在实验中抽象 在经验上推理

刘炜

摘  要：为落实核心素养的培养，以数学实验为情境，以数学经验为向导，以人教A版教材中“空间向量基本定理”为例设计并实践了“在实验中抽象，在经验上推理”的教学思路，从而对命题教学提出了一些建议：用一般观念引领探究活动，用数学实验创设问题情境，用理性精神细化学习过程.

关键词：数学实验;数学推理;命题教学;教学设计

一、引言

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）指出，通过“空间向量与立体几何”的学习，运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性和差异;运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具. 其主要方法就是利用空间向量将立体几何代数化（坐标化），用解析几何方法论去解决立体几何的问题.

如何才能保证代数化（坐标化）的严谨？利用空间向量基本定理. 很多教师把空间向量基本定理当成“桥梁”，但是并没有把“基本”理解透彻，在教学中走过场，这是不可取的. 虽然空间向量是无穷的，但它们都可以表示成三个不共面向量所组成的基底的线性组合，这样就可以利用这个基底表示空间图形中的任意元素，并使这些元素之间建立起标准化的联系，从而可以通过代数运算解决立体几何问题. 这个过程是程序化的，从理论上讲，只要我们根据问题中几何图形的特征选定基底，那么任何几何问题都可以得到解决. 这就是空间向量基本定理的“基本”之所在.

空间向量基本定理的“基本”可以进一步从以下几个角度来理解. 其一，知识的基本，空间中任一向量都可以表示成三个不共面向量的线性组合，这个结论是基本的;其二，方法的基本，即程序化操作，多将向量的共线比例关系改写成基底的线性组合形式，不仅复习了向量的线性运算，也为向量的坐标表示做了铺垫;其三，思想的基本，只要选定基底，任何几何问题都可以得到解决，这种“以少表多”的转化思想是十分重要的，同时将空间向量问题转化为基底的运算，充分体现了数学的简洁性;其四，模型的基本，剥离代数的结构形式，从几何角度来审视空间向量基本定理，即在平行六面体中研究面对角线、体对角线，将三维降到二维、一维，这种降维的经验也十分基本.

如何充分体现空间向量基本定理的“基本”？这是值得一线教师思考与研究的话题. 在苏州市拔尖创新联盟活动中，笔者设计并实践了这一课题，确定了“在实验中抽象，在经验上推理”的教学思路，试图将“基本”两个字凸显出来，落实《标准》的精神.

二、教学实践

1. 学情分析

本节课使用的教材是人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册（以下统称“教材”），授课对象是江苏省震泽中学高二某班学生，笔者是借班上课. 通过课前交流，笔者发现该班学生思维比较活跃，基础比较扎实，对平面向量有较好的理解，为开展“类比、联系、推广”的教学实践活动提供了较好的前期活动经验.

由于空间向量与平面向量同构，因此可以采用类比的方法让学生体会两者的共性与差异. 空间向量基本定理揭示了空间中三个不共面向量构成三维空间的一个基底，其承接空间向量的线性运算，也开启了基底法的使用，学生可以在边学边用中了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量正交分解及其坐标表示. 恰如引言所论述，这个基本定理不仅在知识结构上起着承前启后的作用，也在思想方法上有着光前裕后的影响.

2. 教学实录

（1）课堂引入.

PPT展示：如果代数与几何各自分开发展，那么它们的进步将十分缓慢，而且应用范围也很有限. 但若两者相互结合共同发展，就会相互加强，并以快速的步伐向着完美化的方向猛进.（拉格朗日语）

师：代数与几何是数学研究中两个重要的主题，它们相互沟通可以摩擦出新的火花. 在以往的学习内容中，你觉得什么可以称为沟通代数与几何的精灵？

生1：向量.

师：从平面向量拓展到空间向量，发现向量的定义、运算都没有大的变化. 按照平面向量的研究路径，如何将向量坐标化？用什么定理加以保证？

学生交流后得到定理的名称，即平面向量基本定理.

师：这个定理的作用是什么？

生2：用两个向量来表示平面内的任一向量.

师：你说得很好. 也就是用最少的向量线性表示所有的向量，这就是“以少表多”的典型. 现在，我们已经把向量从平面推广到空间了，若要坐标化，理论上就需要空间向量基本定理. 这就是今天要研究的课题.

【评析】借鉴平面向量的研究路径，在一般观念的基础上，用基本活动经验引导整个课堂的走向，从而真正做到让学生提出问题、解决问题. 事实上，此举也交代了本节课的主旨，即为什么要研究这个课题.

（2）数学实验.

实验（复制向量）：泡沫板上插着一支竹签（有向线段），不通过平移，能否在另一个泡沫板上插上一支竹签（有向线段），使得两者是相等的向量？

教师帮助每个小组准备直尺1把、泡沫板1个、竹签若干，引导学生在合作交流的基础上实施操作，希望学生在3分钟内完成探究.

师生活动：学生讨论，也有学生到讲台上观测;教师巡视，与部分学生交流想法.

师：时间到，请展示作品.

通过比对，发现学生出现了测量误差，与预期不一致.

师：很遗憾发生了误差，你能谈谈你的实验设计吗？

生3：先向下作垂线，测量高度，然后将斜足与垂足连接起来，再过斜足、垂足作泡沫板边沿的平行线，测量长度，确定垂足与斜足的相对位置.

师：设计很合理. 那么就是操作中产生了误差，所以在实践中还要思考如何才能减小误差. 事實上，古人就有这样的方位感. 例如，著名诗人白居易在《钱塘湖春行》中写道“孤山寺北贾亭西，水面初平云脚低”，就很好地刻画了方位.

接下来，笔者引导学生将这种立体位置关系抽象出来，如图1所示. 同时，用表1表示主要教学过程.

【评析】笔者不想采用“是否用两个向量表示任意向量”所制造的矛盾冲突，因为该冲突与平面向量基本定理几乎等价，比较抽象. 由此设计让学生探究如何表示一个空间向量，需要学生从三个维度上确认向量的同一性，也为后续的正交分解奠定基础. 事实上，正交分解是物理中学习矢量的十分重要的方法，也是人们研究问题比较常见的思维，这与教材先特殊后一般的思路是契合的，也符合学生的认知过程.

师：不难发现，可以用空间中的这样一组特殊的向量来表示空间中的任一向量，而且不能减少任何一个向量，否则就落在平面内了. 只有代数表示与几何形式具有一致性时，数组才能表示向量，请大家考虑一下，这样的表示唯一吗？

生4：由共线定理与平面向量基本定理（共面定理）保证唯一性.

师：你理解得很好！如何证明呢？以往有什么证明唯一性的经验吗？在初中是如何证明垂足的唯一性的？

生5：用反证法.

学生口述，教师板书：设另外一组数[x′，y′，z′∈R]，使得[OP=x′i+y′j+z′k]，从而[xi+yj+zk=x′i+y′j+z′k]，整理，得[x-x′i+y-yj+z-z′k=0]，因此就有[x=][x′]，[y=y]，[z=z′].

师：理由是什么？

生6：零向量在三个分量上都是零向量，所以各自相等.

师：如果这样可以的话，那么直接分解也是唯一的. 再想想，如何从空间向平面转化？如何说明两者相等（也就是两者之差是0）？

生7：还用反证法.

学生口述，教师板书：设[z=z′≠0]，则有[k=][-1z-z′x-x′i+y-yj]，说明[k]与[i，j]共面，矛盾. 因此[z=z′]. 同理，[x=x′]，[y=y].

师：由此唯一性得以证明，从而获得下面的结论，进而将有序数组与向量一一对应.

结论：设[i，j，k]是空间中三个两两垂直的向量，对于任意一个空间向量[p]，存在唯一的有序实数组[x，y，z]，使得[p=xi+yj+zk].

【评析】事实上，空间向量的大小是确定的、可测量的，但是空间向量的方向需要参照系，即可以用一组数来表示. 唯一性可以保证数组与向量的一致性，真正实现空间向量的代数化. 因此，论证唯一性的工作是十分重要的，不仅为后续知识的学习提供了理论基础，也为严格论证提供了可靠经验，是培育学生理性思维的重要契机.

（3）数学抽象.

师：从刚才的数学实验到数学结论，在空间中可以找到三个向量，任意向量可以用它们唯一地线性表示. 这三个向量是特殊的，能否一般化呢？请大家看看我的这个操作.

教师将竹签放在长方体（吸管为棱，用棉线串联）的体对角线位置，表示这一向量可以用互相垂直的三个向量线性表示;然后将长方体挤压变成平行六面体，竹签依旧放置在体对角线的位置;最后将长方体“拍扁”在讲台上，使得所有向量皆在讲台平面内（包括竹签）.

师：可以线性表示空间中任意向量的三个向量应该是什么关系？

生8：不共面.

师：很好，由此可以抽象出空间向量基本定理，它与平面向量基本定理比较类似. 请同学们类比叙述.

教师用PPT呈现平面向量基本定理，学生类比平面向量基本定理说出空间向量基本定理.

平面向量基本定理：如果[a，b]是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量[p]，有且仅有一对实数[x，y]，使得[p=xa+yb]. 我们把[a，b]叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

空间向量基本定理：如果三个向量[a，b，c]不共面，那么对于任意一个空间向量[p]，存在唯一的有序实数组[x，y，z]，使得[p=xa+yb+zc]. 我们把[a，b，c]叫做空间的一个基底（base），[a，b，c]都叫做基向量（base vectors）.

師：如果有四维空间，或者说[n]维空间，需要多少个向量构成基向量？

生9：四维空间需要四个向量构成基向量.

【评析】“拍扁实验”可以帮助学生十分自然地将正交基底推广成一般基底，但语言叙述的准确性是学生的难点，因此在实验的基础上，指导学生类比平面向量基本定理的语言加以描述，真正体现一般观念的照搬. 在此基础上，发现从一维到三维具有一致性，还可以推广到一般的线性空间.

（4）数学理解.

师：空间中可以选择不同的基底，其要求就是不共面.

例1 （教材第15页习题1.2第2题）若[a，b，c]构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ）.

（A）[b+c，b，b-c]

（B）[a，a+b，a-b]

（C）[a+b，a-b，c]

（D）[a+b，a+b+c，c]

学生研究发现选项A、选项B和选项D都是共面的，所以选择选项C.

师：好. 我们再来验证一下.

设向量[p=a+b，q=a-b，r=c]，若向量[c]与向量[p，q]共面，即存在[λ，μ]，使得[c=λp+μq=λa+b+][μa-b=λ+μa+λ-μb]，说明向量[c]与向量[a，b]共面，这与[a，b，c]是空间的一个基底矛盾，说明[p，q，r]是空间的一个基底.

师：同时发现，[a=12p+q，b=12p-q，c=r]. 是否意味着一个基底可以用另一个基底线性表示？的确. 证明留给大家课后做.

练习：（教材第15页习题1.2第1题）如果向量[a，b]与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么[a，b]间应有什么关系？

生10：共线.

师：的确. 极端的情况就是其中存在零向量. 事实上，这也隐含了基底都是非零向量.

【评析】一般来说，空间向量基本定理可以在坐标化之后“功成身退”，但是对其本身的理解是十分重要的. 本环节设计的定理的理解基于两个方面的考虑：其一，理解向量不共面是选择基底的唯一标准，也隐含了基底都是非零向量;其二，不同的基底之间是可以相互转化的，这样才可能并需要选择“好的”基底，即为“单位正交基”的选取提供了理论基础.

（5）数学应用.

师：空间向量基本定理就是用基底来线性表示空间中的向量. 下面我们来看看如何用基底来线性表示空间中的向量.

例2 （教材第12页例1）如图2，[M]是四面体[OABC]的棱[BC]的中点，点[N]在线段[OM]上，点[P]在线段[AN]上，且[MN=12ON，AP=34AN]，用向量[OA， OB， OC]表示[OP].

生11给出解法：[OP=OA+AP=OA+34AN=OA+][34ON-OA=14OA+34ON=14OA+3413OB+13OC=14OA+][14OB+14OC].

师：做得很好. 利用物理中位移的观点，用加法运算将所求向量逐步向基向量的方向转化. 借用平面向量的经验，应该也可以将向量的共线比例关系写成基底形式. 由[AP=34AN]，得[AO+OP=34AO+ON]，即[OP=][14OA+34ON]. 因为[NM=12ON]，所以[NO+OM=][12ON]，即[ON=23OM]. 因为[OM=12OB+OC]，所以[OP=][14OA+OB+OC].

由此，用基底来表示空间向量，主要做的工作就是线性运算，可以将向量的共线比例关系加以分解，也可以借助几何直观进行分解. 我们知道，点[M]是线段[BC]的中点，点[N]应该是[△OBC]的重心，那么大家觉得点[P]是四面体的什么呢？

生12：物理重心.

师：的确，四面体的重心在线段[AN]的四等分点处，可以用物理的观点来解读. 分解完毕，就可以思考如下问题，以下哪种基底更便于计算？

问题1：如果[OA， OB， OC]两两所成角为60°，且模长为2，求[OP]的模.

问题2：如果[OA， OB， OC]两两所成角为90°，且模长为2，求[OP]的模.

问题3：如果[OA， OB， OC]两两所成角为90°，且模长为1，求[OP]的模.

通过现场调查，个别学生选择了问题1，几名学生选择了问题2，多数学生选择了问题3. 因此，教师让选择问题1和问题2的学生来陈述理由.

学生给出理由：问题1的几何体很好，是正四面体. 问题2中所给向量的模长为2，取各线段的中点后所得线段的长度依旧是整数.

师：喜欢是感性的，无须理由;但是数学是理性的. 应该从什么角度来考虑呢？

师生一起给出下面的推理：假设[p=xa+yb+zc]，那么[p2=x2a2+y2b2+z2c2+2xya · b+2yzb · c+2zxc · a]. 不難发现，如果向量[a，b，c]互相垂直，那么[a · b]，[b · c]和[c · a]都等于0，则有[p2=x2a2+y2b2+z2c2]，如果向量[a，b，c]的模长为1，那么向量[p]的长度的平方就可以表示为[p2=x2+y2+z2]，此时只与系数有关.

因此，互相垂直且长度为1的基向量就是“好基”. 特别地，如果空间的一个基底中三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用[i，j，k]表示. 由空间向量基本定理可知，空间中的任意向量[a]均可以分解为三个向量[xi，yj，zk]，使得[a=xi+yj+zk]. 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

【评析】常见的线性表示是空间向量基本定理的一种呈现. 类比平面中三角形的重心，提出空间四面体的重心，将平面问题类比到空间. 思考的几个问题，试图逐层递进，最终推向呼唤“好基”，也就是获得“单位正交基”. 该内容既为向量的坐标表示埋下伏笔，也拓展了课堂的时空.

三、教学建议

在教学设计时，笔者根据《标准》所提倡的理念，研究教材内容、整合教材资源组织教学. 通过教学实践，对以实验为引导、经验为基础的数学命题教学又有了新的认识，特给出如下建议.

1. 用一般观念引领探究活动

章建跃博士早在2014年就指出，数学教学中的讲“理”关键是要有一般观念的引领. 从教材逻辑体系来说，通常是按照“背景（实际背景、数学背景）—定义（内涵，表示）—分类（以要素为标准）—性质（要素、相关要素的相互关系）—特例（性质和判定）—联系（应用）”的逻辑展开的，是科学研究的思路和方法，为学生学习和教师教学提供了一般观念，从而形成富有数学思想的知识经验. 教材的章首语也是通过回顾平面向量及其应用的学习，引导学生类比思考空间向量的探究，即不断强化一般观念在大单元主题教学中的作用.

针对本节课，可以类比平面向量基本定理，探究空间向量基本定理的作用与价值，研究空间向量基本定理的方法与思想. 因此，平面向量研究中的活动经验对于空间向量的研究起着重要的支撑作用. 虽然一切都是类比平面向量，但是将二维平面类比到了三维空间，这对于学生来说就是创新. 在教学过程中，如果能够坚持用这种类比的思想，那么可以让学生积累很多创新的经验，在遇到具体问题时能够有足够多的想法去解决问题. 同时，在类比的过程中，学生可以发现一维、二维和三维具有高度的一致性，也就是章建跃博士提出的“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”. 这是体现一般观念的具体案例，从而可以让学生感受一般观念，落实大单元的主题教学，提升教学的深度与厚度.

2. 用数学实验创设问题情境

数学实验是指通过动手、动脑“做”数学的一种数学学习活动，是学生运用有关工具（如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具及计算机等）在数学思维活动的参与下进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动. 事实上，数学实验契合了杜威“从做中学”的教学理念，即从活动中学，在经验中学，在情境中学. 这与《标准》是契合的.《标准》中提到“情境”一词158次，可见“情境”是落实《标准》十分重要的指针.

为顺应学生先特殊再一般的思维，契合教材从具体到抽象的思路，在探究“用较少向量线性表示平面内所有向量”这一问题时，设计了数学实验——复制向量. 该实验的目的在于让学生在确定向量的过程中，感知确定向量的两个要素，感悟确定方向的三个维度，从而通过横、纵、竖三个方向的测量，实现复制向量的目标，建立空间向量基本定理的雏形. 如此设计的数学实验，其实就是创设一种问题情境，由情境引发学生思考，从文化催生学生想象，通过环环相扣的问题和贯穿始终的活动，帮助学生理解空间向量基本定理，落实学生“做中学”的理念.

笔者认为，情境是思维和认知的起点. 思维和认知只有在特定的情境中才有意义，不存在非情境化的学习. 戴维·H.乔纳森认为，个体认知心理常常产生于构成、指导和支持认知过程的环境中，认知过程的本质由情境决定，情境是一切认知活动的基础;知识存在于个体和群体的行动中，是随着个人参与到新的情境中并在基于新情境的协商中产生的. 由此可见，理想的数学教学就应该为学生创设“足够好”的情境. 其中，数学实验就是一种“好”的形式，能够很好地调动学生眼、手、脑的协作与配合，着眼于学生能主动地探索与建构. 在完成实验的过程中，掌握数学知识，积累活动经验，培养创新精神，落实《标准》的理念.

3. 用理性精神细化学习过程

数学教学中如何做到立德树人？进行德育渗透才是立德树人吗？笔者认为，德育渗透是立德树人的显性形式，而理性精神才是立德树人的内隐形式. 何谓理性精神？理性精神包括了对真理的追求，以及对人们必然能认识世界的坚定信念及理智判断是非的标准. 如此，才能让学生形成积极向上的性格、追求卓越的品格和独立自主的人格.

在本节课中，学生通过实验抽象出空间向量正交分解的存在性，通过思辨确定了正交分解的唯一性，这种抽象意识与严谨思维就是培养理性精神十分重要的载体与形式. 特别地，唯一性的判断为坐标系的建立奠定了坚实的基础，为代数化的使用注入了严谨的思维;唯一性的证明是降维转化思想的典型案例，是逻辑推理素养的培养路径. 基于此，学生不仅学到了单个的知识和方法，更重要的是提升了获取知识和判断是非的能力，实现了“从知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.

M.克莱因在他的名著《西方文化中的数学》中指出：数学是一种精神，一种理性的精神. 这种精神非“言传”所能达成，而是要通过“身教”，要在学习过程中体会数学的理性精神. 具体而言，在教学设计和实施的过程中，要充分重视数学的严谨性，培养学生深度思考的能力;要重视数学的系统性，培养学生整体建构的能力;要重视数学的生长性，培养学生合作创新的能力. 由此，通过细化的学习过程，充分培养学生的数学核心素养，实现立德树人.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

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[3]章建跃. 一般观念的思维引领作用[J]. 中小学数学（高中版），2014（3）：66.

[4]喻平，董林偉，魏玉华. 数学实验教学：静态数学观与动态数学观的融通[J]. 数学教育学报，2015，24（1）：26-28.

[5]戴维·H.乔纳森. 学习环境的理论基础[M]. 郑太年，任友群，译. 上海：华东师范大学出版社，2002.

[6]于道洋，宁连华. 试论墨家的理性精神及其对数学教育的启示[J]. 数学教育学报，2021，30（5）：87-91.