注重数学建模、直观想象和逻辑推理等数学核心素养的考查，命题理念从原来的“知识立意、能力立意”向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”转变. 新高考数学试卷在纵横交错考查数学学科基础知识的同时，注重了对数学思想方法、关键能力及核心素养的考查，展示了数学学科的科学价值和人文价值，同时兼顾了数学试题的基础性、综合性、应用性和创新性，体现了思维的流畅性、深刻性，以及方法的综合性、探究性和创造性. 试题设问间有层次性，合理调控综合程度，很好地把握了稳定与创新的关系，体现了课程改革的精神，充分发挥了数学学科作为基础学科的作用. 同时，注重考查大多数学生进入高校继续学习的潜能，对探索新高考的模式、推进高考综合改革、引导中学数学教学都将会发挥积极的作用.

参考文献：

[1]教育部考试中心制定. 中国高考评价体系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[2]教育部考试中心编写. 中国高考评价体系说明[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[3]任子朝，赵轩. 基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径[J]. 中国考试，2019（12）：27-32.

[4]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[5]华罗庚. 华罗庚科普著作选集[M]. 上海：上海教育出版社，1984.