立足数学题组教学 提升学生思维品质

魏杰君

[摘  要] 概述题组应具备的特征，提出题组教学的有效路径，让学生感到数学课的趣味性，在质疑、探究中，活跃学生的思维，提高学生的合作精神与创新能力，从而达到提高学生核心素养的目的.

[关键词] 题组;结论;条件;思维

题组是指以某一核心知识为中心，组合成的一组有梯度、内容接近、前后连贯的数学问题. 题组设计应注重问题间的内在联系与区别，通过一组问题的解决，达到巩固知识，形成解题技能，优化思维，获得问题本质的目的. 在题组教学中，要引导学生探究发现，让学生感到数学课的趣味性，在质疑、探究中，活跃学生的思维，提高学生的合作精神与创新能力，从而达到提高学生核心素养的目的[1].

题组教学的有效路径

习题教学中，设计的题组应具备问题性、启发性、创新性，以有利于培养学生数学地看待世界，思考世界，表达世界，让学生认识理解数学的科学价值与应用价值，形成批判性思维与理性精神. 以下笔者对题组教学路径作了以下有益探索.

1. 相似结论题组，在提炼总结中发展创新思维

在习题教学中，对于典型性习题，要用活用好，通过保留条件改变结论的形式设计题组，可以使学生可以从中提炼解题路径与方法，让典型题不再孤单. 这就需要教师精心选题巧妙设计，充分调动学生的学习积极性，在探究中发展学生的创新思维[2].

案例1如图1所示，在平面直角坐标系xoy中，已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=的图像交于点A（1，5）与点B（n，1）. 求△AOB的面积.

在典型习题的教学中，教师要明确命题者的意图，要最大限度地发挥典型习题的辐射功能，通过习题讲评，学生一方面要獲得这个问题的解决方法，另一方面还要引导学生将试题拓展延伸，举一反三，拓宽学生的思维空间，为此，笔者设计了如下题组训练.

探究1：如图2所示，在平面直角坐标系xoy中，已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=（n>0）的图像交于点A（1，5）与点B（n，1）. 已知点D的坐标是（-1，0），直线AD交双曲线另一支于点C，连接BC，求△ABC的面积.

探究2：如图3所示，在平面直角坐标系xoy中，已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=（n>0）的图像交于点A（1，5）与点B（n，1）. M是线段AB下方反比例函数y=图像上的一动点，过点M作x轴的垂线，与一次函数y=ax+b的图像交于点P，连接OP，OM，求△POM的面积的最大值.

通过题组的训练，学生牢固掌握了基础知识，了解了知识间的纵横联系，同时，通过探索相似的三个结论，发现了在函数问题中如何求三角形的面积，如何求三角形的最大面积，提升了学生的辩证思维，发展了学生的创新思维，使学生体验了学习带来的创新感以及成功的愉悦.

2. 相似条件题组，在比较异同中激活学生思维.

当试题的条件比较接近时，教师一方面要引导学生挖掘其中的隐含条件，整合信息，把要解决的问题与原有的知识经验建立联系;另一方面要引导学生发挥联想，由事物之间的联系与相似，推出相似事物也具有某一特性，这也是解决条件相似问题的有效途径.

案例2如图4所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于点P，请探究∠P与∠A的关系，并说明理由.

此题主要探究三角形一条内角平分线与外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系，通过师生共同研究发现：它们是半角关系. 在探究过程中，学生自然联想：如果把三角形改为四边形，也是一条内角平分线与外角平分线的夹角与其他两个角是什么关系呢？基于学生的提问，笔者推出了以下两个探究.

探究1：如图5所示，在四边形ABCD中，设∠A=α，∠D=β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC的平分线与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角.若α+β>180°，直接写出∠P的度数. （用α，β的代数式表示）

探究2：如图6所示，在四边形ABCD中，设∠A=α，∠D=β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC的平分线与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角.若α+β<180°，直接写出∠P的度数.（用α，β的代数式表示）

在解决数学问题时，联想是沟通已知与未知的纽带，通过条件相似的题组训练，可以起到多题一法的效果. 在解决探究1与探究2时，笔者引导学生思考，两个探究问题与案例2有何相似之处，能否用案例1的解题策略解决探究1与探究2呢？学生观察题目的条件设置，分析条件的相同点与不同点，经过充分地思考，化异为同，找到了解决问题的方案. 通过题组训练，促进了学生知识的融会贯通，拓宽了学生解题视野，使学生体会到了从特殊到一般的数学思想，提升了学生的数学素养.

3. 改编条件题组，在由点到面中提升思维

在探究条件相似中，培养了学生的审题能力，在比较条件的细微差异中，增加学生的辨别能力. 改编条件，一题多变也是一条可创新的教学路径，有利于学生沟通知识间的联系，掌握解题规律，在不断地探索与总结中，实现创造性学习.

案例3  已知关于x的分式方程+=，若方程有增根，求m的值.

关于分式方程解的问题，历来是学生学习中的难点，考查了学生全面考虑问题的能力，如果已知分式方程的解直接代入即可，但是已知方程的增根不能直接代入，只能代入去分母后的整式方程. 如果分式方程无解，那么需要分类考虑两种情况的无解. 为了突破这个难点，让习题教学更有效，笔者设计了如下题组训练.

探究1：已知关于x的分式方程+=，若方程无解，求m的值.

探究2：已知关于x的分式方程+=，若方程的解是正数，求m的值.

探究3：已知关于x的分式方程+=，若分式方程的解是负数，求m的值.

探究4：已知关于x的分式方程+=1+只有一个实数解，求k的值.

探究5：已知关于x的分式方程x2-2x+=3-2k有四个不同的实根，求k的取值范围.

教学中，笔者改编条件，列举了关于分式方程的解的种种情况，师生共同归纳了每种情况下相应的解题策略，激发了学生再发现与再创造的热情，学生灵活地掌握了知识间的纵横联系，以及分类讨论与转化的数学思想，锤炼了学生思维的广阔性与深刻性，灵活性与独创性.

4. 相似结构题组，在归纳推理中开拓思维

何谓归纳推理？其实是指由特殊到一般，由部分到整体的推理[3]. 问题的结构特征是进行归纳推理的有效切入口. 在相似结构的题组训练中，学生通过观察类比，猜想验证，用统一简洁的形式呈现，掌握了分析问题的方法并达到了灵活运用.

案例4  观察下列等式：①32-12=8×1;②52-32=8×2;③72-52=8×3;④92-72=8×4;⑤______;⑥______.

（1）请你写出⑤⑥两个等式;

（2）根据以上式子的规律，请你写出第n（n为正整数）个式子.

（3）利用这个规律计算20212-20192的值.

此种类型题要找到共同的特征，如每个算式中底数之间的关系，算式的结构形式，结果中相同的部分，不同的部分，从而找到第n个算式，为了更好地培养学生的归纳推理能力，笔者为学生设计了如下题组训练.

探究1：①22=1×3+1;②32=2×4+1;③42=3×5+1;④52=4×6+1;⑤______;⑥______.

（1）请你写出⑤⑥两个等式;

（2）根据以上式子的规律，请你写出第n（n为正整数）个式子.

探究2：观察下面各式的规律. 12+（1×2）2+22=（1×2+1）2;22+（2×3）2+32=（2×3+1）2;32+（3×4）2+42=（3×4+1）2;…

（1）写出第2021个式子;

（2）写出第n个式子，并验证你的结论.

问题的结构特征是进行归纳推理的有效切入口，笔者设计相似结构的题组训练，学生尝试进行归纳推理，深入挖掘知识之间的关联，在探究新结论中，开拓了学生的思维.

题组教学的感悟

1. 设计题组，化学生的盲点为探究点

习题教学中，教师要善于发现学生思维的盲点与易错点，通过题组的设计，化学生的盲点与易错点为探究点，让学生在问题的比较中构建知识间的联系，在问题比较中深化对某一内容的理解与掌握，在问题比较中避免学习的思维定式，进而充分发挥题组的功效，让教学走向高效.

2. 设计题组，培养学生反思与诊断能力

习题教学中，题组的设计，要定位精准，以巩固知识，提升思维能力为目标，在辨析相似题组时，引导学生抓住问题的关键，善于质疑辨析，总结经验，提炼方法与思想，学会解后反思，解后总结，进而实现学习的升华.

参考文献：

[1]杨爱芳. “题组教学法”在初中数学教学中的应用[J]. 中学教学参考，2020（20）：13-14.

[2]江同营. 初中数学新课复习导学中“题组教学”的实践与思考[J]. 上海中學数学，2017（10）：38-39.

[3]沈岳夫. 注重数学题组设计  提升学生思维品质[J]. 教学月刊（中学版），2012（07）：38-40.