基于“慢”生成、“深”理解的概念教学设计与实践

梁锦连

[摘  要] 概念教学是数学学科新课教学的重要环节，是课程教学的重点. 理解概念要重视概念的导入方式，概念的导出过程的重点在于“慢”，让学生在学习新知的过程中能自我探究、发现和解决问题，培养学生观察、类比、归纳、总结、创新等思维.

[关键词] 理解概念;“慢”生成;“深”理解;解决问题

[?]发现问题

理解概念的深度对学生能否打好数学基础有很大的影响，没有把概念理解清楚，原因有很多，可能是教师本身在课堂上对概念的讲解不够重视，因为教学进度而对概念轻描淡写;或者讲解的深度不够，学生还没有真正理解概念就进入了下一环节;或者学生只是按照教师设置的思路去思考问题，缺乏自主发现问题、探究问题、概括和归纳概念的过程，因此掌握得不够透彻.

其实，教学目的就是让学生在掌握新知识的过程中学会数学思考，培养学生自主发现问题、研究问题和解决问题的能力，学会独立思考是最大的收获. 因此，在讲授新知识新概念的过程中，要注意以下几个方面：

一是概念的导入方式要有吸引力.学生学习数学普遍存在着这样一种感觉：数学难学，而且枯燥，甚至学了在生活中好像也用不上. 因此，在导入新课时，需要准备与生活比较贴切的情境，让学生明白生活中有问题需要用数学知识去解决，提高学生学习的积极性，让学生愿意参与课堂活动，渴望去掌握新知.

二是概念的导出过程的重点在于“慢”.在学生对引例比较感兴趣的情况下，让学生自主发现问题，经过自主研究（或者小组讨论）后解决问题，给学生足够的时间去思考、去探究，允许学生犯错，并舍得时间去纠错. 这样，即使学生最后没有归纳出概念，但在这个过程中对学生数学思维的锻炼还是有较大帮助的.如果学生能自己归纳出概念，那么对学生学习数学的积极性与信心都有很大的提高.

三是概念的讲解过程要抓住关键字词. 从教多年，发现学生对待书中的概念，要么是粗略地读一遍，要么是拿红笔在概念下面画横线（表示自己已经掌握了），但是忽略了概念中的关键字词，对概念的理解也是不够深刻的. 比如，在讲解等差数列的概念时，关键字词是“从第二项起”和“同一个常数”，这两个条件缺一不可！如果学生没有注意到，那么判断一个数列是否为等差数列时可能就会出错，此时教师可以举反例让学生去体会关键字词的作用.

四是对概念的理解要有深度.概念的理解过程中，仅抓住关键字词还不够，关键字词只是形成概念的一种条件，对概念内涵的理解还没有达到目的. 比如，上面提到的等差数列的概念，部分学生对“每一项减去它的前一项”的理解只停留在他们所接触的等差数列的特殊形式中（如a-a，a-a），而没有把这个内容进行拓展，延伸到等差数列的一般情形中（如a-a，a-a），也没有意识到其既可以代表有限项，也可以代表无限项. 如果对概念的理解有一定的深度，那么学生可以发挥自己的创新思维，归纳推理能力也会提高.

五是对概念的理解要做到及时巩固. 对概念的理解做到及时巩固，不仅能及时反馈学生是否掌握了本节课所学的新知识，也是学生思维能力提升的关键时刻. 另外，若在课堂练习中添加变式教学模式，对概念理解的效果能起到更好的作用.

概念教学是学生掌握新知识的重要环节，也是学生提升数学思维能力的关键时刻. 若要让学生达到夯实基础的目的，则在概念教学的过程中不能操之过急. 下面，笔者以“离散型随机变量的均值”教学为例进行说明.

[?]课堂实录

1. 问题情境，引入概念，开启思维

师：同学们都知道，我们在每个学期中都会遇到各种各样的测试. 例如，数学每周就有周测，还有月考以及期末考，成绩的高低衡量我们所学知识的掌握程度.

师：若同学A平时的周测成绩都在90分左右，可是他期末考试那天由于身体不舒服，结果只得了60分，因而他父母就认为他学习不够努力，你们觉得这样的评价对于同学A来说公平吗？

师：若同学B平时的周测成绩都在50分左右，可是他期末考试那天发力了，结果得了90分，你认同老师给他“优秀”等级吗？

师：若让你来评价这两位同学的成绩，你觉得应该怎么处理才是公平的？

生：我觉得应该按比例评价更公平，比如按照平时考试成绩占65%、期末考试成绩占35%的比例作评价.

师：你们能按照这种评价方法计算综合成绩吗？（让学生自己动手尝试计算，体会这种计算模式）你的结论是什么？

生：我是这样计算的：同学A的成绩是90×65%+60×35%=79.5（分），同学B的成绩是50×65%+90×35%=64（分）.

师：你们认为这种评价方法公平吗？

生：公平，因为这样更能反映他们的真实水平.

师：我们把65%和35%称为“权”（权衡轻重的数值），算出来的79.5分和64分称为“加权平均”（计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数）.

设计意图：针对上面两位学生的情况作评价，使学生有较大的感触，认为单一地从期末考试成绩评价这两位同学有点不公平，所以学生会综合他们平时的考试成绩以及期末的考试成绩作出相应的调整，给出了权重这种衡量方式，求出加權平均值后综合评价他们的真实水平，让学生意识到平时学习新知识的重要性，对这节课后面的学习做了很好的铺垫.

2. 激学导思，形成概念，交流思维

师：若某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，混合糖果中每一粒糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？

师：如果将价格定为18元/kg会怎样？

生：低了，商家会亏本！

师：如果将价格定为36元/kg又会怎样？

生：高了，可能会卖不出去，商家还是会亏本！

师：你认为以算术平均数==26来定价合理吗？

生：（沉思后回答）感觉不太合理.

师：你认为该怎样定这个价格更好？

生：我认为应该用权重这种方法来定价更好，即18×+24×+36×=23.

师：你能解释该问题中权数代表的实际含义吗？

生：我认为权数代表每种糖果在总量中占有的比例.

师：在样本中任取一颗糖果，权数代表抽到的糖果是对应价格的概率.

在混合糖果中任取一颗，它的实际价格用X表示，X的分布列为：

合理价格=18×+24×+36×=23，即合理价格=18×P（X=18）+24×P（X=24）+36×P（X=36）=23.

我们把这种计量方式称为“离散型随机变量的均值”.

设计意图：从身边的实际例子出发，引起学生的兴趣，让学生自己试着给混合糖果定价，学生会想尽办法让混合糖果的价位更合理. 通过这个过程，让学生理解权数的运用，初步领悟概念“离散型随机变量的均值”.

定义“离散型随机变量的均值”：

一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：

则称E（X）=xp+xp+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望. 它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

師：你能概括一下求离散型随机变量均值的步骤吗？

生：先明确离散型随机变量可能取的值，再求这些值所对应的概率，然后再按照这个公式进行计算.

归纳求离散型随机变量均值的步骤：①确定离散型随机变量所有可能取的值;②写出分布列;③求出均值.

设计意图：先熟悉离散型随机变量均值的概念，再明确求离散型随机变量均值的步骤，让学生对所学知识有概括归纳的锻炼;然后联系学习过的知识，引导学生进一步理解离散型随机变量均值的含义，以及理解用其解决实际问题的原理.

师：根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：

方案1：运走设备，搬运费为3800元.

方案2：建设保护围墙，建设费为2000元. 但围墙只能防小洪水.

方案3：不采取任何措施，希望洪水不发生.

试比较哪一种方案好.

师：你会通过什么方式对比这几种方案呢？

生：看哪个方案的损失最小.

师：我们要通过怎样的计算来比较3个方案损失的大小？生：可以尝试求随机变量的均值. 用X，X和X分别表示3种方案的损失：

采用方案1，无论有无洪水，都会损失3800元，即X=3800.

采用方案2，有大洪水时，损失2000+60000=62000（元）;没有大洪水时，损失2000元，即X=62000，有大洪水;

2000，无大洪水.

采用方案3，则X=60000，有大洪水;

10000，有小洪水;

0，无洪水.

师：你能写出它们各自的分布列并求出随机变量的均值吗？

生：X的分布列为

则E（X）=3800，E（X）=62000×0.01+2000×（1-0.01）=2600，E（X）=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100. 采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2.

师：值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的. 一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2可使损失减到最小.

师：我们选择方案2一定是最好的吗？为什么？

生：不一定. 概率只表示可能发生，不一定就是发生或者不发生.

师：由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.

设计意图：这个例题相对较难，学生不一定能够想到通过求3种方案各自的平均损失进行比较，教师一定要作相关提醒，让学生自己动手，尝试一个个突破. 如果在教师的引导下能够求出最佳方案，那么对学生学习的自信心会有较大的鼓舞.

[?]教学反思

本节课使用的是“问题串”教学方式，在教师的引导下，学生通过类比、猜想、归纳、概括等思维活动，逐渐理解和掌握所学知识，基于“慢”生成，达到教学目的.

在本节课的课堂实录中，主要体现了以下几个优点：①课堂学习内容源于生活实例，让学生充分体会数学的应用价值，激发学生学习的兴趣以及探究的积极性;②本节课的教学重点是突出逻辑推理能力和数学运算能力，关注学生思维层次的提升.当然，不足之处也得加以改正，有以下几个地方：①课堂内容信息量有点大，需要掌握的知识点较多，基础薄弱的学生容易被教师带着走，不能做到自主学习的目的，因此课后要更多关注这些学生的掌握情况，要及时进行疏导和强化;②学习内容与前面知识的关联较大，要求学生掌握的必备知识较多，对课堂教学质量有一定影响，需要注意课后作业的反馈，及时查漏补缺，达到预期教学目标;③课堂小结应结合数学核心素养而归纳总结，让学生明确这节课的学习目的，理清自己是否掌握到相关能力.

概念教学的过程中，要渗透数学思想方法，培养学生的数学能力不能一蹴而就，急于求成，要关注学生的思维形成过程，在“慢”生成、“深”理解中达到高效课堂的目的.