苏科版初中数学教材中的数学建模内容分析

【摘 要】数学教材上提供的数学建模内容是帮助学生形成模型观念的有效载体。研究者梳理苏科版初中数学教材中的数学建模内容，重点关注教材中方程、不等式、函数等内容，从内容领域分布、章节内容结构、内容呈现方式三个维度研究数学建模内容，并对建模教学提出建议。

【关键词】数学建模;模型观念;建模内容;初中数学

一、问题提出

数学教材上提供的数学建模内容是帮助学生形成模型观念的有效载体。从数学建模内容形式看，初中数学建模所面对的现实问题一般分为三类：现实原型、实际模型、数学形式[1]。现行初中数学教材中提供的实际问题情境大多属于实际模型，是一种标准数学模型的回译。研究初中数学教材中蕴含的数学建模内容是开展数学建模教学研究的基础。下面笔者以江苏凤凰科学技术出版社出版的初中数学教材（以下简称“苏科版初中数学教材”）为例，梳理与数学建模直接相关的章节内容，以期能为初中数学教师开展数学建模教学提供参考。

二、初中数学教材中数学建模内容梳理

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对数学建模的表述为：初步感知数学建模的基本过程，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义[2]。因此，数学建模内容分析应重点关注方程、不等式、函数等内容，兼顾“几何与图形”和“统计与概率”内容。

苏科版初中数学教材（2012年版）共设置32章内容，其中“绪言”（1章）、“数与代数”（15章）、“图形与几何”（11章）、“统计与概率”（5章）、“综合与实践”（未单独设章节，以“数学活动”“课题学习”的内容形式镶嵌于各章节）。下面以苏科版初中数学教师参考用书为主要依据，根据整章的“课标要求”和课时“教学目标”是否涉及“现实情境（现实生活）”“应用”“模型”等关键词对教学内容进行区分，将与数学建模直接相关的章节内容梳理如下（见表1）。

三、初中数学教材中数学建模内容特点

（一）建模内容分布侧重于“数与代数”内容

通过对苏科版初中数学教材中与数学建模直接相关内容的梳理，发现32章教材内容中与数学建模直接相关的内容共14章，占比43.8%。在6册数学教材中分布情况如下：七年级上册3章、七年级下册2章、八年级上册2章、八年级下册2章、九年级上册1章、九年级下册4章。从数学建模内容在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个板块的分布看，“数与代数”中有9章，“图形与几何”中有3章，“统计与概率”中有2章。整体来看，苏科版初中数学教材更侧重于将数学建模内容融入“数与代数”，以代数式、方程、不等式和函数等具体内容为载体，使学生感受代数式、方程、不等式和函数都是刻画现实世界数量关系的有效模型。

（二）章节内容结构呈现“外—内—外”特征

苏科版初中數学教材中与数学建模内容直接相关的章节在结构布局上有以下特点。“数与代数”的内容结构一般为：概念—性质—解法—应用（现实世界、数学世界）。以八年级上册第6章“一次函数”为例[5]144，“6.1 函数”“6.2 一次函数”是从丰富多彩的现实情境入手，通过填表、列式等方式，引导学生了解常量、变量的意义和变量之间关系的共同特征，从中认识和理解函数的意义，从而研究具体问题中的数量关系和变化规律。在了解变量意义的基础上运用数学语言抽象出函数的概念，再指向特定的实际情境，帮助学生理解函数的概念，进一步揭示实际情境中蕴含的变化规律和对应关系，用数学符号归纳和抽象出一次函数模型。“6.3 一次函数的图像”是从“形”的角度研究“数”，进而研究数量和图形之间的内在联系，揭示一次函数的性质。“6.4 用一次函数解决问题”是用一次函数知识和思想方法解决生产、生活中的实际问题，引导学生经历将实际问题数学化的过程，建立一次函数模型并求解实际问题，培养学生的模型观念，发展符号意识和应用意识。“6.5 一次函数与二元一次方程”“6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式”是进一步研究一次函数的应用，教材内容设置以数学内部应用为主，兼顾数学外部实际问题的应用，注重数形结合思想和模型思想的渗透。

从数学建模过程的视角看，“6.1 函数”“6.2

一次函数”属于对实际问题的横向数学化，是从实际问题中抽象出数学模型;“6.3 一次函数的图像”“6.5 一次函数与二元一次方程”“6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式”属于对数学模型的纵向数学化，是从数学内部研究一次函数模型的性质或解法;“6.4 用一次函数解决问题”属于解决实际问题范畴，是从实际问题中抽象出数学问题，建立一次函数模型（或方程模型、不等式模型）并根据图像和性质求解的过程。从数学建模循环模型看，整个章节按照“外—内—外”的内容结构布局。

（三）建模内容呈现方式符合学生认知水平

苏科版初中数学教材中数学建模内容一般集中出现于数学概念引入和数学外部应用两个板块，问题情境的表述大多以“成品”问题的样态呈现（一般称其为“应用题”），表现出问题情境简单、结构良好、条件不多不少、数学模型清晰、易于求解、结论封闭等特点。以九年级上册第1章“一元二次方程”为例，全章共出现44个实际问题情境，具体分布如下：“章引言”有1个、“1.1 一元二次方程”有9个、“1.4 用一元二次方程解决问题”有24个，“复习题”有10个。从问题情境的功能看，用于引出数学概念的问题情境有4个，用于例题教学的问题情境有6个（其中有1个为数学情境），用于巩固的练习和习题的问题情境有24个。全章共出现以现实生活为背景、指向实际问题解决的问题情境有34个，所有的问题情境都属于“成品”型问题样态。

四、研究结论

（一）优化问题情境设计，凸显数学建模属性

数学建模内容在苏科版初中数学教材中各册各章节分布合理，有利于集中进行模型思想的渗透，培养学生的模型观念和应用意识。但从问题情境呈现的内容及方式看，问题情境的类型基本都是成品型问题，少有原坯型问题或半成品型问题。从驱使学生经历完整数学建模过程和培养数学建模能力看，成品型问题情境的功能有所欠缺。另外，教材中虽然设置了“数学活动”和“课题学习”等综合实践活动，但多数“数学活动”和“课题学习”指向数学内部问题的解决，属于竖直数学化范畴，缺乏横向数学化的要求，整体的数学建模属性较弱，在培养学生数学建模能力方面功能欠佳。因此，笔者建议优化问题情境，将成品型问题情境进行适度的现实性回译，弱化数学化特征，尽可能贴近真实的现实情境，使学生增强问题意识和模型观念，从而培养学生的数学建模能力。在教学中，教师应指导学生观察现实世界，从现实生活中提出有价值的实际问题，在讨论和交流中确立选题，以小组合作的形式开展主题综合实践活动。

（二）联系现实生活情境，发掘图形应用价值

从数学建模内容在初中数学教材四个内容的分布看，各内容的分布不均，“数与代数”内容占比较大，而“图形与几何”“统计与概率”内容分布较少。在“图形与几何”内容仅有“勾股定理”“相似三角形”“锐角三角函数”三个章节涉及显性的数学建模内容，而“轴对称图形”“中心对称图形”“对称图形（圆）”等章节缺少数学建模内容。因此，在教学时，笔者建议教师从丰富的现实生活中选择建模素材，发掘以“图形应用”为主题的建模教学内容，以图形类实际问题解决为主线，开展数学建模教学，增强学生应用图形解决实际问题的意识和能力。

（三）重视数据分析应用，明确统计模型特征

“统计与概率”内容的问题情境几乎都源于现实生活，却很少提及“应用”或“模型”。以九年级上册第3章“数据的集中趋势和离散程度”和第4章“等可能条件下的概率”为例，整章内容涉及的问题背景全部来自现实世界，属于实际问题解决范畴，但教材和教师参考用书中都没提到“应用”“模型”等词语，在一定程度上削弱了实际问题在培养学生数学建模能力的功能。事实上，运用数学知识或构建新的数学知识解决实际问题的过程就是数学建模，既然整章内容都是围绕实际问题展开的，建构数学模型是必然的，也是非常重要的。因此，筆者建议在“统计与概率”内容的教学中，教师适当增加“应用”“模型”等词语的使用量，更好地发掘教材的教育教学功能。

五、结语

梳理苏科版初中数学教材中蕴含的数学建模内容及特点，有利于教师把握建模教学的整体性、阶段性和系统性，将培养初中生数学建模能力落到实处。教材是学术形态的呈现，而教师要做的是教育形态的落实。这就要求教师在理解教材的基础上，明确数学育人的目标，发掘教材的教学价值，将学生数学关键能力的培养目标落地。

参考文献：

[1]孙凯.从问题类属谈初中生数学建模能力培养[J].数学通报，2020（12）：30-33.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[3]杨裕前，董林伟.数学教师教学用书 七年级 上册[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2012.

[4]杨裕前，董林伟.数学教师教学用书 七年级 下册[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2012.

[5]杨裕前，董林伟.数学教师教学用书 八年级 上册[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2012.

[6]杨裕前，董林伟.数学教师教学用书 八年级 下册[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2012.

[7]杨裕前，董林伟.数学教师教学用书 九年级 上册[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2012.

[8]杨裕前，董林伟.数学教师教学用书 九年级 下册[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2012.

（责任编辑：陆顺演）