经历多样活动深化概念理解

滕支香

摘 要】小学数学中的概念教学是一个复杂的过程，它是学生在主动探索的学习过程中理解和掌握的。本文结合苏教版数学五年级下册“公倍数和最小公倍数”一课，在探索中理解概念、在解题中掌握方法、在应用中拓展认识三个方面阐述了如何在概念教学中让学生经历多样活动，在充分亲历的过程中逐步建立并抽象出概念的本质，帮助学生深入理解概念，以便更好地掌握数学概念的内涵。

【关键词】小学数学 经历过程 概念理解

教学片段一：在探索中理解概念

师：你们猜测可以铺满边长几分米的正方形？（如图1）

生1：我猜测可以铺满边长6分米的正方形，因为6是3的倍数，而8不是3的倍数。

生2：我也猜测可以铺满边长6分米的正方形，但我们不仅要看正方形边长是不是瓷砖长的倍数，还要看它是不是瓷砖宽的倍数。这跟我们前面研究公因数时用正方形铺长方形一样，既要沿着水平方向铺，还要沿着竖直方向铺。

师：你说得非常好！那就请大家用研究公因数和最大公因数的经验和学习方法去完成验证和思考吧！先独立完成，再与小组里的同学交流。

（学生独立完成，教师巡视，帮助学困生并提供指导。等绝大多数学生完成后，再按顺序组织展示与交流）

生1：我是用画一画的方法验证的：我发现和我猜想的一样，能铺满边长6分米的正方形，但不能铺满边长8分米的正方形。（如图2）

生2：我是用算一算的方法验证的：6除以3和2都没有余数，所以可以正好铺满。而边长8分米的，8除以2能除尽，但8除以3除不尽，所以不能正好铺满边长8分米的正方形。看来确实长和宽都要考虑。（如图2）

师：这是他们的意见，其他同学呢？在这个过程中，你有什么发现吗？

生1：能正好铺满边长6分米的正方形。因为6既是2的倍数又是3的倍数。

生2：不能铺满8分米的正方形。因为8只是2的倍数，而不是3的倍数。

师：用这张纸还能正好铺满边长是多少分米的正方形？

生1：还能铺满边长是12分米、18分米的正方形。

生2：還能铺满边长是24分米的正方形。

师：这样的正方形说得完吗？

生：说不完，只要正方形的边长既是2的倍数又是3的倍数就可以。

师：是的，这里的6、12、18、24……既是2的倍数，又是3的倍数，它们都是2和3的公倍数。（板书：2和3的公倍数：6，12，18，24……）

师：知道2和3的最小公倍数是多少吗？

生（齐答）：6。

师：我们可以用中括号表示最小公倍数，2和3的最小公倍数是6，可以表示为[2，3]=6。两个数有最大公倍数吗？为什么？

生：没有，因为任何数的倍数的个数是无限的，两个数的公倍数的个数自然也是无限的，所以两个数没有最大公倍数。

师：10是2和3的公倍数吗？为什么？

生：不是，因为10只是2的倍数，而不是3的倍数。

师（小结）：看来公倍数，就是两个数公有的倍数。（板书：公有的）其中最小的就是最小公倍数，没有最大的，所以写公倍数时需要用省略号表示。那如何找两个数的公倍数和最小公倍数呢？

【教学思考】创设情境后，教师先引导学生联系已有经验，做出猜测，再在“学习单”的引领下，自主用画一画、算一算的方法进行验证，并进一步思考与交流其中隐含的规律，从而自主完成公倍数和最小公倍数的概念和意义的建构。这样迁移的目的是引导学生自觉实现由探究找公因数和最大公因数的方法向探究找公倍数和最小公倍数的方法的迁移，积累实践和思维活动经验，培养学习能力。事实也证明，这样的活动设计更契合学生的认知基础，能很好地激发他们参与学习活动的积极性和主动性，使他们真正做到全身心投入，卓有成效地展开操作、思考与表达，在正确理解概念的同时，获得思维品质的提升。总之，本环节由操作中产生的问题经由数学角度的分析，提炼出“公倍数”这一概念，让学生经历了一个实实在在的数学化的过程。这一过程不仅让学生知道了一个新的概念，还让他们体会了如何用数学的眼光来观察、分析生活现象，从而获得了宝贵的数学活动经验。

教学片段二：在解题中掌握方法

（生在学习单上完成图3题目）

（师巡视后挑选三种不同的方法让学生上台展示）

生1：分别列举出6和9的倍数，然后圈出6和9的公倍数。

生2：先列举出6的倍数，再从6的倍数中圈出9的倍数，这样的数就是6和9的公倍数。

生3：先列举出9的倍数，再从9的倍数中圈出6的倍数，这样的数就是6和9的公倍数。

师：我们来对比这三种方法有没有共同之处？比较一下，你更喜欢哪种方法？并说说你的理由。

生：方法2和方法3都只写了一个数的倍数，这样既简单又节省时间。

师：大家同意吗？那我们来场比赛吧：小组PK找2和7的公倍数。时间30秒，一、二组用方法2，三、四组用方法3，准备好了吗？开始。

师：停！哎，怎么三、四组速度快呢？（展示两种方法）

（生1未完成作业）

生2：7的倍数有7、14、21、28、35、42、49……

师（将两份作业进行对比）：为什么快？

生：我们看7的倍数里，每两个里面就有一个2的倍数，而2的倍数中，要隔好几个才有7的倍数，所以三、四组快。

师：那我们要想既快又准地找出两个数的公倍数，你觉得要注意什么呢？

生：我觉得可以先写出大数的倍数，再从里面圈出它们的公倍数，这样既快又准。

师：这种方法就叫“大数翻倍法”。（板书）

师：我们已经找到三组数的公倍数，观察一下，每组数的公倍数和最小公倍数有什么关系？

生：我发现两个数的公倍数都是最小倍数的1倍、2倍、3倍……（师在黑板上画）

师：那么找两个数的公倍数的关键是什么？（最小公倍数）

师：我们在学习最大公因数时，认识了韦恩图（集合图），同样的，6和9的倍数也可以用韦恩图来表示，大家尝试填在学习单上，并说说你的理由。

师（强调）：中间重叠的是什么？

生：公倍数。

师：找两个数的公倍数时，要注意什么？

生：两个数的公倍数和倍数一样都是无限的，最后都不要忘了省略号。

【教学思考】本环节继续探究找两个数的公倍数和最小公倍数的方法，开展了四个层次的交流活动。①方法的多样性。学生基于已有的经验，在解决问题时自然联想到找两个数的公因数和最大公因数的方法，这既有利于他们实现方法的迁移，又能深刻感受到一一列举策略的作用和价值。②方法的异中求同。通过比较，学生发现无论用哪种方法，都是在两个数的倍数中找到它们的公倍数。特别是用集合图表示两个数的公倍数的方法，不但可以帮助学生厘清概念的内涵和外延，还可以让他们深刻感受几何直观的意义与价值。③方法的求同存异。在数学教学中，我们既要尊重学生的独特思维，又要关注学生学习方法的多样化。但是关注方法的多样化并不意味着不需要方法的优化。在学生呈现出三种方法后，我们应该引导学生将这三种方法进行对比辨析，既要找出这些方法的共性，同时还要挖掘每种方法的独特性。在上面的教学片段中，为了让学生感悟“大数翻倍法”的优越性，引导学生亲历“求同存异”的过程，不断优化方法，完善学生认知。学生很容易发现“求同”：都是采用“先列举，再圈找”的策略。再引导学生“求异”：“尽管思路相同，但方法还是会有差異的，对比一下，你喜欢哪种方法呢？”在对比中，学生发现了方法2和方法3较简单，但是学生对方法2和方法3之间的区别无法理解，笔者没有生硬地把自己的认知强加给学生，而是适时巧妙地创设了问题情境：“既然大家都认为方法2和方法3比方法1简单，那来场比赛吧：小组PK找2和7的公倍数，时间30秒，一、二组用方法2，三、四组用方法3。”在这么短的时间内，笔者预设到先写2的倍数的学生可能来不及完成任务，课堂上也确实如此。此时学生明显感受到：“7的倍数里每两个里面就有一个2的倍数，而在2的倍数中，要隔好几个才能找到7的倍数。”这个过程自然而然地引出了“大数翻倍法”，实现了方法最优化。所以说，教师在教学时，要立足于方法的“多样化”，引导学生解释方法的“合理化”，最终探寻方法的“最优化”。这样不仅有助于学生真正地理解找两个数公倍数的方法，还能在这个过程中提升学习的品质和能力。④提炼归纳特征。对找公倍数的讨论，帮助了学生理解两个数的公倍数有无数个的特点，加强了无限思想对学生的渗透。总之，本环节借助学习最大公因数时所积累的经验，放手让学生自主探究两个数的公倍数的求法，既是对公倍数概念的认识继续深化的过程，也有利于他们切实掌握求两个数的公倍数和最小公倍数的基本方法。

教学片段三：在应用中拓展认识

【教学思考】课堂练习在目前“双减”政策的背景下要以课程、学生和学习的视角，对作业的设计重新系统地梳理与反思。减少作业时间，不只是“量”上做简单的“减法”，更重要的是应该在“质”上求“变化”。教师设计作业要摆脱机械、枯燥、烦琐、无价值的练习，让作业“色香味”俱全，点燃学生的兴趣，激发学生的内驱力。因此，在巩固练习环节，笔者从生活情境和游戏两个方面入手，进行拓展练习和灵活运用，既摒弃了传统练习的枯燥无味，又让学生体会到了数学与生活的紧密联系，于玩中学、于学中玩。在游戏练习结束后，笔者引导学生能主动在此过程中发现一些有趣的规律或性质，既能加深学生对所学知识的理解，又能激发他们对数学的兴趣，从而积累丰富而广泛的数学活动经验，真可谓一举多得。在当前“双减”政策的背景下，作业设计要进行三个追问：学生为什么要做作业？什么样的作业对学生最有效？作业设计得好不好谁说了算？作业是整个课程链上的一环，是课程学习的一部分，任何与学习目标相关性弱或不相关的作业，都应从作业单中删除。所以当下，无论是课堂作业还是课后作业都需要精心地设计与实施。作业设计和作业实施的质量，应该成为教师专业发展水平的重要标志之一。

综上所述，数学概念不仅是构成数学知识体系的基础，还是数学认知结构的重要组成部分。因此，概念教学是一个复杂的过程，要淡化对概念字面上的死记硬背，把握概念的核心，让学生在主动探索的学习过程中去理解和掌握数学知识。教师要遵循学生的心理特点和认知规律，充分利用学生已有的知识经验和生活经验，激发学生自主探索的兴趣，让学生在想象、比较、分析、归纳等活动中充分经历概念的形成过程，凸显概念的特征。这样，学生在直观感知的过程中就会逐步建立并抽象出概念的本质，进而更好地掌握数学概念的本质与内涵。