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分类讨论思想在初中数学解题中的应用

2022-05-30利剑春

中学教学参考·理科版 2022年6期
关键词:分类讨论思想初中数学应用

利剑春

[摘 要]初中数学是一门难度较大的学科,对学生的能力要求相对较高。在初中数学教学中,为了满足学生的学习需求,让学生能更好地进行学习,加强对知识的理解与记忆,教师需要采取高效的教学方法。在初中数学解题中应用分类讨论思想,不仅能让学生掌握解题的规律及正确的解题方法,还能提升学生的解题效率。在初中数学教学中,教师可结合典型问题引导学生合理应用分类讨论思想,以助力学生有效解题,提升学生的解题能力。

[关键词]分类讨论思想;初中数学;应用

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058(2022)17-0019-03

把所有研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,我们称为分类讨论思想。分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。比较是分类的基础,也是分类的前提,分类是比较的结果。分类要制订一定的标准,分类的结果会因为标准的不同而不同,分类还要做到不遗漏、不重复。在初中数学解题教学中,教师引导学生应用分类讨论思想研究和解决问题,有助于学生掌握正确的解题方法。常见的数学分类讨论有由概念引起的分类讨论、由参数的变化引起的分类讨论等。分类讨论应科学、严谨,要遵循同一性原则、互斥性原则与层次性原则。分类讨论的步骤为:明确讨论的对象及其取值范围;合理选择分类标准,确保分类的合理性;正确进行分类,逐类、逐段进行讨论,综合得出结果。本文重点对涉及分类讨论的几种类型题进行分析,以提高学生的解题能力。

一、函数相关问题的分类讨论

函数是初中数学的重点内容,其考查的重点为二次函数。在解决函数问题的过程中,学生如果没有掌握一定的解题方法与技巧,就难以提高解题效率与准确度,也无法取得好成绩。二次函数相关题型多涉及参数,所以要求学生能善于应用分类讨论思想进行解题。

[例1]函数[y=kx2-8x+8]的图像与[x]轴有两个交点,则[k]的取值范围是__________。

这是一类涉及参数的函数问题。学生乍一看发现函数图像与[x]轴有两个交点,于是就想到用[Δ>0]来求解,列出[Δ=(-8)?-32k>0],解得[k<2]。对此,笔者给予提示:“这个函数一定是二次函数吗?”学生这才注意到,函数解析式的二次项系数是字母[k],而[k]的取值不同时,对应的将是不同的函数。由此,学生进行[k=0]和[k≠0]的分类讨论:(1)当[k=0]时,原函数是一次函数,其解析式为[y=-8x+8],其图像与[x]轴只有一个交点,与题意不符;(2)当[k≠0]时,原函数是二次函数,其解析式为[y=kx2-8x+8],由[Δ>0]解得[k<2]且[k≠0]。故本题[k]的取值范围是[k<2]且[k≠0]。

这是一道易错题,学生经常会忘记讨论函数解析式二次项系数是否为0的情况,由此教师需要归纳总结:二次项系数是否为0,是一个函数是否为二次函数的前提条件。如果二次项系数是参数或者是含有参数的式子,同样也需要讨论是否为0。

二、绝对值问题的分类讨论

在初中数学解题教学中,为了让学生形成分类讨论思想,教师应做好引导。分类讨论要有其原则,避免胡乱分类或者分类缺乏条理。在分类时,要求每一部分都是相互独立的,且按照一个标准进行分类,分类需逐级进行。为了让学生能顺利完成分类讨论,教师可结合一些有代表性与典型性的题目来进行引导。绝对值问题是代数的重要内容之一,要求学生能應用分类讨论思想来求解。教师可结合这类问题进行引导。

[例2]已知[0≤a≤4],化简[a-2+3-a]。

本题要求化简的式子含有两个绝对值,在[0≤a≤4]范围内,分别有不一样的化简结果,因此不能直接化简,需要分类讨论。对此,笔者设计了以下提问:

(1)当[a=0],1,2,3,4时,化简结果是否一样?如果不一样,为什么?

(2)哪些数使得两个绝对值分别等于0?

(3)如果只化简[a-2],[a]的取值范围需要分为几种情况?

(4)如果只化简[3-a],[a]的取值范围需要分为几种情况?

(5)如果同时化简[a-2]和[3-a],[a]的取值范围又需要分为几种情况?

学生会逐一思考,从而发现影响化简结果的临界值是[a=2]和[a=3]这两个数,因此,这两个数把[0≤a≤4]分为三个小范围:[0≤a≤2],[2

这样循序渐进地设问,学生会意识到有关绝对值的分类讨论,是从绝对值符号里面的式子与0比较大小来入手的,这为以后解决更复杂的绝对值分类讨论问题奠定了基础。

三、三角形相关问题的分类讨论

等腰三角形是特殊的三角形,学生很容易在解决三角形相关问题时出现错误,所以教师要善于应用分类讨论思想来引导学生解决问题,让学生通过分类讨论,掌握正确的解题方法。压轴题是历年数学考试的重点,分类讨论是数学压轴题最为常见的解题思路与方法,通过分类讨论,学生可有效解题,掌握解题技巧,并能举一反三。压轴题中特殊三角形、特殊四边形等问题都要进行分类讨论。对于直角三角形的存在性问题也可以应用分类讨论思想,可按照直角顶点的不确定性来进行分类讨论。在三角形相似的存在分类讨论中,主要对已知三角形的特征进行确定。以等腰三角形的分类讨论为例,可以分为以下四大类问题,学生可以利用分类讨论思想分析解决这四类问题。

第一,遇边问题需讨论。

比如[a],[b]是等腰三角形的两条边长,且[a],[b]满足[a-1+2a+3b-11=0],则该等腰三角形的周长为__________。

对于本题,学生可以先根据绝对值的非负性,列式解出[a=1],[b=3];接着求三角形的周长,因为题目并没有明确腰和底边,所以就要进行分类讨论。当[a]是底边时,三边分别为3,3,1,周长为7;当[b]是底边时,三边分别为1,1,3,周长为5。很多学生认为本题的答案为7或5。对此,笔者进行提问:这两种情况下的边长,能否构成三角形?学生恍然大悟:当三边分别为1,1,3时不能构成三角形。

由此可以归纳出:等腰三角形对底边和腰进行分类讨论得出来的结果,也需要进行严密的检验;只有符合三角形两边之和大于第三边的条件,才能构成三角形。

第二,遇角问题需讨论。

比如已知等腰三角形的一个内角为70°,求三角形另两个角。这类题目并没有说明已知角是顶角还是底角,这时就需要进行分类讨论了。可先将已知角分为顶角与底角两类,然后再通过三角形内角和定理进行计算。

第三,遇中线问题需讨论。

比如一个等腰三角形一腰上的中线把三角形分为两个部分,其中一个部分的周长为9厘米,另一个部分的周长为12厘米,求三角形的底和腰。对于这类问题,需要画图分析。画图时就会发现需要分类讨论,明确9厘米与12厘米是上下哪部分。当9厘米是上面部分时,设底边和腰为未知数,列出方程,求得底边和腰分别是6厘米和9厘米;当12厘米是上面部分时,求得底边和腰分别是8厘米和5厘米。

第四,遇高问题需讨论。

比如已知一个等腰三角形,一条腰上的高与另一条腰的夹角为20°,计算顶角的度数。由于锐角三角形的高在内部,钝角三角形的高在外部,对于这类问题也要进行分类讨论。结合图形,将三角形的顶角分为锐角与钝角两种情况进行分类讨论。当顶角是锐角时,由三角形内角和求得顶角为70°,同理,当顶角是钝角时,求得顶角为110°。

由此可见,对于与三角形有关的问题,大多数都是需要画图进行分析,而在画图的过程中,就会遇到各种情况需要进行分类讨论。因此,分类讨论思想和数形结合思想密不可分。

四、方程和不等式问题的分类讨论

数与代数是初中数学的主要知识点之一。实数、代数式等是数与代数的重要内容。数与代数的涉及范围较广,学习难度较大,如何才能让学生更加高效、灵活地解题成为教师关注的重点。在近几年的中考数学中,数与代数的考查相对较多,且属于综合性题目,对学生提出了更高的要求。数与代数综合题中涉及的知识类别常呈现出“你中有我,我中有你”的关系。数与代数综合题主要分为四大类。第一类,以方程(组)为主的“数与代数”综合题。这类题型的考查重点放在分式方程、一元一次方程的应用方面,所以教师在教学过程中可通过典型案例,引导学生解题,在解题过程中要求学生能对题目中的等量关系予以明确,并列出相应的方程。第二类,以不等式(组)为主的“数与代数”综合题。这类题型一般对学生的列方程能力、应用不等式组解决实际问题的能力进行考查,问题一般来源于生活。第三类,以函数为主的“数与代数”综合题。这类题目考查的重点是一次函数的应用。第四类,函数与不等式(组)相结合的“数与代数”综合题。这类题型考查的重点为一次函数的解析式的运用。对于这个知识点,分类讨论也是常考的点。比如2021年北部湾中考数学第12题就考查了不等式的分类讨论。

[例3]定义一种运算:[a?b=a, a≥b,b, a3]的解集是()。

A. [x>1]或[x<13]

B. [-1

C. [x>1]或[x<-1]

D. [x>13]或[x<-1]

如果僅仅是考查解不等式,估计很多学生都可以得出正确答案。但这是一道定义新运算的题目,这个新运算是以分段函数的形式出现的,它的本质其实就提示了要对[a]和[b]的大小进行分类讨论。

先让学生读懂这个新运算的法则:

当[a≥b]时,[a?b=a];

当[a

同理,在所求不等式中,

当[(2x+1)≥(2-x)]时,[(2x+1)?(2-x)=2x+1],

当[(2x+1)<(2-x)]时,[(2x+1)?(2-x)=2-x]。

这样,就对原不等式进行了化简,转化为两个一般的不等式来求解了。

五、圆相关问题的分类讨论

初中数学中分类讨论思想的应用教学,能让学生掌握解题方法与技巧,提升解题效率。与圆有关的问题中,分类讨论思想的应用,主要在于点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等。教师可引导学生对题目中的变量或两个图形之间的距离等进行明确。

[例4]一个点[P]到圆的最小距离为[6 cm],最大距离为[9 cm],则该圆的半径是()。

A. 1.5 cm

B. 7.5 cm

C. 1.5 cm或7.5 cm

D. 3 cm或15 cm

本题并没有配图,也就是说,需要学生自己画图来进行分析。那么在画图的过程当中,点的位置画在哪里就显得很关键了。而题目并没有指出已知点是在圆内还是圆外,因此,需要分类画出两个图形。

当点[P]在圆内时,直径=最小距离+最大距离。

当点[P]在圆外时,直径=最大距离-最小距离。

这样,学生通过画图分析,找到了这类问题的突破口,也就是分类讨论点的位置,通过图形的作用快速找到解题技巧。

总之,分类讨论思想是一种重要的数学思想,更是一种逻辑思维方法,学生在分类讨论思想的指引下,能高效完成数学解题,提升解题能力与水平。

(责任编辑 黄春香)

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