感知新旧两版教材变化优化三角函数教学

罗梦玮 雷丹

[摘  要] 通过对新旧两版教材（高中数学人教A版）中的“正弦函数、余弦函数的图像”这节知识内容的对比分析研究，感受新旧两版教材的变化，结合新旧两版教材的特点，提出了相关教学建议，以期进一步优化教学，提升学生的数学核心素养.

[关键词] 新旧两版教材;三角函数;单位圆

以核心素养为导向的《普通高中数学课程标准（2017年版）》于2018年1月正式颁布，而以该课程标准为依据的各新版教材于2019年秋季也陆续出版和投入使用[1]. 此次修订后的新版教材的结构体系发生了重大改变，新版教材打破了旧版教材的模块化结构和螺旋式上升的安排，保证了数学学科的结构体系和知识的系统性，使内容的逻辑顺序更加合理[2]. 其结构特色主要体现为整体性、过程性、联系性、选择性、融合性和实践性[3]. 本文以新版教材必修第一册第五章第四节第一小节“正弦函数、余弦函数的图像”的内容为例，试对人教A版高中数学新旧两版教材作对比分析，并给出相关的教学建议.

[?]新版教材中的“5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像”的内容变化

1. 注重知识的整体建构，凸显知识间的联系

与旧版教材明显不同的一点在于，新版教材研究思路非常清晰，每一章均以研究一个数学对象的基本思路为主线进行知识建构. 在新版教材必修第一册第五章中，研究对象是“三角函数”，“三角函数”又属于“函数”的范畴，因此整章对三角函数的研究基本遵循了函数的研究思路，即背景—概念—图像与性质—应用. 具体就本节内容而言，研究图像伊始，新版教材的节引言中就明确提出了这样一个问题：“前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数呢？”该问题的提出使得学生将目光不得不转向已有的研究方法，即先画出函数图像，通过观察图像的特征，获得关于函数性质的一些结论. 由此对三角函数图像的研究显得顺理成章，同时在学生的脑海中再一次对函数的研究思路、方法进行了建构. 研究本节的关键是从三角函数的定义出发，以单位圆模型为研究手段，这样既能在几何直观下研究三角函数的性质，也能通过三角函数的性质进一步把握三角函数图像的特征. 最后利用信息技术更快捷、更准确地作出三角函数的图像，这种动态关联的变化过程，更有利于学生对三角函数的图像与性质进行理解与掌握.

2. 注重研究方法的渗透，简化课堂的教学过程

新旧两版教材均将本节内容的重点放在了正弦函数图像的探究过程上，并且两版教材均借助了单位圆来描绘正弦函数的图像，但是两版教材对探究过程的设计却有一定程度的不同. 不同之处在于：

其一，旧版教材先进行了“简谐运动”的实验，学生通过实验可以得到对正弦函数图像的直观印象，再利用正弦线画出比较精确的正弦函数图像;新版教材删除了“简谐运动”实验的情境引入. “简谐运动”实验看似学科融合，实际上高一第一学期学生在物理学科中并没有学习到“简谐运动”，因此学生对它并不熟悉. 旧版教材用“简谐运动”实验主要是为了体现正弦函数的数学直观，但从本章知识结构来分析，单位圆模型是三角函数定义到三角函数图像的重要纽带，将单位圆上的点与三角函数图像上的点建立了一个动态的对应关系——点与角一一对应的关系. 因此新版教材直接利用了正弦函数的定义，即从函数解析式的角度出发进行研究，对于在[0，2π]上的任意一个点x，确定正弦函数值sinx，并画出点（x，sinx）;新版教材把研究的重心放在了图像上的点，图像上任意一点的作法，蕴含了函数整体的构建原理，简洁明了，凸显了单位圆模型在研究三角函数图像上的价值.

其二，旧版教材中的单位圆圆心是在平面直角坐标系的x轴上的任意一点，而新版教材中的单位圆是直接以平面直角坐标系中的原点为圆心的. 由此可以明显看出新版教材在这一部分的设计更加简洁，学生更容易接受，且新版教材从三角函数解析式的角度，即从代数的角度来研究三角函数的图像，是数形结合思想的重要体现，也為学生再一次提供了研究函数图像的一般思路.

3. 尊重学生的认知规律，体现学生的主体性

在本节中，新旧两版教材就“五点（画图）法”和“余弦函数的图像”的研究顺序进行了调整. 在旧版教材中，得到余弦函数的图像后才提出了“五点（画图）法”;而新版教材恰恰相反. 这一调整的原因主要有以下两点：一是得到正弦函数的图像后，及时思考并捕捉确定正弦函数图像的五个关键点，从而得到正弦函数简图的“五点（画图）法”是非常及时也是顺理成章的，符合学生的数学思维逻辑;二是正弦函数图像及“五点（画图）法”的系统学习，可以为余弦函数图像的研究构建一条清晰明了的研究思路，这一点既尊重了学生的认知规律，也符合前面提到的知识的整体建构，努力按照数学知识发生、发展的过程有序进行.

4. 加强学生的思维引导，提升学生的问题意识

通过对比新旧两版教材不难发现，新版教材提出的“思考”比旧版教材更多，且均以问题的形式呈现. 这说明新版教材更加注重新课标强调的“四能”，特别是发现问题和提出问题的能力. 学生在阅读教材的过程中能真实感受到这些问题提出的视角，渐渐地学会如何去发现问题和从什么角度提出问题及解决问题的能力. 除此之外，新版教材对于问题的表达引导性更强、指向性更明确. 比如，在正弦函数图像变换为余弦函数图像的引导语中，旧版教材的思考提示语是“你能根据诱导公式，以正弦函数的图像为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图像吗？”而新版教材提出的问题是“你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图像变换为余弦函数的图像？”两者提示思考的角度几乎相同，但显然后者提出的问题更加明确，更能引发学生思考，也凸显了知识的联系性. 新版教材第208页设置了选学内容“探究与发现：利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”，这既是对利用函数图像研究函数性质的方法的补充，也是为后续利用单位圆模型推导三角函数做铺垫，突出单位圆模型在研究三角函数中的地位，提升学生对核心知识的利用，重视教学方式从教到学的变化.

5. 注重信息技术的使用，增强学生的直观感知

新版教材與旧版教材还有一大区别在于，新版教材更加注重信息技术的使用. 例如在本节描绘正弦函数图像中，新旧两版教材都找到了正弦函数在x∈[0，2π]这个区间内的13个点，随后旧版教材采用了传统的方式将这些点用光滑的曲线连接起来;而新版教材则利用信息技术，使得x在区间[0，2π]上取到了足够多的值、画出了足够多的点，再将这些点用光滑的曲线连接起来. 新版教材在这个地方使用信息技术的好处在于，可以得到更为精确的函数图像，也大大增强了学生的直观感知，体现了课堂教学的时代元素和数学的可视化，大大提高了数学课堂效率.

[?]教学建议

1. 贯穿单元整体设计教学思路，以研究思路引领教学

本章的研究对象为“三角函数”，属于高中数学教学三大主线之一的“函数”范畴，可遵循函数的研究思路. 就本节正弦函数、余弦函数图像的研究而言，遵循函数图像研究的一般思路，以函数定义作为研究起点，从而开启本节知识的研究学习之旅.

2. 充分发挥单位圆模型的载体作用，提升学生的直观想象素养

直观想象是指借助几何直观形象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的素养，建立形与数的联系是其包括的主要方面[4]. 从三角函数的定义方法可以看出，单位圆模型是研究三角函数的重要手段，在整个三角函数的学习中发挥着极其重要的作用. 在前面学习三角函数概念、诱导公式时，学生已经对单位圆模型有了一定的了解. 在本节知识的学习中，教师要再一次引导学生构建单位圆模型，学会借助单位圆这一研究工具来建立单位圆上的点与三角函数图像上的点之间的一一对应的关系，从而突破本节知识的一个教学难点. 另外，通过对单位圆模型的再一次构建，可加强单位圆与三角函数之间的联系，再次突出单位圆作为刻画呈“周而复始”变化规律的三角函数载体的重要作用，提升学生的直观想象素养.

3. 渗透数学思想方法，加强数学思维引导

在引导学生画余弦函数图像的教学过程中，教师可以引导学生将未知问题向已知问题转化，即从描点法、“五点（画图）法”以及图形变换法入手，从中判断并选择最为简单合适的方法. 在这里显然是利用正弦函数与余弦函数的关系，通过图形变换（平移）最为合适. 未知问题向已知问题的转化，陌生问题向熟悉问题的转化，渗透着数学学习中重要的思想方法——转化与化归. 为了给学生提供更大的探索空间，新版教材通过“思考”和“探究”，引导学生探索正弦函数与余弦函数的关系，即cosx=sin

x+

. 通过图像变换得到余弦曲线后，根据曲线特征得到画正弦曲线、余弦曲线简图的“五点（画图）法”，体现出了从特殊到一般、从一般到特殊的思想，也能感受到从局部到整体、从整体到局部的思维变化. 如若教师能站在这样的高度来引导学生学习，必将对学生数学思维的发展大有助益.

4. 加强问题驱动式教学，把握提问时机

以问题驱动的方式进行教学可大大促进学生的思考，但值得注意的是，一个好的问题需要具备以下四个条件：指向性明确、思维性突出、层次性明显、开放性显著. 同时，教师要把握好提问的时机，在适当的时候提出好的问题引发学生思考. 比如，在得到y=sinx（x∈[0，2π]）的图像后，可以引导学生思考：“如何利用正弦函数‘周而复始的变化规律画出y=sinx（x∈R）的图像？”又比如，得到正弦曲线后，可以引导学生思考：“如何才能更快地画出正弦曲线？确定正弦函数图像的形状时，应抓住哪些关键点？”

5. 尊重知识的连贯性，顺应知识发生、发展的过程进行教学

连贯性是数学知识呈现的一个重要特征. 因此，教师应尊重、理解知识的这一特征，并合理地运用这一特征来促进教学. 例如在本节知识教学中，教师可以先和学生共同探究得到正弦函数的图像，再引导学生从图像中观察哪些点是“关键点”，从而得到“五点（画图）法”，而不是进行余弦函数图像的学习后再绕过头来讲“五点（画图）法”.

6. 注重信息技术的使用，加深学生的直观感知与理解

在教学中，适当适时地添加信息化的元素可以大大提升教学效率. 在本节正弦曲线的作图过程中，对单位圆进行12等分得到了13个点后，可利用几何画板等信息化技术辅助教学，通过取得足够多的值而画出足够多的点，画出更为精确的函数图像. 借助动态演示，直观形象地将图像展示在学生面前，可以引导学生更好地发现图像特点，观察图像的变化过程. 但值得注意的是，切勿以信息技术直接代替学生思考，切勿直接忽略画图过程的讲解.

7. 渗透核心素养及立德树人的教育理念

每一堂课都有其独特的教育价值及涵盖的学科素养，教师要学会深挖知识背后的教育价值，并在课堂中一步一步去落实. 例如在本节课的教学中，教师可以利用正弦曲线、余弦曲线的“波峰波谷”对学生进行人生观、价值观的教育，告诉学生人生就像正弦曲线、余弦曲线一样，当我们处于波峰时不要骄傲自满，当我们处于波谷时不要妄自菲薄. 当然，仅通过一节课就实现对学生某方面核心素养的培养或者某种观念的形成是不太现实的，这是一个需要长期积累、不断努力的过程.

8. 加强数学与生活及其他学科的联系，提升学生发现美、鉴赏美的能力

简谐运动、声波、天体运动、单摆流沙实验等都与正弦曲线、余弦曲线密切相关，这些知识都可以作为本节课的拓展内容，引导学生感受数学与生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值及独特魅力. 另外，正弦曲线、余弦曲线作为波形曲线的代表，凸显了波形曲线的流畅美和对称美，在本节知识的教学过程中，教师可以带领学生感受数学的美学价值，真正体会三角函数周期变化的规律，提升发现美、鉴赏美的能力.

参考文献：

[1]  斯理炯. 发挥数学的内在力量实现教“数”育人——以新人教A版教材“指数函数”的教学为例[J].数学通报，2019，58（09）：26-28+42.

[2]  邵光华，张妍. 人教A版高中数学新版教材特色分析及使用建议[J].课程·教材·教法，2019，39（12）：109-114.

[3]  章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续3）——《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写[J]. 中学数学教学参考，2019（25）：5-11.

[4]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M].  北京：人民教育出版社，2018.