借一题多解，助数学思维发展

蒋浩文

[摘  要] 平面几何题作为中考数学的压轴题之一，具有严密的逻辑性、知识的融合性、较强的综合性、解题思路的多样性等特点，对学生的数学思维能力要求较高. 平面几何题的解法往往因辅助线的不同而有多种不同的解法. 文章以一道初中平面几何题为例，探究了此题八种不同的解法，以期为助推数学思维的发展带来启发.

[关键词] 一题多解;平面几何;数学思维

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，数学课程要培养学生的数学核心素养，即会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界[1]. 数学思维是数学核心素养的重要体现，是数学教与学关注的重点. 平面几何题作为历年中考数学压轴题之一，综合度高、逻辑性强、解题思路多样，往往有多种解法，在助推学生数学思维能力发展方面具有重要的作用. 下面以一道平面几何题为例，挖掘一题多解的价值，以期助力学生数学思维能力的发展.

初中几何一题多解的价值

一题多解，是指对同一道题从不同方向、不同层次去思考，进而得出两种或两种以上的解法. 初中平面几何题的一题多解，主要是从不同的已知条件出发，融合不同的知识点，从而作出不同的辅助线，最终实现一题多解. 辅助线具有联系已知和未知、将分散的条件集中、揭示隐含条件等作用[2]，作不同的辅助线是实现平面几何题一题多解的重要前提. 初中几何一题多解有多方面的作用和价值.

1. 一题多解能拓展学生的数学思维

如培根所言，数学是思维的体操，感悟数学思想方法、提升思维品质是学习数学的主旨. 能一题多解的试题往往具有综合性、灵活性、启发性等特点，其既包含基本知识，又有一定的知识广度和难度，所以对学生思维的连贯性与灵活性有较高的要求[3]. 解决同一道题时得到多种不同的解法，不仅能提升学生学习数学的兴趣，开阔学生的知识眼界，还能发展学生的逻辑思维、模型思维、发散性思维以及创新思维等.

2. 多维探究能提高学生的解题能力

中学数学的目的，归根结底是培养学生解决问题的能力，即基本运算能力、逻辑推理能力以及良好的解题习惯等[4]. 在基本能力培养的要求之上开展一题多解，能鼓励学生从不同的维度对试题进行解析，探究多种不同的解决方法，有助于拓宽学生的解题思路，且分析与复盘解决试题的整个过程，还能增强学生的解题能力.

3. 知识迁移能提升学生的学习效率

一题多解是梳理知识与思想方法的有效方式之一，它不仅可以活化所学的知识，还能实现知识的迁移与融会贯通，从而使解题思路得到发展. 学生在学习数学的过程中，不应该单纯地记忆数学公式、概念和定理，还应形成固定的解题方法，从而节约解题时间[5]. 由此可见，一题多解不仅能强化基础知识、明晰解题思路，还能提升学习效率.

4. 几何探索能激发学生的学习兴趣

解题就是解决问题，即求出数学试题的答案. 有效的解题学习不仅仅指解题方法或解题技巧单方面的理解与迁移. 几何题有多个条件，不同思维水平、认知水平的学生可根据已有的知识水平和经验，运用条件并从不同思路探索试题中几何量之间的关系，寻找解决问题的方法，从而实现不同思维水平、认知水平的学生都能解决几何问题. 在解决几何问题的过程中，学生从不同的角度探索，可使其自我效能感得到不同程度的满足，从而激发不同层次的学生学习数学的兴趣，并增强他们解决几何问题的信心.

实例分析

1. 试题呈现

如图1所示，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD，F是CD的中点，连接BF，且∠BAD=∠CBF，求证：∠DBF=45°.

分析这道题选自2022年重庆中考数学第一轮复习资料书《巅峰对决（精练本）》中几何初步“第三节 全等三角形”第12题的第（2）问. 这是一道典型的以三角形为背景的平面几何证明题，主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形中特殊线段的性质等知识点，题目紧扣《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，考查学生的抽象能力和推理能力.

2. 解法分析

下面8种解题方法是从“F是CD的中点”这一已知条件出发，按照无中点辅助线、倍长中线和构造中位线的顺序排列的.

解法1利用直角顶点，构造旋转型全等，得到等腰直角三角形，再利用中位线证明中点，通过等腰三角形的“三线合一”证明角平分线.

辅助线：如图2所示，将△ABD绕点B顺时针旋转90°后得到△CBG，连接DG交BF于点E.

易得BD=BG，∠ABD=∠CBG，所以∠DBG=90°，△DBG是等腰直角三角形. 因为∠BAD=∠CBF，∠BAD=∠BCG，所以∠CBF=∠BCG. 所以BF∥GC. 又因为F是CD的中點，所以EF是△DGC的中位线. 所以点E是DG的中点. 根据等腰三角形“三线合一”，可知BE是∠DBG的平分线，即∠DBF=45°，问题得证.

解法2从特殊的直角入手，构造“一线三垂直”，从而得到两组全等三角形，再通过等腰直角三角形证明.

辅助线：如图3所示，延长AD交BF于点P，过点C作BF的垂线交BF的延长线于点Q.

易证∠APB=90°，△ABP≌△BCQ，所以BP=CQ，AP∥CQ. 还可以证得△DPF≌△CQF，所以CQ=DP. 所以DP=BP. 所以△DBP是等腰直角三角形. 所以∠DBF=45°，问题得证.

解法3利用中点，倍长中线，构造全等三角形，通过角的转化证明垂直，再通过全等三角形证明∠DBF所在的三角形是等腰直角三角形，从而得证.

辅助线：如图4所示，延长BF至点M，使FM=BF，连接DM，延长AD交BF于点E.

易证△DFM≌△CFB，所以DM=BC=BA，∠M=∠CBF=∠BAD. 易证∠DEB=90°，进而可证得△ABE≌△MDE，所以BE=DE. 所以△BDE是等腰直角三角形. 所以∠DBF=45°，问题得证.

解法4利用中点倍长中线，构造全等三角形，再通过截长的方法截取相等的线段构造第二组全等三角形，通过等角转换和证明等腰直角三角形得证.

辅助线：如图5所示，延长BF至点H，使FH=FB，连接CH，在BF上截取BM=AD，连接CM.

易证△BDF≌△HCF，△ADB≌△BMC，所以CH=BD=CM. 所以△MCH是等腰三角形. 因为∠HCB=180°-∠DBC=180°-（90°-∠ABD）=90°+∠MCB，所以∠HCM=90°. 所以△MCH是等腰直角三角形. 所以∠DBF=∠H=45°，问题得证.

解法5通过截长的方法截取相等的线段构造全等三角形，再通过中点倍长中线构造第二组全等三角形，进而得到等腰直角三角形.

辅助线：如图6所示，在BF上截取BP=AD，连接CP，延长BF至点H，使FH=FP，连接CH，DH.

易证△ADB≌△BPC，△DHF≌△CPF，所以DB=PC=DH. 所以△DBH是等腰三角形. 因为∠DBH+∠ABD+∠PBC=90°，∠ABD+∠PBC=∠BCP+∠PBC=∠HPC=∠FHD，所以∠DBH+∠FHD=90°. 所以△DBH是等腰直角三角形. 所以∠DBF=45°，问题得证.

解法6利用中点倍长中线，构造全等三角形，再通过同一直角顶点作垂直得到相等的角，证明三角形全等，进而通过证明等腰直角三角形得证.

辅助线：如图7所示，延长BF至点K，使FK=BF，连接CK，过点B作DB的垂线交AD的延长线于点E.

易证△DBF≌△CKF，所以BD=CK，BD∥CK. 易得∠ABD=∠CBE，∠ABE=∠BCK=90°+∠CBE，所以△ABE≌△BCK. 所以BE=CK=BD. 所以△DBE是等腰直角三角形. 所以∠DBF=∠K=∠E=45°，问题得证.

解法7利用中点构造三角形中位线，得到两直线平行的位置关系，再通过同一直角顶点作垂直得到相等的角，证明三角形全等，进而通过证明等腰直角三角形得证.

辅助线：如图8所示，延长CB至点Q，使BQ=BC，连接DQ，过点B作DB的垂线交AD的延长线于点P.

由辅助线可知BF是△CDQ的中位线，所以∠Q=∠CBF=∠BAD. 易得∠ABD=∠CBP，所以∠QBD=∠ABP. 所以△QBD≌△ABP. 所以BD=BP. 所以△BDP是等腰直角三角形. 所以∠DBF=∠QDB=∠P=45°，问题得证.

解法8利用中点构造三角形中位线，得到两直线平行的位置关系，再通过同一直角顶点作垂直得到相等的角，证明三角形全等，进而通过证明等腰直角三角形得证.

辅助线：如图9所示，延长DB至点K，使BK=BD，连接CK，过点B作DB的垂线交CK于点G，连接DG.

由辅助线可知BF是△DKC的中位线，所以∠BCG=∠CBF=∠BAD. 易得∠ABD=∠CBG，所以△ADB≌△CGB. 所以BD=BG=BK. 所以△KBG是等腰直角三角形. 所以∠DBF=∠K=45°，问题得证.

一题多解的教学思考

1. 拆分条件预设处理，培养逻辑思维

实例中展示了8种解法，不同的解法源于拆分已知条件，将条件预处理后进行重组，从而形成多种不同的解题思路.

条件1：F是CD的中点.

预处理：可以得到两条相等的线段，为证明三角形全等提供条件;倍长中线后可构造全等三角形;构造中位线后可得到线段间的关系.

条件2：∠ABC=90°，∠BAD=∠CBF.

预处理：可绕直角顶点B顺时针旋转90°或过直角顶点B作垂直（它们其实是同一种辅助线的不同叙述方式），构造“一线三垂直”，截取相等的线段得到全等三角形.

具体的辅助线构造思路如表1所示.

由表1可知，中点最常用的辅助线构造思路是倍长中线和构造中位线，其中倍长中线需要证明两次全等，而构造中位线只需要证明一次全等. 遇见直角最常规的思路是作垂直导角，为证明三角形全等提供角的条件. 据此，将预处理后的思路进行重组后便形成了多种不同的解法.

南京大学郑毓信教授强调“以正合，以奇胜”，也就是既应善于通过学习不断实现必要的优化，又应努力跳出已有的框架从不同角度进行分析与思考，包括发现与建立新的联系，实现更高层次的抽象等[6]. 所以，在解答平面几何问题时，我们可以先将题目中的已知条件进行优化，即拆分条件做预设处理，使条件得到充分的利用，再从不同的角度重组条件，建立几何量之间新的联系，不同的重組方式便可形成不同的解法. 拆分、重组条件并解决问题的过程能培养学生的数学抽象思维和逻辑思维.

2. 寻找解题“通性通法”，培养发散思维

章建跃先生认为：“通性”就是概念所反映的基本性质，“通法”就是概念所蕴含的数学思想和方法[7]. 金钟植先生认为：在日常教学中，谈到性质的时候叫“通性”，谈到思想和方法的时候就叫“通法”，但在解决问题的过程中应该叫运用“通性通法”解决问题[8].

在实例中，中点的“通性”是把线段分为两条相等的线段的点，即中点到线段两个端点的距离相等，“通法”是倍长中线法和构造中位线法;直角的“通性”是两条直线互相垂直，即由这两条直线所构成的所有三角形都是直角三角形，“通法”是利用直角三角形中的90°（直角、其余两内角和）以及题目中所给的角的条件推导出相等的角，进而选择直接作垂线或“一线三垂直”等添加辅助线的方法，最终运用中点和直角的“通性通法”解决问题.

初中数学平面几何经常考查线段关系的证明，所以我们应大量积累解题经验，总结出解此类证明题的“通性通法”. 证明线段的数量关系时，通常是证明多条线段之间的长度数量关系，此时需要找图形中边的关系，具体做法是将其放在全等三角形中，通过等量代换转化边相等;证明位置关系时，通常是证明两条直线平行或者垂直，此时需要找图形中角的关系，若证明两直线平行，则找内错角、同位角、同旁内角的关系，若证明垂直，则通常通过证明由这两条直线所形成的三角形另外两个内角之和为90°来完成证明.

一道试题是否有多种解题方法，取决于试题本身是否综合了多个知识点. 假如试题有多种解法，可根据其涉及的不同知识点的“通性”，利用“通法”来得到多种解法. 学生利用“通性通法”解决问题的过程是思维碰撞的过程，其不仅能使基础知识得到成熟与深化，还能引导学生形成发散性思维能力，逐步养成发散性思维的习惯. 一题多解不仅能运用“通性通法”解决问题，培养学生的发散性思维，还能在解决问题的过程中完善解题的“通性通法”.

结语

初中几何题一题多解，能让学生在掌握更多理性知识的同时，培养其逻辑性、发散性、创造性、直观性等数学思维. 在几何题的解决过程中，运用不同的图形语言表征几何问题，亲身经历不同的解题过程，有利于学生几何直观、空间观念和推理能力等核心素养的发展. 一题多解作为发散性思维的一種表现形式，它将数学理论、数学步骤、思维模式和发散能力集于一体，能促进学生全面、系统地掌握知识，能让学生形成完整的数学理论框架. 所以，教师可以适当地开展一题多解教学，切实发挥学生的主体作用，帮助学生理解与记忆数学知识，强化基础知识，发展逻辑思维，增强他们解决数学问题的信心.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]赵利侠. 辅助线在几何题中的重要性[J]. 考试周刊，2016（53）：58.

[3]丁淑琳，王罗那，黄韬. 基于“一题多解”的初中数学核心素养培养[J]. 湖州师范学院学报，2021，43（08）：112-116.

[4]孙淑梅. 从一道考题的多解看初中数学几何解题能力的培养[J].现代中学生（初中版），2021（18）：27-28.

[5]王茁力. 初中数学“一题多解”的教学价值[J]. 中学数学教学参考，2018（z3）：99-100.

[6]郑毓信. 数学思维教学的“两阶段理论”[J]. 数学教育学报，2022，31（01）：1-6+78.

[7]章建跃. 注重通性通法才是好数学教学[J]. 中小学数学（高中版），2011（11）：50.

[8]金钟植. “数学通性通法”的研究综述及其现实意义[J].数学通报，2021，60（01）：32-38.