核心素养视角下“勾股定理”教学设计重构与思考

陆燕 陈算荣

[摘  要] 勾股定理被视为几何学的宝藏，是数学中联系数与形的第一定理，在实际生活中应用广泛. 为落实数学核心素养的发展，研究者结合核心素养的相关内涵，对勾股定理这一经典内容进行了教学设计重构，以期通过该定理的教學落实发展数学核心素养.

[关键词] 勾股定理;数与形;数学核心素养

在新课改浪潮盛行的今天，“核心素养”一词无疑成为课堂教学的“头条新闻”，我们正在经历从知识核心时代向素养核心时代的转变，“知识本位”的教育将逐步退出历史舞台，“学生为本”的教育应运而生[1]. 但在今天的数学课堂中，许多教师简单地将“核心素养”与“考高分”画上了等号，存在着许多教学方法应用不当的消极现象，极大影响了学生对数学知识的理解.

核心素养视角下对课堂教学的 认识

基于核心素养视角的课堂教学，教师需要从以下三个方面去改进自己的数学课堂. 一是教师要改变重记忆、轻理解的教学方法，填鸭式的教学只会导致学生机械般地将知识运用于题目的解答中，对数学的认知浮于表面，学生的思维没有得到真正的提高，更谈不上核心素养的落实. 二是教师要改变重知识、轻能力的传统教学理念，努力突破当前应试教育大环境所带来的弊端，应将重心由对分数的一味追求向发展学生的核心素养转变. 三是教师要改变重形式、轻实质的教学模式，部分教师在教学中虽有让学生探究的意识，但只是为探究而探究，并没有将探究落到实处，学生无法从探究活动中提高自己的能力[2].

勾股定理在中学数学中占有重要的地位，它是解直角三角形的依据，同时在生活中有着广泛的应用，是中考数学必考知识点之一，更是落实和发展核心素养的重要课题素材. 基于此，对《勾股定理》这一经典内容进行教学设计重构，以期供一线教师探讨. 勾股定理的重构设计重点突出直观想象、合情推理和数学抽象三大数学核心素养的落实，采取问题串的形式，让学生结合问题情境，由特殊到一般，进而归纳总结出直角三角形三边之间的数量关系，体验数学家们发现勾股定理的过程，燃起对数学学科的浓厚情感.

核心素养视角下勾股定理教学

设计重构

1. 生活情境导入

问题1：木棒能放进木箱吗？

现有一根长40 cm的木棒，将其放入一个长、宽、高分别为30 cm、20 cm、10 cm的木箱，能否成功放入？

教学策略：（如图1所示）大部分学生根据生活常识知道应按AB方向放置木棒，但运用已学知识无法求出AB的长. 在此情景下，教师就势引出课题，求AB的长需要学习新的知识“勾股定理”.

设计意图  从生活问题出发，创设教学情境，引出研究的对象，让学生带着问题有目的地去学习新知. 此外，借助长方体木箱这一立体图形还有助于对学生几何直观能力的培养.

2. 问题导引探究

【活动一：追溯历史，形成猜想】

问题导引：通过之前的学习，我们知道了任意一个三角形三边之间的数量关系，并且研究了等腰、等边三角形三边之间的特殊数量关系，那么对于直角三角形，它的三边之间是否也存在特殊的数量关系呢？

教学策略：用问题导引学生进入定理探究，该问题并不着急让学生给出正确答案. 教师紧接着呈现问题情境2，引导学生从问题情境2中得到关于问题1的一些启发.

问题2：毕达哥拉斯与“地砖”的美丽相遇.

在两千多年前，毕达哥拉斯无意间发现朋友家地砖的图案（如图2所示）似乎蕴藏着某些特殊的规律，善于发现问题的他立马联想到“数”与“形”之间的联系. 然后他便开始不断地探索和求证自己的发现，最终得出了著名的毕达哥拉斯定理，这个定理就藏在图3中，观察图3中深色部分的图形，你能有所发现吗？

教学策略：引导学生观察深色部分中间的直角三角形的三条边与正方形的关系，提示学生可以从三个正方形的面积与中间直角三角形三边的关系出发，进而启发学生发现这个图中直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方. 在此过程中，为了方便学生观察和研究，教师将生活中的地砖图案抽象成数学图形，如图4所示.

设计意图  通过融入数学史素材，让学生体验数学家发现勾股定理的过程. 有趣的历史材料一方面为冰冷的数学定理教学注入滚烫的新鲜血液，另一方面可以锻炼学生从几何图形中归纳出数量关系的能力，潜移默化地发展学生的几何直观和逻辑推理素养. 借助方格纸，学生很容易求出A和B的面积，至于C，它虽然是斜置的，但此时它占格规则，学生利用数方格的方法也极易求出它的面积.

问题3：我们观察图4会发现中间的三角形为等腰直角三角形，那当它是一般的直角三角形（如图5所示）时，这一规律是否还成立呢？

教学策略：组织学生进行小组合作讨论，然后让小组代表有序汇报自己的发现. 学生会继续采用数方格的方法，但随即会发现此时C的占格不规则，无法准确求出C的面积，产生了认知冲突. 这时教师启发：一个图形的面积不能直接求，我们还有哪些间接的方法来求解？引导学生关联已知，得出用割补法、旋转法等去求C的面积.

设计意图  遵循学生的认知发展规律，新知编排由简到难，从特殊到一般，并以学生探究为主，有助于发展学生类比迁移的能力.

问题4：图5中的直角三角形放在方格纸上，这些直角边长都是正整数，它们的三边之间已证明满足“两直角边的平方和等于斜边的平方”，那么，对于更一般的、三边长为任意大小的直角三角形，其三边是否还存在这个关系？

教学策略：在学生欲求而不得的情况下，教师及时辅以几何画板（如图6所示），让学生观察：不同大小的直角三角形的三边都存在着这样的规律.

设计意图  教师通过问题情境或问题导引逐层铺垫，引导学生从特殊到一般，猜想和验证勾股定理.

【活动二：合作探究，证明定理】

问题5：不利用网格和几何画板，还有其他方法证明勾股定理吗？请同学们拿出提前准备好的4个完全相同的直角三角形，你能尝试用拼图的方式证明这个定理吗？

教学策略：给学生足够的时间尝试，教师也深入小组一起探讨和尝试，并鼓励学生得到一种拼法后，尝试是否有其他的拼法. 教师选择展示以下两种能够证明勾股定理的拼法（如图7所示），引导学生类比之前“转化”的启示，发现可以采用面积法来证明勾股定理.

设计意图  通过拼图游戏让学生自己经历勾股定理的证明过程，将主动权交还给学生，满足了他们探究的欲望，让他们真正掌握数学知识背后的本质.

【活动三：观看几何画板下的勾股树，感受数学迭代之美】

在证明完勾股定理之后，教师利用几何画板软件向学生演示一个美妙的动画——勾股树（如图8所示）. 在验证勾股定理的过程中，展现给学生勾股定理相关知识中蕴含的数学之美，让他们体会到数学迭代的无穷魅力.

3. 育人价值挖掘

【活动四：史料介绍——《九章算术》中的勾股定理】

问题6：《九章算术》中有关勾股定理解题方法有以下描述：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦. 又股自乘，以减弦自乘，其馀开方除之，即勾. 又勾自乘，以减弦自乘，其馀开方除之，即股. ”同学们能否尝试用白话文或数学语言翻译这段话的意思？

教学策略：教师鼓励学生尝试，并根据学生的回答进行提纯或完善.

设计意图  在课堂教学中穿插数学史，一方面让学生感受到勾股定理所蕴含的丰富理论内涵，体会古人的伟大创新精神，激发学生的民族自豪感，对勾股定理的学习产生浓厚兴趣;另一方面能够加深学生对数学本质和数学思想的理解，从而更好地促进学生数学核心素养的生成.

4. 小结和课后拓展

【活动五：开放式小结】

问题7：请同学们回顾整节课. 发现和探究勾股定理证明的过程，你从中获得了哪些定理学习的经验和情感体验？

教学策略：鼓励学生积极表达.

设计意图  帮助学生积累定理学习的活动经验，领悟知识和技能学习之外的过程与方法、情感与态度等的学习价值.

课后拓展：勾股定理被视为几何学中的宝藏之一，千百年来，人们提出了关于它的400多种证明方法，这其中包括普通的数学业余爱好者，著名的数学家，甚至有国家总统. 请同学们课后去查阅资料，了解更多的证明方法，并对这些方法进行归纳整理，写一份勾股定理证明的总结报告.

设计意图  引导课后学习，培养学生获取信息和重组信息的能力，把课内学习自然延伸到课外.

核心素养视角下的数学教学设

计思考

1. 核心素养视角下的教学，教学问题的设计是关键

本节课以问题来贯穿整堂课的教学. 毫无疑问，问题教学法是调动学生好奇心，让学生真正参与到课堂互动的一种有效方式. 以学生熟悉的生活问题引入，以所学的等腰、等边三角形为基础，逐步引导学生发现直角三角形的直角边与斜边的特殊数量关系，并进行大胆地猜想，问题的设计符合学生递进式的思维. 从借助网格猜想勾股定理的内容到抽离网格验证勾股定理的过程，逐步培养学生的数学抽象能力和几何直观能力. 最后，通过给学生留下一个主题作业，鼓励他们去了解勾股定理更多的证明方法，不仅可以锻炼学生获取信息的能力，还可以训练学生的语言文字表达能力，实现跨学科融合教育.

2. 核心素养视角下的教学，学生数学思维的发展是主线

对于勾股定理的教学，若直接给出定理的内容及其证明方法，学生会觉得冰冷无趣，但若采用教师引导启发下的适度探究，不仅能大大增加学生的学习兴趣，而且在问题导引下，不断激发学生思考，使学生的思维得到不断发展. 让学生在教师的帮助下体验数学家们发现勾股定理的过程，學生充分体验了利用转化的思想将直角三角形的边长与正方形的面积关联，整合运用已有知识，有效解决问题，达到有深度的学习.

3. 核心素养视角下的教学，数学文化的弘扬是精髓

探索勾股定理的过程中，本课例尝试将数学史与课堂教学相融合，让学生从毕达哥拉斯与地砖的美丽相遇中猜想勾股定理的内容，再到利用《九章算术》对勾股定理的描述，让学生巩固勾股定理的内容，感受古今中外数学家们努力钻研的伟大创新精神，感悟数学文化的无穷魅力，并以此激发学生学习数学的兴趣和学好数学的动力，落实立德树人的根本任务.

4. 核心素养视角下的教学，学生核心素养的发展是最终目标

基于数学核心素养的课堂教学强调知识发生、发展的过程，强调学生探究新知的经历[3]. 因此教师既要教会学生基本的知识和技能，更要关注对数学基本思想和方法的感悟，以及基本数学活动经验的积累[4]. 当学生学完勾股定理后，学生不仅能利用勾股定理去解决相关的数学问题，而且能领悟到其中的数学思想方法，使“核心素养”在数学课堂教学中真正地落地生根.

参考文献：

[1]周竹群. 谈新课程视角下“以人为本”的数学教学[J]. 小学教学参考，2020（27）：23-24.

[2]陈算荣. 核心素养视角下数学教学实施的理论与实践——基于《等比数列的前n项和》同课异构的比较与评价[J]. 教育研究与评论（中学教育教学），2019（05）：62-67.

[3]姜志敏. 基于学生数学核心素养培养的课堂教学探究[J]. 兰州教育学院学报， 2018，34（05）：127-128.

[4]中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准[M]. 北京：人民教育出版社，2018.