在对比想象中凸显概念的数学本质

徐鹏阳 杨美

【摘 要】“认识射线、直线和角”是苏教版数学四年级上册“垂线与平行线”单元第一课时的教学内容。无限延长是射线和直线的重要特征，小学生理解此特征时存在一定的困难。因此，教师应将静态的教材转化为动态的学材，经由对比、想象，抽象出几何概念，凸显概念的数学本质。

【关键词】小学数学 数学模型 数学本质

一、教学设计

（一）创设情境，自然引入线段

师：同学们都读过《西游记》，相信不少同学都特别喜欢神通广大的孙悟空。今天这节课我们就跟着孙悟空一起来学习数学知识。孙悟空要从花果山到蟠桃园摘桃子，土地公公给孙悟空指出三条路。如果你是孙悟空，你会选择哪条路？（出示图1）

生1：我选第二条路，因为这样走最快。

生2：我也选第二条路，因为第二条路没有那么弯，长度比较短。

师：孙悟空觉得第二条路还是太长了，你能设计一条最短的路吗？

生：我认为应该把两个点连起来，画一条直线。

师：你们同意吗？他的意思是画一条直直的线连接两点。仔细观察，两点之间这条最短的路，其实是我们学习过的什么知识？

生：线段。

师：还能找到更短的路吗？（学生摇头）看来两点之间线段最短，这条线段的长度叫作两点间的距离。

【设计意图】创设趣味情境，让学生在观察比较中选出合适的路，并启发学生进一步思考“如何设计一条最短的路”。借助几何图形，使学生直观感受到“两点之间线段最短”，进而自然引出两点间的距离概念，为接下来在线段的基础上认识射线与直线做铺垫。

（二）操作表征，建立知识联系

师：孙悟空沿着最短的路到了蟠桃园，为了感谢大家，拿出了自己的宝贝——金箍棒。现在你们就是孙悟空，你喊“变”，金箍棒就会发生变化。

生：变！

（动画演示金箍棒一段无限延长）

师：看清楚了吗？请大家闭上眼睛想象一下，如果不停地喊“变”，金箍棒会怎样变化？想象好了就把眼睛睁开。想不想再让金箍棒变一变？

生：变！

（动画演示金箍棒两端无限延长）

师：如果一直变下去，你能想象出金箍棒的变化吗？可以一边想一边用手势比画一下。金箍棒不仅能变长、变短，还能变粗、变细。现在金箍棒变成了一条线段。你能将刚刚头脑中想象出的变化，在线段上表示出来吗？

师：下面我们来听听同学们的想法。（依次展示图2、图3）

生1：因为金箍棒是向右边一直变长的，所以我将线段往右边延长，并且标了个箭头，表示往右边一直延长。

生2：金箍棒一直向右变长，所以我在后面画了省略号，表示可以向右无限延长。

师：无限延长是什么意思？谁听懂了？

生1：无限延长就是没有端点拦着它，没有限制。

生2：无限延长就是可以一直延长，不停地延长，没有尽头。

师：看来同学们理解了无限延长的含义，我们再来看这幅作品。（展示图4）

生：我也是将这条线段向右边无限延长，但我觉得不需要画省略号，只要不画出端点就可以了。

师：不画省略号也能表示无限延长吗？

生：可以，因为他是把线往右边画的，肯定是向右延长。而且他刚刚说了没有画端点，就没有东西挡着，所以可以无限延长。

师：比一比三幅作品，虽然同学们表示变化的方式不同，但有什么相同点？

生1：画的都是直直的线，而且都是向右边延长。

生2：我觉得他说得不够准确，三幅图都是向右无限延长，不过有的是画箭头和省略号，有的是不画端点。

师：将线段的一端无限延长，就得到了一条射线。用一种规范、简洁的方法来表示射线，你会选哪幅作品？

生1：我选图4，因为这幅图不用画省略号和箭头，看上去更简洁。

生2：我也选图4，因为这幅图能表示出向右无限延长，看得更清楚。

师：你们都同意吗？那将自己的作品修改一下，同时想一想金箍棒第二次的变化该怎样调整？

生：第二次金箍棒是朝着两边无限延长的，所以我就朝两边画，表示两端都可以无限延长。（展示图5）

师：你们都同意吗？比一比，这两次变化有什么不同点？

生：第一次是一端无限延长，第二次是两端无限延长。

师：将线段的两端无限延长，就得到了一条直线。

师：将直线与线段、射线比一比，有什么相同点？有什么不同点？在四人小组里交流交流。

生1：它们的相同点是都是直直的线，不同点是线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点。

生2：它们的不同点是线段是固定不动的，射线一端可以無限延长，直线的两端都可以无限延长。

生3：线段的长度是可以测量的，射线和直线长度都是无限的，没法测量。

师：正如同学们所说，线段、射线和直线都是直直的线，它们的端点数各不相同。线段的长度是有限的，而今天认识的射线与直线的长度是无限的。

师：孙悟空穿越到了图形王国，遗失了他的金箍棒。这时他遇到两个妖怪的攻击，你能帮孙悟空选出称手的兵器，同时击倒这两个妖怪吗？（出示图6）

生：我选直线。因为一个妖怪在左边，一个妖怪在右边。直线两端都能无限延长，所以可以同时击倒两个妖怪。

师：为什么不选线段或射线呢？

生：因为线段的长度只有2米，打不到妖怪。射线只有一端可以无限延长，打不到另一边的妖怪。

【设计意图】学生在画图操作的过程中，自主表征射线与直线，并通过对比交流与空间想象加深对无限延长的认识，同时建立射线与线段、直线与线段、射线与直线之间的关联。在学习评价中创设挑选兵器的问题情境，学生结合线段、射线与直线的特征解释自己做出选择的依据，进而丰富、明晰对特征的理解与认识。

（三）旧图新看，丰富概念认知

师：其实，我们以前学习的图形中也藏着今天认识的“线”。看，这是一条射线。从这个端点再画一条射线，就变成了什么图形？

生：角。

师：谁来指一指角的顶点和两条边？

（学生在黑板上指）

师：用今天的眼光来看角，你有了哪些新的认识？和同桌说一说。

生1：角的两条边是两条射线。

生2：这两条射线都是从一个端点出发的，拥有一个共同的端点。

师：正如同学们所说，从一点引出的两条射线可以组成角。通过以前的学习，我们知道这样一句话：“角的大小与两条边张开的大小有关，与边的长短无关。”学习完今天的知识，你能解释下为什么“角的大小与边的长短无关”吗？

生1：因为角的两条边都是射线，长度都是无限的，所以和边的长短无关。

生2：因为射线可以无限延长，不管怎么延长，方向都是不变的，所以角的大小也不会变。

师：通过今天的学习，我们对角的认识更加丰富了。其实角与直线也有联系。这里有两条直线，现在有角吗？想一想，这两条直线通过怎样的操作就能得到角呢？（出示图7）

生：虽然看上去没有角，但是直线是可以无限延长的，所以可以延长到交叉的时候，就能得到角了。（出示图8）

师：看来直线与角也有着密切的联系。其实，角是描述两条直线位置关系的重要工具，在以后的学习中，我们就能感受到角的作用。

【设计意图】学生结合所学新知，用新的眼光重新审视角，从而建立射线与角的联系。学习评价呈现两个问题，一个是让学生运用射线的特征解释“角的大小与边的长短无关”，一个是让学生结合直线特征进行问题的思辨。学生经历解释思辨的过程，丰富、加深了对射线、直线与角的认知，凸显图形概念的数学本质。

二、教学反思

（一）借助操作想象，勾连新知与旧知

教材将灯射出的光线看作射线，随后在线段的基础上引入射线与直线的概念，并通过比较线段、射线、直线的不同点，丰富学生对射线、直线、线段特征的认识。但灯射出的光线与“把线段的一端无限延长”并不能进行有效的关联，学生难以在头脑中建立较为清晰、准确的概念。仅仅关注三者的不同点，淡化了线段、射线和直线的共同特征——直，进而导致学生获得的都是碎片化的知识点，无法建立知识体系，触及不到数学概念的本质。

因此，第一个学习任务首先通过动画演示金箍棒的两次变化，让学生充分经历将线段一端无限延长和两端无限延长的过程，同时通过空间想象，初次感受无限延长。随后，将金箍棒抽象为线段，让学生在线段上表示出两次金箍棒的变化。不同层次的学生会呈现出不同的作品：有的学生用箭头表示延长的方向，有的学生用省略号表示无限延长，有的学生能规范地画出射线。展示作品，重在让学生用自己的语言表达对无限延长的理解，进而丰富对无限延长的认识。呈现学生的多元表征后，教师将这些作品放在一起让学生进行比较，说说这些作品的相同点。在学生形成共性化的认识后，教师顺势引出射线的概念，并启发学生思考“用一种规范、简洁的方法来表示射线，你会选哪幅作品”，从而帮助学生在头脑中建构射线的数学模型。认识射线后，教师引导学生将学习活动经验进行迁移，把第二次变化的作品进行调整并将两次变化进行对比，自然引出直线的概念。最后，教师组织学生比较直线、射线与线段的相同点与不同点，在建构知识体系的同时感受到本节课的学习是由有限向无限的拓展。

（二）运用新的眼光，完成知识的再建构

在认识了射线、直线后，我们设计了第二个学习任务“你对角有了哪些新的认识”，引导学生用新的眼光重新审视曾经认识的图形——角，促成知识的再建构。

在汇报对角的新认识时，许多学生都能联想到“角的大小与边的长短无关”这一旧知。因此，我们在学习评价中让学生用本节课所学的知识解释“角的大小与两條边张开的大小有关，与边的长短无关”。通过汇报交流，学生形成共性化的数学认知，在知识再建构的过程中紧密关联射线与角，为之后建立角与直线的联系积累了学习、活动经验。

（三）经历解释思辨的过程，丰富、深化对特征的认识

学生对知识的理解与认识是否清晰，可以通过设计学习评价得到反馈。在设计学习评价时，教师可以创设问题情境让学生运用所学知识进行解释，也可以呈现容易混淆、误判的变式问题让学生进行思辨。大部分学生都能根据问题情境的需要选择最合适的“兵器”——直线，并能清楚地解释选择的原因。通过运用知识解释选择理由的过程，学生进一步感受到线段、射线与直线的不同点，并且对“无限延长”这一特征的理解更加深入。

总之，图形概念的教学应该让学生经历自主表征、观察比较的过程，让学生通过空间想象主动建立知识之间的联系，在头脑中建构清晰的数学模型，凸显图形概念的数学本质。