分类讨论思想在初中数学解题中的应用
2022-05-30利剑春
利剑春
[摘 要]初中数学是一门难度较大的学科,对学生的能力要求相对较高。在初中数学教学中,为了满足学生的学习需求,让学生能更好地进行学习,加强对知识的理解与记忆,教师需要采取高效的教学方法。在初中数学解题中应用分类讨论思想,不仅能让学生掌握解题的规律及正确的解题方法,还能提升学生的解题效率。在初中数学教学中,教师可结合典型问题引导学生合理应用分类讨论思想,以助力学生有效解题,提升学生的解题能力。
[关键词]分类讨论思想;初中数学;应用
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058(2022)17-0019-03
把所有研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,我们称为分类讨论思想。分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。比较是分类的基础,也是分类的前提,分类是比较的结果。分类要制订一定的标准,分类的结果会因为标准的不同而不同,分类还要做到不遗漏、不重复。在初中数学解题教学中,教师引导学生应用分类讨论思想研究和解决问题,有助于学生掌握正确的解题方法。常见的数学分类讨论有由概念引起的分类讨论、由参数的变化引起的分类讨论等。分类讨论应科学、严谨,要遵循同一性原则、互斥性原则与层次性原则。分类讨论的步骤为:明确讨论的对象及其取值范围;合理选择分类标准,确保分类的合理性;正确进行分类,逐类、逐段进行讨论,综合得出结果。本文重点对涉及分类讨论的几种类型题进行分析,以提高学生的解题能力。
一、函数相关问题的分类讨论
函数是初中数学的重点内容,其考查的重点为二次函数。在解决函数问题的过程中,学生如果没有掌握一定的解题方法与技巧,就难以提高解题效率与准确度,也无法取得好成绩。二次函数相关题型多涉及参数,所以要求学生能善于应用分类讨论思想进行解题。
[例1]函数[y=kx2-8x+8]的图像与[x]轴有两个交点,则[k]的取值范围是__________。
这是一类涉及参数的函数问题。学生乍一看发现函数图像与[x]轴有两个交点,于是就想到用[Δ>0]来求解,列出[Δ=(-8)?-32k>0],解得[k<2]。对此,笔者给予提示:“这个函数一定是二次函数吗?”学生这才注意到,函数解析式的二次项系数是字母[k],而[k]的取值不同时,对应的将是不同的函数。由此,学生进行[k=0]和[k≠0]的分类讨论:(1)当[k=0]时,原函数是一次函数,其解析式为[y=-8x+8],其图像与[x]轴只有一个交点,与题意不符;(2)当[k≠0]时,原函数是二次函数,其解析式为[y=kx2-8x+8],由[Δ>0]解得[k<2]且[k≠0]。故本题[k]的取值范围是[k<2]且[k≠0]。
这是一道易错题,学生经常会忘记讨论函数解析式二次项系数是否为0的情况,由此教师需要归纳总结:二次项系数是否为0,是一个函数是否为二次函数的前提条件。如果二次项系数是参数或者是含有参数的式子,同样也需要讨论是否为0。
二、绝对值问题的分类讨论
在初中数学解题教学中,为了让学生形成分类讨论思想,教师应做好引导。分类讨论要有其原则,避免胡乱分类或者分类缺乏条理。在分类时,要求每一部分都是相互独立的,且按照一个标准进行分类,分类需逐级进行。为了让学生能顺利完成分类讨论,教师可结合一些有代表性与典型性的题目来进行引导。绝对值问题是代数的重要内容之一,要求学生能應用分类讨论思想来求解。教师可结合这类问题进行引导。
[例2]已知[0≤a≤4],化简[a-2+3-a]。
本题要求化简的式子含有两个绝对值,在[0≤a≤4]范围内,分别有不一样的化简结果,因此不能直接化简,需要分类讨论。对此,笔者设计了以下提问:
(1)当[a=0],1,2,3,4时,化简结果是否一样?如果不一样,为什么?
(2)哪些数使得两个绝对值分别等于0?
(3)如果只化简[a-2],[a]的取值范围需要分为几种情况?
(4)如果只化简[3-a],[a]的取值范围需要分为几种情况?
(5)如果同时化简[a-2]和[3-a],[a]的取值范围又需要分为几种情况?