立足数学课堂，培养思维品质

曹勇

[摘  要] 著名的教育家裴斯泰洛齐提出，积累知识并非教育最重要的任务，教育最重要的任务是发展学生的思维. 在新课改推行的当下，教师都认识到思维训练对学生的终身可持续性发展具有举足轻重的影响. 文章认为培养学生数学思维品质的措施有：“一题多解”激发学生思维的广阔性;“分类讨论”培养学生思维的缜密性;“陷阱设置”促进学生思维的深刻性;“正误辨析”培养学生思维的批判性.

[关键词] 思维;思维品质;课堂

数学思维是指人们对数学现象理性认识的过程，思维能力的高低对课堂教学效率有着直接的影响. 培养学生的数学思维能力要从思维品质的培养上着手，只有形成良好的思维品质，才能从真正意义上实现思维能力的提升. 笔者在近些年对如何在课堂中培养学生的数学思维及品质进行了大量的实践与研究，并获得一定的成效.

“一题多解”激发学生思维的广阔性

数学思维的广阔性是指学习者能从数学事物的不同层面与视角去观察与分析问题，用多种办法找出事物间的内在联系，避免因思维的片面性与局限性而导致解题障碍. 初中数学与小学相比，更具逻辑性与抽象性，有些学生遇到问题觉得答案呼之欲出，却又无从下手. 因此，课堂中教师可通过变式训练、多题一解与一题多解等方式激发学生思维的广阔性，让学生充分感知数学领域中“条条道路通罗马”的神奇魅力，在有效提高学生思维品质的同时提升其数学核心素养.

例1 如图1所示，已知∠A，∠B，∠C分别为70°，40°，35°，求∠BDC的度数.

本题题干简洁，条件与结论一目了然，学生读题审题毫无障碍. 但看似简单的一道题，却有多种解题方法，为了拓宽学生的解题思路，让学生在解题过程中形成良好的思维品质，笔者与学生一起将几种解题方法罗列出来：

解法1 如图1所示，延长BD，与AC相交于点E，根据三角形内角和定理可知待求的∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C=145°.

解法2 仿照解法1，将CD延长，与BA相交，用相同的方法可求得∠BDC=145°.

解法3 如图2所示，过点D作EF∥AC. ∠BDC=∠FDB+∠CDF=∠DEB+∠B+∠C=∠A+∠B+∠C=145°.

解法4 仿照解法3，过点D作EF∥AB，同理可知∠BDC=145°.

解法5 如图3所示，连接BC. ∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC=180°-（180°-∠ABD-∠ACD-∠A）=∠ABD+∠ACD+∠A=145°.

除了以上5种解题方法之外，学生还提出过点B作CD的平行线与AC的延长线相交于点E等方法. 总之，一道简单的题却有如此多的解决方法是學生开始没有想到的，学生在惊叹数学解题方法的灵活多样性的同时也开阔了视野，启发了思维，为形成广阔性的数学思维品质奠定了基础.

苏轼有句经典名诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”不仅给人们呈现出不同视角下山的特色，还形象地展示了从不同视角看待数学问题的“一题多解”的核心思想. 随着思考问题角度的扩大，学生逐渐学会将所学知识融会贯通到一起，在灵活运用中提高自身解题能力与思维品质.

思维的缜密性主要表现在学生分析与解决问题时考虑问题的周全程度，数学本就是一门严谨、周密的学科，对学生思维缜密性的要求比较高. 教学中，教师常发现有些学生在分析问题时，常常是顾此失彼、漏洞百出，解题思路模糊，有不少学生用“粗心”来给自己找个台阶下. 实践证明，学生出现这种问题的根源就在于没有准确地理解数学概念，无法精准地捕捉到题干中的一些隐含条件，缺乏合理分类讨论的能力等.

为此，笔者在教学中着重关注分类讨论思想的培养与应用，以帮助学生提升思维的严谨性，为学生良好思维品质的形成与核心素养的提升奠定基础.

例2 已知△ABC是一个等腰三角形，且∠A=50°，求∠C的度数.

这是一道比较简单的题目，大部分学生很快就给出∠C为80°或65°.

学生获得这两个结论的理由是从两种情况进行分析而来：①∠A是等腰三角形的顶角，剩下的两个角分别为（180°-50°）÷2=65°;②∠A为等腰三角形的一个底角，∠C为180°-50°×2=80°.

乍一看，学生的解题思路没有问题，考虑到∠A为顶角与底角两种情况. 但细细琢磨就会发现学生在将∠A视为底角时，将∠B确定为底角，认为∠C为顶角，但是题中并没有确切说明这种情况，那么∠C还存在为另一个底角的可能. 因此，还有一种可能就是∠C=50°，这种情况被很多学生忽略了.

此解题漏洞的产生，体现了学生思维缺乏缜密性. 因此，遇到分类讨论时，学生不仅要知道正确的分类标准，还要考虑周全，将每一种可能都考虑到，并逐一讨论，才能避免思维漏洞的产生.

事实证明，培养学生思维缜密性的核心除了关注分类讨论以外，还要注重以下几点：①完善知识体系，加强基础知识的学习，如学生解决轨迹问题、反证法问题与充要条件等问题，均需建立在扎实的基础知识上进行;②结合教材，强化训练. 尤其要加强易错题、反例等的训练，以深化学生对数学概念内涵和外延的理解程度，避免出现以偏概全的现象;③加强师生之间的互动与交流，及时归因，在错解中吸取教训，完善思维.

“陷阱设置”促进学生思维的深刻性

思维的深刻性主要表现在学习者能一眼就看到问题的本质，而不被事物的表面假象所迷惑，它体现了学生思维的逻辑水平与抽象程度. 但每个学生受认知水平的影响，思维会表现出深浅不一的现象，教师该如何在这种差异性中提升每个学生的思维品质呢？事实说明，将问题系列化或在恰当的时候设置一些陷阱，能有效地激起学生的探究欲，让学生形成深刻性思维.

例3 已知关于x的方程=3-有一个正数解，则b的取值范围是多少？

大部分学生审题结束即提笔去分母，一个个都表现出胸有成竹的样子. 解题过程为：

去分母后可得x=3（x-4）+b，计算得x=6-，根据题干条件x为正整数，所以6->0，解得b<12.

此解题过程，乍眼一看毫无毛病，可以说是无懈可击. 再细细读题，会发现本题所呈现的方程竟然存在着隐含条件，本方程为分式方程，就要注意分母不能为零. 但学生在解题时，完全沉浸在自我良好感觉中，并没有注意到这个重要的隐含条件，这也是学生思维不够深刻的典型表现. 教师通过陷阱的设置，让学生在“吃一堑，长一智”中不断总结经验，从而获得思维的成长.

“正误辨析”培养学生思维的批判性

批判性思维是指对自己或他人的做法或观点通过分析、质疑、比较，达到对问题本质更为全面认识的一种思维模式. 缺乏这种思维能力的人往往会被事物的表象所干扰，出现错误的判断. 想要形成这种思维品质，首先要学会提问，在一个个“为什么”中获得辨别是非的能力.

例4 已知△DEF三个角相对的边分别为d，e，f，求证：d=.

不少学生受思维定式的影响，看到本题就选择用去分母的方式将整式变形，耗费了不少的时间后，发现问题越算越复杂，这种方法根本就没办法解决问题. 为了培养学生的批判性思维，笔者引导学生回过头来从题干条件开始静心分析，提示学生尝试用从结论倒推条件的方向来思考.

有学生提出：假设△DEF是一个等边三角形，我们就可以将三条边相等的条件代入到待求证的式子中进行反推. 经尝试，学生很快发现待求证的关系竟然不存在，由此也可说明题目本身就不成立.

此过程，学生在自主探究中进行正误辨析，很快就发现了问题的症结所在，为培养学生的批判性思维奠定了坚实的基础.

总之，数学思维品质远远不止上述四种，各种思维品质相辅相成、互相补充与促进. 课堂中，教师应有意识地通过各种教学手段的使用，训练学生的思维品质，让学生逐渐形成广阔、缜密、深刻且具有批判性的数学思维. 当然，思维品质的形成需经历一个漫长的过程，这就需要教育者有充足的耐心与信心，在润物细无声中逐渐渗透，当量变到一定程度必然会产生质的飞跃.