用辅助圆解翻折问题的教学分析和反思

胡素芬

[摘  要] 学生“会而不对，对而不全”的情况经常出现在动点问题和多解问题的教学中. 初三复习面临时间紧任务重的矛盾，教师在设计讲评课中需要兼顾进度和效率. 在符合一定特点的条件下重视辅助圆的教学不仅可以画出图形，以形助数找到解题切入点进行不重不漏的分类讨论，还能够了解变与不变的辩证统一，体会数学思想，促进理性思考.

[关键词] 数形结合;分类讨论;转化思想

原题呈现

（2020年上海市崇明一模数学卷第18题）如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处. 当A′E⊥AB时，A′A的长为______.

思路点拨

我们不妨过点D作DH⊥AB，垂足为H，连接AA′.

解：当点A′在AB的左边时，如图2所示，过点D作DH⊥AB，垂足为H，连接AA′. 由三角形的翻折不变性可知∠AED=∠A′ED ==45°. 在Rt△ADH中，sin∠DAH=，所以DH=，同理可得AH=.

在等腰直角三角形EDH中，DH=EH=，所以AE=AH+EH=.

最后在等腰直角三角形E AA′中，A′E=AE=，所以AA′=.

另一种情况，如图3所示，当点A′在AB的右侧时，AE=AH-EH=，AA′=.

教学分析

考生在考场上面对这道填空压轴题感到困难，原因有二：一是此题是一道三角形翻折的问题，属于图形三种基本运动之一，将翻折运动理解为轴对称问题，本身存在一定的难度;二是因为对称轴DE经过的点D是AD边上的中点，属于位置确定的点，虽然需要翻折的△ADE中的点A和点D的位置确定，但是点E却是斜边AB上的动点，由于点E的位置不确定，所以对称轴DE也一直处于运动变化的状态，无法确定点A′的位置造成了第二层难度. 由于两层难度的叠加让学生无从下笔.

1. 辅助圆有利于画出准确的图形

由于圆具有美妙的对称性，圆中的相关元素会产生丰富的数量关系，可以帮助我们寻找各种角度的数量关系和线段之间的联系. 因此圆是各地区中考的必考内容，主要考查圆的有关性质、有关计算以及点与圆、线与圆和圆与圆的位置关系. 每年的各地中考都会考查圆的相关证明以及求线段长度或者角度的问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型. 在中考数学有关圆的众多题型中，有一类频繁出现的题但是有的题目从给出条件上来看跟圆没有一点儿关联，但是在分析问题的过程中若能依据问题的条件，运用辅助圆的思想来进行问题分析就能夠很快画出恰当的图形，然后结合圆的定义和特征，从而启发分析问题的思路.

需要用到隐形圆的问题大致分为三类：一是动点到定点的距离等于定长，也就是说在题目中遇到共顶点的相等线段，可以根据圆的定义添加辅助圆来凸显线段、角之间的关系. 二是定弦定角，也称定边对定角，基本作图方法是作三角形的外接圆. 三是四点共圆的相关问题，其特殊情况是几个直角三角形若有公共的斜边，那么这些直角三角形的顶点共圆. 它的本质其实是直角三角形的顶点到斜边中线的距离都相等，依然是利用圆的定义构造辅助圆.

本题就属于第一类：动点到定点的距离等于定长. 根据题目的已知条件中特殊点条件“点D是AC的中点”可知DC=DA，以及翻折条件“将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处”可知DA=DA′，所以可以确定定点D以及定长CD=4，于是以点D为圆心、CD的长为半径作出辅助圆.

由于D是AC的中点，我们注意到在点E的运动变化过程中，DA=DC=DA′=4，看到这3条线段有一个公共点D，而且这3条线段的长度相等，此时我们可以将隐藏在共端点的3条相等线段背后的圆画出来，这个圆就是以点D为圆心，4为半径的圆D，也就是说点A′的运动轨迹就是圆D. 所以在这道题目的画图过程中，第一个辅助圆相对比较容易确定. 但是如图4所示，构造出第一个辅助圆后，只能确定点A′一定在☉D上，但是仅凭这个条件依然无法确定点A′的位置. 从翻折运动的角度来分析这个问题，点A′的位置不确定是因为对称轴DE的位置不确定，而对称轴DE的位置不确定是因为点E的位置不确定，于是关键是需要确定点E的位置. 根据题目条件中出现的“当A′E⊥AB时”，我们将两条线段互相垂直的位置关系转化成角度的数量关系，即∠A′EA=90°. 同时我们注意到翻折运动的本质是翻折前和翻折后的图形成轴对称. 翻折前后的对应线段相等，对应角相等，这样一来，就可以明确∠A′ED=∠AED =45°. 在△ADE的六个元素中，存在三个确定的元素：边AD、∠AED和∠A. 通过解三角形ADE求出线段AE的长度后，就可以求出线段AA′的长度. 观察△ADE的结构特征，显然它不是一个直角三角形，所以过点D作DH⊥AB，垂足为H，将一个钝角三角形通过添高转化成两个直角三角形来分析、研究. 所以接下来过点D作DH⊥AB，垂足为H，再以点H为圆心、DH的长为半径作第二个辅助圆，如图5所示，第二个辅助圆☉H与AB边的交点就是点E，确定了点E的位置后再连接DE，最后过点E作EA′⊥AB，交☉D于点A′，连接DA′ 和AA′，也就是说，通过作出点A关于直线DE的对称点就确定了点A′的位置.

2. 辅助圆有利于找到解题的切入点

图形对于解题思路的建构发挥着辅助和催化作用. 几何图形承载了线段、角度等图形元素位置关系和数量关系之间的因果关系，变化的几何图形又能够体现图形元素之间的变化与不变的对立统一关系. 在图形运动的题目中，与运动有关的角度大小或者线段的位置往往不确定，解题思路难以形成. 根据本题题目的条件构造两个辅助圆，就能够将隐性条件转化为显性条件，就能够起到化难为易，删繁就简的解题效果. 在确定图形之后，本着“以形导数”和“以形助数”的数形结合的基本思想，观察图形、分析条件、寻找解题的切入点，运用圆的性质特点对于角度和线段进行计算. 丰富画图经验和清晰的直观过程将学生引向明确. 辅助圆的产生不仅有利于学生简化思考过程、迅速找到解题切入点，而且有利于培养学生的数学核心素养——几何直观.

讲解这道题时，教师应注意引导学生从审题开始，将题目条件中的文字语言和数字语言转化为图形语言，培养学生逐步养成见文字想图形的数形结合思维习惯. 分析问题的过程中，教师应引导学生将给定的图形与基本图形进行对比，在数形结合和图形的分解中发现DA=DC=DA′，寻找基本图形——动点到定点的距离等于定长，于是构造第一个辅助圆，找到解决问题的切入点. 这为这道题的顺利解答提供了思维路径. 教师还应引导学生从确定的已知条件出发，积极参与到解题活动中，鼓励他们尽可能地找到几何图形中线段和角度的各种特征，并且通过观察、描述，归纳出符合这类辅助圆的模型的共同特征——共端点的3条线段相等. 此时，学生能够体会和感悟到辅助圆的妙用.

在新授课中，某些定理适时纵深拓展，能够引导学生发现图形中蕴含的大量其他相关结论，这有利于学生发展联想思维，能增强知识之间的沟通. 正如新授课中重视对图形的进一步研究，在确定本题的第一辅助圆之后继续分析问题，我们发现只知道一个点A′的运动轨迹是无法确定点A′的具体位置的，于是根据题目的条件先确定对称轴DE中点E的位置，连接DE后才能继续根据轴对称性进一步顺利地确定点A′的位置. 教师引导学生根据添加第一个辅助圆的学习经验，继续运用第二个辅助圆来帮助解题. 建议课堂教学进行到这里，教师引导学生进行回顾与反思，通过2次使用辅助圆的对比和归纳，学生对辅助圆会有一个初步的认识，这能让他们体会到运用辅助圆解决问题所带来的优越性. 这样，学生便学会了解题时要将图形和数字巧妙结合，理解了使用辅助圆的数学原理，弄明白了其中的数量关系，总结出了使用辅助圆的题目特征，可见，他们将教师点拨和同学分享的知识和技巧不断内化和固化，大力提升了自身的数学思维水平. 在分析问题的过程中，如果学生能够分散难点、解决问题，逐步达到将辅助圆作为一个思维单元运用到其他的解题过程中时，今后他们就能运用辅助圆解决类似的问题.

虽然填空压轴题的切入点很多，但是将图形与数据结合起来找到变化中的不变量，往往是最突出、最有效的一个切入点，接着寻找或者构造平时几何学习中归纳出的基本图形，顺藤摸瓜认真分析、研究下去，基本可以顺利解决问题.

3. 辅助圆有利于不遗漏讨论的分类

“会而不对，对而不全”，这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误，提高解题严密性，避免漏解的奥秘在于学会分类讨论. 分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结，得出结论的思想方法，也就是化整为零、各个击破的转化策略. 什么题目需要进行分类呢？一般来说，当问题包含的因素发生变化，问题结果也相应发生变化，我们就需要对这一关键因素分类讨论. 为什么需要分类讨论呢？人的思维一般从感性开始，经过不断地发展、实践、检验和深化，最终得出概念清晰、逻辑严谨的确定性结论，从而形成理性思维. 初中生的数学思维很大程度上属于经验型思维，感性经验直接影响着逻辑思维. 分类讨论是提升理性思维的良好载体. 怎样进行正确分类？分类的基本要求是不重复、不遗漏，每次分类必须保持同一的分类标准，多级讨论，逐级进行.

通过深度阅读题目和充分挖掘已知条件，从△AED的角度来看待这个问题其实就是一个三角形的形内高和形外高的问题. 三角形的高的位置不像中线和角平分线那么“安分”，后两者无论三角形的形状如何发生变化肯定在三角形的内部，而高的位置可以在三角形内部、外部甚至于在三角形上. 所以图形中出现垂直于边AB的线段DH时，我们要从DH是△AED的形内高或者形外高两种不同的情況来进行分类讨论.

用图形分解与组合的观点来看待这个问题其实是将具有公共边线段DH的两个直角三角形——△EDH与△ADH进行两个三角形共一条边（边DH）进行拼接组合的问题. 那么△EDH与△ADH可以组合在线段DH的同侧，也可以组合在线段DH的两侧.

从解△AED的角度来分析这个问题，结合刚才对三角形的形内高和形外高的分析，我们可以通过形内高DH将△AED切割成高DH两侧的Rt△EDH与Rt△ADH（如图6所示），还可以通过形外高DH将△AED看成高DH同侧的Rt△E′DH与Rt△ADH（如图7所示）.

从图形运动的角度来看待这个问题，我们还可以理解为将△EDH沿着线段DH在△ABC所在的平面内翻折的问题. 那么△EDH沿着线段DH可以翻折到△AHD的内部，也可以翻折到△AHD的外部.

无论从什么角度来分析这个问题，第二个辅助圆☉H的产生对于解决确定这个问题的答案都有关键性的作用. 正如本题分析过程中所表现出来的☉H和线段AB有两个交点，所以决定对称轴DE具体位置的点E有两个，相应符合题意的点A′也有两个. 如果通过作出以点H为圆心，以线段DH的长度为半径的圆与线段AB只有一个交点，那么决定对称轴DE具体位置的点E有一个，相应符合题意的点A′也有一个. 如果通过作出以点H为圆心，以线段DH的长度为半径的圆与线段AB没有交点，那么不存在对称轴DE具体位置的点E，也不存在符合题意的点A′.

教学反思

1. 增设变式题组，感受变与不变

学生的数学学习内容应该是现实、有意义、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等活动. 数学教学的过程不仅是课本知识的传授，更重要的是对学生数学能力的训练和数学观点的培养. 课堂教学中的例题无论选自教材上的例题和习题，还是试卷上的题目，在就题论题的讲解和思想方法的归纳之后建议教师抓住几个关键点，尝试恰当改编，拓展追问，不断丰富例题的教学价值，不断增强例题的教学功能，促使学生的思维向多层次、多方向发散，有效提高课堂效果. 本着面向全体、润物无声、鼓励挑战的原则，教师结合题目的改编让学生感受和领悟常见变式的策略：变条件、变结论、变解答过程以及复合式变式等类型编制变式训练题，对提高学生分析问题和解决问题的能力大有裨益.

变式1   在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处. 当A′E⊥AB时，求A′A的长.

变式2  在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点D是AC的三等分点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，求A′A的长.

变式3  在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处. 当A′E⊥AB时，求翻折后重合部分图形的面积.

变式4  如图8所示，在△ABC中.∠ACB=90°，AC=4，BC=，点D在AB上，将△ACD沿CD折叠，点A落在点A1处，A1C与AB交于点E. 若A1D∥BC，求A1E的长.

变式5  如图9所示，在△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，求△ABC與△AB′D重叠部分的面积.

变与不变是世界永恒的规律，一方面：变是必然的，不变是不可能的;另一个方面：变是必需的，不变就不可能存在. 在众多变式题组中变化的是背景三角形的形状，不变的是背景三角形的边和角的关系都能够确定;变化的是各种结论要求，不变的是沿三角形内某直线翻折;变化的是点D的位置，不变的是点D始终在背景△ABC的边上;变化的是翻折后产生的新的线段与原有线段的位置关系，不变的是根据线段的位置关系均可推导角度关系. 当然翻折的背景还可以改变成其他三角形或者平行四边形，翻折的折痕可以使图形内一条特殊线段，也可以是几何图形本身的边，探索的问题可以是线段长度、角度大小，也可以是指定图形的面积或周长等. 学生观察这种题目的变化感受“变与不变”，方能体悟到变化和不变的关系;学生通过解题逐渐领悟在变化的题目中找到不变的方法，方能感知变式训练和归纳小结的重要性，也更能体会数学学习让自己的学习能力更具生机活力的重要性.

2. 重视数学思想，提高教学立意

在数学学习的过程中，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化”的思想方法. 化归与转化思想的核心，是以数学的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接分析，而是通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题，从而求得原问题的解决. 它的基本形式有：化未知为已知，化难为易，化繁为简，化曲为直等等. 转化与化归思想在数学学习中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等. 各种变换、具体解题方法都是转化的手段，数学思想中符号化就是将文字问题转化为数学符号，数形结合其实就是“数”与“形”的互相转化，类比思想其实就是用“旧能力”转化为“新能力”，建模思想和应用意识是数学问题与实际生活问题的互相转化，创新意识是现在向未来转化. 转化的思想方法不仅贯穿了所有的数学教学内容和解题过程，而且直接影响学生的数学观和学习观.

在圆这一章的学习过程中，学生感受到最基本的解题策略就是“化曲为直”，将圆的相关问题转化成三角形和四边形问题. 然而这道崇明一模卷的第18题所代表的动点翻折问题中添加辅助圆，就将三角形问题转化成圆来研究. 构造辅助圆的解题关键要善于发现隐藏在条件中与圆有关的信息，抓住题目特征，拓宽解题思路. 由于特殊的图形背景呈现的条件，学生对于辅助圆从看不见到看见隐约闪现的圆，从看见隐约闪现的圆到看见直线型图形背后自带圆形光环. 通过添加辅助圆可以增强直线型和圆形的内在联系，通过圆的有关性质找到解题途径. 所以如图10所示，这种转化无疑是为圆以及其他曲线型到三角形以及其他直线型的转化建立了平等关系、形成闭环，拓宽了转化渠道，丰富了转化方向，开阔了解题视野，推进了培养数学核心素养的进程.

辅助圆的出现不仅有利于帮助学生画出准确的图形，迅速找到解题的切入点，有利于养成数形结合的数学思想，而且能够引导学生不重复不遗漏的解决复杂图形中动点的存在性问题. 所以，大胆联想构造出与题目相关的辅助圆，通过辅助圆让几何图形中的特殊数量关系与位置关系显性化，将直线性问题转化为曲线型问题来解决，不失为一种特殊而行之有效的解题方法. 数学是理性的学科，数学教育以理性思维育人. 每一个例题都有着不可替代的教学价值，在教学设计中挖掘其中的育人元素，在课堂教学中关注学生的学习进程，在提问追问中引发学生的理性思考！