中考数学应用性问题的解题关键

郭淑华

[摘 要]应用性问题是近几年中考数学的一大热点之一，它以解决实际问题为目的。把握住解题关键是解决应用性问题的突破口。文章重点分析中考数学应用性问题的解题关键。

[关键词]应用性问题;解题关键;方程;不等式

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）17-0028-03

应用性问题是近几年中考数学的热点之一，它以解决实际问题为目标。要想破解应用性问题，需找到其解题关键。下面笔者结合近几年各地中考数学试题，分析应用性问题的特点，找出其解题关键，以供参考。

一、方程（组）的应用性问题

该类问题常见的类型有：（1）行程问题（包括相遇问题、追及问题、环形问题、水中航行问题等）;（2）工程问题;（3）浓度问题;（4）增长率或降低率问题;（5）数字问题;（6）最优策略问题;（7）最值问题。

[例1]（2021·张家界）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地。据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人。

（1）求这两个月参观人数的月平均增长率;

（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？

简析 （1）设这两个月参观人数的月平均增长率为[x]，根据5月份该基地接待参观人数=3月份该基地接待参观人数×（1+增长率）2，即可得出关于[x]的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案;（2）利用6月份该基地接待参观人数=5月份该基地接待参观人数×（1+增长率），即可求出答案。

点评 列方程（组）解应用题，关键是认真审题，正确分析题意，找出问题中的等量关系，然后根据等量关系列出方程（组）。列方程（组）时，等式两边应意义相同、单位一致、数量相等。若所列的方程是分式方程，结果要验根并且所得的解与实际要相符合。

二、不等式（组）的应用性问题

该类问题常见的类型有：（1）以市场经济为背景的不等式（组）应用题;（2）运用不等式（组）解决的方案设计类应用题。

[例2]（2018·湘潭）湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市。某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍。

（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？

（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过[10 000]元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？

简析 （1）2个温馨提示牌和3个垃圾箱的总价格是550元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍，据此建立方程组即可得出答案;（2）根据“至少需要安放48个垃圾箱”“费用不超过10 000元”这两个信息，建立不等式组即可得出答案。

点评 列不等式（组）解应用题的一般步骤是：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示未知数;（2）找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等式;（3）列出不等式（组），解不等式（组），求出解集并作答。解决这类问题的关键是根据问题实际建立不等式（组）模型，利用不等式（组）解的情况对问题作出最佳决策。

三、函数的应用性问题

该类问题常见的类型有：（1）一次函数的应用性问题;（2）二次函数的应用性问题;（3）分段函数及其他函数的应用性问题。

[例3]（2021·金华）某游乐场的圆形喷水池中心[O]有一雕塑[OA]，从[A]点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图1，以水平方向为[x]轴，点[O]为原点建立直角坐标系，点[A]在[y]轴上，[x]轴上的点[C]，[D]为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为[y=-16（x-5）2+6]。

（1）求雕塑高[OA];

（2）求落水点[C]，[D]之间的距离;

（3）若需要在[OD]上的点[E]处竖立雕塑[EF]，[OE=10 m]，[EF=1.8 m]，[EF⊥OD]。问：顶部[F]是否会碰到水柱？请通过计算说明。

简析 （1）利用二次函数图像上点的坐标特征可求出点[A]的坐标，进而得出雕塑高[OA]的值;（2）利用二次函数图像上点的坐标特征，求出点[D]的坐标，可得出[OD]的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出[OC]的长度，再由[CD=OC+OD]即可求出落水点[C]，[D]之間的距离;（3）代入[x=10]求出[y]值，进而可得出点[10，116]在抛物线[y=-16（x﹣5）2+6]上，将[116]与1.8比较后即可得出顶部[F]不会碰到水柱。

点评 利用函数模型来解决实际问题，首先要求出函数的解析式和自变量的取值范围，然后通过函数的增减性来确定函数的最值。

四、统计初步的应用性问题

统计初步有关问题是初中数学应用性问题的一个方面。随着素质教育对学生应用数学的意识要求的提高，近几年在中考数学试题中经常出现统计初步的应用性问题，教师在中考总复习时应重视。

[例4]（2019·鄂州）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分。（如下表和图2所示）

请你根据以上信息，回答下列问题：

（1）统计表中[m]的值为_________，统计图中[n]的值为_________，A类对应扇形的圆心角为_________度;

（2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数;

（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生。从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率。

简析 （1）由[B]类别人数及其百分比求出调查人数，再用调查人数减去[A]、[B]、[C]、[E]类别总人数得出[m]的值，然后根据百分比概念求出[n]，最后用360°乘以A类别人数所占比例，获得圆心角的度数;（2）根据统计图表中的样本数据来估计，答案可得;（3）利用树状图或列表，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可。

点评 解这类问题的关键是运用统计的思想对数据进行耐心、细致的观察，通过分析、比较，得到相应的特征数，运用统计初步的有关知识解决问题。

五、几何应用性问题

该类问题常见的类型有：（1）利用全等、相似及解直角三角形等知识进行测量的问题;（2）利用等腰三角形、圆、直角三角形等知识解决航海、气象等方面的问题。

[例5]（2020·聊城）如图3，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼[AB]的高度进行测量。先测得居民楼[AB]与[CD]之间的距离[AC]为[35 m]，后站在[M]点处测得居民楼[CD]的顶端[D]的仰角为[45°]，居民楼[AB]的顶端[B]的仰角为[55°]，已知居民楼[CD]的高度为[16.6 m]，小莹的观测点[N]距地面[1.6 m]。求居民楼[AB]的高度（精确到[1 m]）。（参考数据：[sin55°≈0.82]，[cos55°≈0.57]，[tan55°≈1.43]）

简析 过点[N]作[EF∥AC]交[AB]于点[E]，交[CD]于点[F]，通过解[Rt△DFN]得到线段[NF]的长度，进而得到线段[NE]的长度，再解[Rt△BEN]得到[BE]的长度。

点评 解这类问题的关键是准确理解一些专有术语（如仰角、俯角、坡角、坡比、方位角、海拔等）的含义，在理解题意的基础上准确画出图形，把题目中的已知量和未知量转化到图形中，然后运用相应的几何知识来解决问题。

六、综合应用性问题

对应用性问题的考查，是近年中考数学的一大热点，有些试题同时考查多种应用性问题，要综合利用多种模型和各种知识才能解决。

[例6]（2018·南充）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10 000元采购A型丝绸的件数与用8 000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元。

（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？

（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸[m]件。

①求[m]的取值范围;

②已知A型的售价是800元/件，销售成本为[2 n]元/件;B型的售价为600元/件，销售成本为[n]元/件。如果[50≤n≤150]，求销售这批丝绸的最大利润[w]（元）与[n]（元）的函数关系式（每件销售利润=售价-进价-销售成本）。

简析 （1）根据题意，用分式方程解题;（2）①根据所提供条件，列出关于[m]的不等式组，可求得[m]的取值范围;②根据题意，列出销售利润[y]与[m]的函数关系式，讨论所含字母[n]的取值范围，则[w]与[n]的函数关系式可得。

[例7]（2021·盘锦）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元;如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元。设生产并销售B型车床[x]台。

（1）当[x>4]时，完成以下两个问题：

①请补全下面的表格：

②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？

（2）当[0

简析 （1）①由题意知，生产并销售B型车床[x]台时，生产并销售A型车床[（14-x）]台，当[x>4]时，每台B型车床可以获利[17-（x-4）=（21-x）]万元，②由题意得方程[10（14-x）+70=17-（x-4）x]，解得[x1=10]，[x2=21]（舍去）;（2）当[00]，故当[x=4]时总利润[W]最大，为[3×4+140=152]（万元）;当[x>4]时，[W=10（14-x）+17-（x-4）x]，整理得[W=-x2+11x+140]，因为[-1<0]，所以当[x=-112×（-1）=5.5]时总利润[W]最大，又由题意知[x]只能取整数，所以当[x=5]或[x=6]时，总利润[W]最大，为[-52+11×5+140=170]（万元）。

点评 综合应用性问题在突出综合性的同时强调应用性，这类问题一般注意联系学生的生活实际，关注社会热点，注重学科知识的内在聯系和整合，能够有效考查学生收集信息和处理信息的能力、模型转化能力、分析综合能力、计算和表达的能力。解决这类问题的关键是根据题目的已知条件，分析数量关系，灵活运用分析法或综合法把隐蔽的“中间问题”找出来，迅速地找到解题的切入点，建立相关的数学模型。

纵观近几年来全国各地的中考数学试题，通过归类分析可知，应用性问题的解题关键是：在准确理解题意的基础上，利用已知条件，运用方程（组）、不等式（组）、函数、统计初步、几何等数学知识，分析实际问题中内在的、本质的关系，建立数学模型解决问题。

[   参   考   文   献   ]

[1]  杜志建.2020福建中考帮：中考数学[M].乌鲁木齐： 新疆青少年出版社，2019.

[2]  潘振南.2016中考总复习导与练：数学：泉州专版[M]. 长春：吉林大学出版社，2015.

（责任编辑 黄春香）