抓好数学解题教学 促进解题能力提升

钱怡

[摘  要] 解题课不仅在帮助学生巩固基础知识、强化基本技能上具有突出的价值，而且还可以有效帮助学生查缺补漏，让学生更好地认识自己、发展自己;另外，借助解题课还能培养学生良好的思维品质，其在数学教学中具有不可估量的价值. 为了更好地发挥解题课的价值，教学中可以尝试采用“学生先行、教师断后”的教学模式，坚持“以生为主”，做好课前准备、课中探究和课后反思，从而有效发展学生的数学思维，促进学生解题能力提升.

[关键词] 解题课;数学思维;解题能力

在传统的教学中，大多数教师将知识、方法以“灌输”的方式讲完后，就会配以练习让学生进行模仿和强化，借助练习让学生理解相应的知识和方法，然这样的练习较为机械. 虽然在章节练习中能够取得较好的解题效果，然在综合练习中，当学生面对新的问题、新的情境时往往就会感觉不适. 可见，传统的教学方法存在一定的弊端，表面上学生能够解决很多问题，然学生在学习上缺乏灵活性和深刻性，这样只能将学生训练成做题的“工具”，不利于学生长远的发展. 为了改变这一现状，教师有必要改变传统的教学模式，在解题教学中侧重发挥学生的主体价值，鼓励学生通过独立思考、合作交流的方式自主解决问题，采用“学生先行，教师断后”的教学模式，给学生创设一定的空间去思考和探究，教师通过适时的引导，将思维引向深处，从而帮助学生认清问题的本质，总结和提炼出重要的思想方法，以此提升学生实际解决问题的能力. 笔者在教学“点到直线的距离公式的推导及应用”时，采用了“学生先行，教师断后”的教学模式，取得了较好的教学效果，现将其分享出来，以期共鉴.

[?]教学实录

1. 交流与探究

师：我们知道，点P（x，y）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离公式是d=，那么你们知道这个公式是如何推导出来的吗？现在请各小组合作探究，尝试从几何、三角、函数、向量、不等式等不同角度进行证明.

设计意图：借助问题情境，指明探究方向，改变传统的以教师讲授为主的教学模式，鼓励学生进行合作探究，尝试应用以前所学知识来证明新的结论，以此既能实现旧知巩固，又能借助多角度分析将相关的知识融合在一起，培养学生的综合应用能力. 要知道，数学公式中往往蕴含着丰富的内容，若只是将公式抛给学生就进行简单的强化训练，那么学生将难以理解公式的真正内涵，抓不住问题的核心，这样在解决问题时往往会出现思维障碍，因此教师要带领学生参与到知识的生成过程中来，以此既能让学生切身体会公式推导中蕴含的数学思想方法，培养思维的深刻性，又能让学生在解题时可以灵活面对各种新的问题，培养思维的灵活性.

笔者给学生足够的时间进行多角度探究，在巡视中对一些关键节点及时给予引导，课堂气氛融洽，师生互动更深入.

师：大家都做得非常好，接下来请各小组展示一下你们合作探究的成果. （笔者让每个小组派一名代表，选择一个探究方向进行展示）

生1：如图1所示，作PM∥x轴交直线l于点M（x，y），作PN∥y轴交直线l于点N（x，y），则x=，y=，所以PM=

. 根据等面积法可得PQ===.

师：非常好，从几何的角度出发，利用“算两次”的方法推导出了公式. 你们是不是也是这样证明的呢？（学生纷纷点头，表示与自己的证明方法相同）

生2：还可以这样推导：如图1所示，在Rt△PMQ中，PM=

，又直线l的斜率k=tanα=-，所以sinα=，所以PQ=PM·sinα=.

师：很好，利用斜率、倾斜角、同角三角函数等相关知识也可以完成证明. 我们一起来看看其他小组又是如何证明的.

生3：如图1所示，设Q（x，y），根据题意可知Ax+By+C=0，

y-y）=0，但是列出方程组后却解不出答案，难道这个方法行不通吗？

生4：可以解，解得x=

生3：哦！这样根据d2=PQ2=（x-x）2+（y-y）2继续计算应该可以求解了.

师：该方法是解析几何中的常用方法，不过对运算能力要求较高，想一想该过程能否进行优化呢. （因为该方法是解题的基本方法，笔者决定给学生充足的时间再思考）

生4：将方程Ax+By+C=0改为A（x-x）+B（y-y）=-（Ax+By+C），與方程B（x-x）-A（y-y）=0联立，得

. （下略）

师：很好，将整体思想应用得淋漓尽致，方程变形后，使运算过程得到了有效的优化.

接下来在笔者的启发下，学生又从函数、不等式、向量的角度进行了推导验证，在推导验证的过程中让学生的思维能力和认知水平得到了提升. 多种推导方法的应用使许多看似不相关的知识点紧密地联系在了一起，促进了知识的融合，有助于学生认知体系的完善和优化. 另外，整个教学过程以学生为主，学生在交流合作中实现了优势互补，使课堂变得精彩纷呈.

2. 检测与反馈

师：大家应用不同的方法进行了公式的推导，现在我们一起来验证一下大家的掌握情况. （用PPT展示问题）

问题：已知曲线C是到点P

-，

和直线y=-距离相等的点的轨迹，l是过点Q（-1，0）的直线，M是C上但不在l上的动点;点A和点B在l上，MA⊥l，MB⊥x轴（如图2所示）.

（1）求曲线C的方程;

（2）求直线l的方程，使得为常数.

第（1）问为基础题，可设点N（x，y）为C上的点，则NP=，N到直线y=-的距离为

y+，根据题意易得曲线C的方程为y=（x2+x）. 对于第（2）问，学生因为经历了前面公式的推导，思维更加灵活，解题时出现了多种方法：有的学生选择求交点坐标解决问题;有的学生利用QA=求解;有的学生从整体入手，直接列出方程组求解;也有的学生利用的投影在直线l的方向向量上求解. 经过对比发现，较前届学生，采用“学生先行，教师断后”的教学模式，能有效地激发学生的潜能，使学生的思维更活跃，解法更多样，解题效率有了明显的提升.

[?]教学体会

解题课的教学模式多种多样，不同的教师有不同的认识，教学中也会采用不同的教学方案，但无论应用何种教学模式都不能忽視学生的主体价值，要善于激发和调动学生的积极性，只有这样才能让学生真正学会思考、学会探究、学会解决问题.

与传统教学模式相比，“学生先行，教师断后”的教学模式有以下几点作用：①既能充分暴露学生的问题，通过交流互动帮助学生查缺补漏，又能展示学生的新思路，培养思维的灵活性;②可以发挥个体思维差异的优势，让学生在互动交流中拓展思维，完善认知;③有助于帮助学生熟练解题方法，形成解题技能;④给学生独立思考创设了良好的契机，有效摆脱教师思维定式的束缚，让学生的思维拥有更为广阔的发展空间. 该教学模式在培养学生独立思考和合作探究能力等方面具有突出的优势，其更易于触发学生积极学习，更易于提高学生的数学素养.

当然，提倡“学生先行”给教师带来了新的挑战和新的压力. 在传统的教学中，学生的思路是跟着教师走的，教师只要课前做好充分准备，课中灵活呈现就能完成一节课的教学;而让“学生先行”则课堂上势必会出现新的问题，这也就为教学带来了新的挑战，教师不仅要通过巧妙的引导帮助学生自然地走上探究之路，而且在面对灵活的课堂生成性资源时要灵活调整教学策略，使教学活动更适合学生发展. 为了保证该教学模式能顺利实施，首先，教师在课前要做好充分的准备，以“三个理解”为基础设计高质量的问题，以此启迪学生智慧的思维，激发学生的潜能;其次，在交流互动中，教师要融于其中，适当地引导学生，避免学生的思路“走偏”而影响到他们的探究信心和探究结果;最后，当学生展示交流结果后，教师应及时给予指导和评价，通过有效的拓展和延伸，构建完善的知识网络，促进思维能力有效提升.

另外，解题教学中要充分发挥反思的力量，这是思维能力提升的前提和保障. 解题过程中有时会因审题不清、概念混淆、运算错误、忽视特例等情况而出现各种错误，那么有效反思可以规避错解风险，提高解题准确率. 解题后要反思其他解题方法，对于同一个问题往往会有不同的解题方法，因此在平时练习时不要拘泥于一种解法，要引导学生多角度尝试探究，这样可以有效调动不同的认知，使学生的思维触角伸向更深、更广的层面，以此发展学生的思维能力. 同时，在反思过程中要引导学生进行总结和归纳，从而在解决一个问题的基础上能够掌握解决一类问题的思想方法，让学生能够从整体和全局上更好地理解并掌握新知，以此提升解题能力.

总之，在解题教学中要改变传统的“就题论题”的讲授模式，变“机械模仿”为“主动探究与合作交流”，让学生真正地学起来，从而提高学生的解题能力.