想象与推理并重 几何与代数齐飞

赵小强　张海营

要：对2022年10份高考数学试卷中的立体几何试题进行系统整理与分析，从试题考点、解题方法的角度进行梳理与总结，通过分析学生解题中出现的困惑与常见错误，在研究高考立体几何试题的命题规律与方向的基础上，为新一轮高三数学复习备考提出建议.

关键词：2022年高考;立体几何;解题分析

立体几何研究的是现实世界中物体的形状、大小与位置关系，是高中数学知识的重要组成部分，也是培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的重要载体.2022年的高考数学试卷共有10份：全国甲卷（文、理 科）、全国乙卷 （文、理科）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、北京卷、浙江卷、天津卷、上海卷. 10份试卷涉及的立体几何试题，全面考查了对空间中的平行关系和垂直关系的判断、推理和证明. 同时，空间角、距离、表面积和体积等基本量的计算仍然是考查的重点. 试题以考查立体几何的基础知识、基本方法、基本技能和基本活动经验为主线，结合生活实际，突出考查学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算等素养. 下面主要围绕全国甲卷 （文、理 科）、全国乙卷 （文、理科）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷，并兼顾地方卷，进行立体几何高考试题的解题分析.

一、试题特点分析

2022年的10份高考数学试卷中，考查立体几何的试题共有26道 （文、理科相同试题不累计），它们分布在试卷的第4题到第20题. 其中，16道选择题或填空题中有2道题涉及三视图，3道题涉及空间角，3道题涉及有关球的问题，5道题涉及体积、表面积，2道题涉及空间直线异面、平行和垂直关系的判定，还有1 道题与其他知识进行融合;解答题在每道小题的设置上力求证明与求解并重，全方位考查学生的逻辑推理和数学运算等素养. 与2021年相比，2022年高考全国乙卷和全国新高考Ⅱ卷立体几何试题在题量上仍保持两道客观题和一道解答题，共计22分;全国甲卷和全国新高考Ⅰ卷立体几何试题在题量上由两道客观题和一道解答题变为三道客观题和一道解答题，共计27分;全国新高考Ⅰ卷和全国新高考Ⅱ卷延续了2021年立体几何多选题的设置;全国甲卷和全国乙卷的立體几何客观题在考查内容和表述方式上文、理科完全相同;全国乙卷文、理科对应的解答题背景及第（1）小题完全一致，第（2）小题则因文、理科的要求不同而出现不同的设问，但是全国甲卷文、理科的立体几何解答题采取了完全不同的背景材料. 整体来看，全国甲卷、全国乙卷、全国新高考Ⅰ卷和全国新高考Ⅱ卷在立体几何知识的考查上基本保持稳定，题型搭配协调合理.地方卷与全国卷情形大致相同.

1. 试题分布合理，难度稳中有升

2022年的高考立体几何试题，在考查立体几何主干知识的基础上，题型、题量、分值、难度分布合理，总体题量略有增加. 全国新高考Ⅱ卷的解答题由第19题移到第20题的位置，全国乙卷（文、理科）解答题虽然都在第 18 题的位置，但是推理中蕴含着运算，难度增大. 14道选择题或填空题 （文、理科相同试题不累计） 中有8道题涉及体积或面积的计算，对数学运算和逻辑推理素养的考查表现得尤为突出，学生达成度与近几年相比有所下降.

2. 考查重点突出，载体形式更加多样化

2022年高考立体几何试题考查的知识点覆盖了基本立体图形，三视图与直观图，表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系 （平行、垂直、角度和距离），以及利用空间向量解决立体几何问题等，覆盖面广. 考查重点突出，集中在空间角与距离的求法、几何体面积与体积的计算等主干知识上. 多以棱柱和棱锥为载体，但是与往年相比，载体形式更加多样化. 例如，全国甲卷文科第19题和全国新高考Ⅱ卷 第11题均以切割柱体和锥体后的多面体为载体，浙江卷第 19 题以“楔形体”为载体，表现出更大的灵活性，体现了高考命题由“有纲”到“无纲”的过渡，反映了高考命题向“题海战术”宣战的决心.

3. 结合生活实际，更多回归数学情境

全国甲卷以学生在参加综合实践活动中制作手工模型为试题情境，全国新高考Ⅰ卷以南水北调工程中水库蓄水水位变化为试题情境，天津卷以古代中国建筑屋顶样式之一的“十字歇山顶”为试题情境，使学生感受到数学与生活密不可分，让学生在潜移默化中体会到数学知识是有用的，考查学生的阅读理解能力，以及直观想象和数学建模素养. 与往年相比，2022年高考立体几何试题更多回归数学情境，在对学生数学抽象、数学运算和逻辑推理素养的考查上更加浓墨重彩，指向数学本质.

二、题例解法分析

1. 三视图，依据数量和位置关系，以及基本几何体结构特征还原出直观图

例1 （全国甲卷·文 / 理4）如图1，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）.

目标解析：该题重点考查学生的空间想象能力，对发展学生的空间观念、提升学生的直观想象和数学运算素养有针对性地推动作用.

解法分析：能从三视图中发现几何体各元素之间的位置关系和数量关系，构建出空间直观图是该题解题的关键. 根据正视图为直角梯形，且上下边长之比为1∶2，左视图为正方形，俯视图为两个相同的正方形，且边长均为 2，可以推断该几何体为放平的直四棱柱，且上下底面为直角梯形. 由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.

试题分析：用三视图呈现空间几何体的结构特征和度量关系，打破了以往直接给出空间几何体的直观图和相关数据进行计算的传统模式，化立体为平面，加大了几何体的空间想象难度，对学生的空间想象、模型构建和运算求解等能力提出了较高要求.

类题赏析：分析近几年的高考数学试题，源于教材的问题很多. 例如，2018 年全国Ⅰ卷理科第 7 题 （文科第9题）利用空间几何体的三视图考查表面最短路径问题;2018年全国Ⅲ卷文 （理） 科第3题通过展示中国古代建筑中的榫卯结构考查空间几何体的三视图问题;2021年全国乙卷文（理）科第16题通过空间几何体的结构特征考查三视图的画法，体现了数学应用的模型思想;2022年浙江卷第5题通过分析组合体的三视图求几何体的体积.

在复习过程中，要注意以下几点：（1） 明确三视图的形成原理，熟悉柱、锥、台、球的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图. （2） 注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，看得到的部分用实线表示，遮挡部分用虚线表示. （3） 遇到由几何体的部分画出剩余部分的三视图问题，可以先根据已知部分的三视图，推测直观图的可能结构，然后再找其剩下部分三视图的可能结构. 作为选择题，也可以逐项代入检验. （4） 運用转化与化归思想把所求几何体放在长方体（或正方体）中思考.

2. 体积与表面积，基础扎实，灵活转化

三、优秀试题分析

四、复习备考建议

综观2022年高考立体几何试题，主要考查空间位置关系的论证和空间度量关系的计算，解决的办法主要有综合法、构造法、向量法和转化法等，对学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算等素养提出了较高的要求. 因此，立体几何解题能力的提升要在学生完全掌握基础知识的情况下，从点、直线、平面最基本的性质入手，构建几何图形，寻找图形特征.

通过对以上典型试题的分析，建议在复习备考中：一要重视引导学生用好教材. 教材是落实 《标 准》、发展学生数学核心素养的重要教学资源，也是历年高考命题的重要素材，通过对教材中的知识体系进行系统梳理，依托学生熟悉的几何体，掌握线线、线 面、面面之间的相互转化，准确把握立体几何的本质，形成基本的直观想象素养;二要重视引导学生进行“有图想图”与“无图想图”等思维过程，逐步提高他们的空间想象能力，建构起立体的空间概念;三要重视引导学生规范作图，逐步弄清楚柱体、锥体和球体等基本图形的几何特征，进而能够识别由基本图形组合或分拆后形成的新图形，强化其推理与计算相结合的意识;最后，要重视引导学生规范书写表达，在逻辑证明过程中注重规范严谨、思维连贯，要做到有果必有因，切忌无中生结论，凭空添题设，不断提高学生的逻辑思维能力，提高解题效率.

五、典型模拟题

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准 （2017年版2020年修订）[M]. 北 京：人民教育出版社，2020.

[2] 庄后伟，朱慧. 2020年高考“立体几何”专题解题分析[J]. 中国数学教育 （高中版），2020（10）：48-55，64.

[3] 黄仙萍，洪武定. 2021年高考“立体几何”专题解题分析[J]. 中国数学教育 （高中版），2021（9）：2-9.