重视逻辑推理 关注全局变化

陆萍　王剑

摘 要：通过对2022年高考三角函数与解三角形有关试题的归类解析，对比近几年高考中本专题考查的几个侧重点，分析考查的变化. 在此基础上总结解决三角函数问题的一般思想方法，并给出三角函数与解三角形的教学建议与高考复习备考建议.

关键词：2022年高考;三角函数;解三角形;试题分析;解法分析;备考建议

根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》），三角函数作为函数主线中的重要组成部分，成为高中数学教学的主要内容，也是历年高考的热点之一. 一方面，作为研究周期性现象的重要数学模型，三角函数是函数主线不可或缺的内容，在现行各版本高中数学教材中，三角函数知识基本上由三部分构成，即“三角函数”“三角恒等变换” “解三角形”. 其主要内容有：任意角三角函数的定义、同角三角函数的关系式、诱导公式、三角函数的图象与性質、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等. 另一方面，三角函数部分的教学在提升学生逻辑推理、直观想象和数学运算等素养方面起到了较大的作用. 在 2022 年的高考数学试题中，既有对三角函数基础知识和基本方法的考查，也出现了体现知识的综合性和三角函数的工具性等有一定难度的试题，对学生的基本运算能力和知识综合应用能力有一定的要求.

下面通过对2022年部分高考试题的解答与分析，归纳三角函数与解三角形的知识和方法，总结出一般的解题方法和解题规律，并对高考复习备考提出合理建议.

一、试题特点分析

2022年高考数学试卷中，对三角函数与解三角形考查最多的是浙江卷，分值将近30分;考查最少的是全国甲卷（文、理科），只考查了两道客观题，分值为10分;其余试卷基本以一道客观题和一道主观题的形式考查. 整体来看，与前几年的高考考查情况基本持平，难度稳中有升. 从命题风格上看，与过去一致，三角函数与解三角形试题未出现创新形式的命题，结构不良试题未在此内容中进行考查. 从内容上看，有以下两个层次的分析.

1. 从考查题型分析，分为客观题和主观题

客观题以三角函数的图象与性质和三角恒等变换为主，囊括了对方程思想、函数思想、化归思想和数形结合思想的考查，灵活多变，对学生的基础知识和基本运算能力要求较高. 除常规的三角函数性质考查外，以函数观点解读三角函数的性质解决三角函数有关问题成为命题的新趋势，所占比重越来越大，这符合 《标准》 中对“函数”部分的要求：选取“函数”为核心，将整个领域的知识组织成以“函数”为核心的辐射状的网络体系，并以“函数”的某些子概念与其他领域知识的联系为载体，发展不同领域间的联系.

解答题常以三角形为命题背景，以正弦定理和余弦定理为工具，结合适当的三角恒等变形解决三角形的边角关系，难度不大，属于基础题. 除全国新高考Ⅰ卷要求较高外，其他均属于容易题. 全国新高考Ⅰ卷第18题综合考查了三角恒等变换、正弦定理，以及运用方程思想和函数思想解决问题，除对基础公式的考查外，对逻辑推理和数学运算等素养有较高要求.

2. 从考查方式分析，可分为显性考查和隐性考查

三角函数的图象与性质、图象变换、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理都是显性考查的主要对象，命题形式也是历年高考三角函数部分的常规形式;隐性考查包括用作为数学工具的三角函数来解决平面向量、立体几何、解析几何和函数等问题，以及在这些章节内容中出现的与三角函数相关的且可结合三角函数知识来解决的内容. 运用三角函数知识解决有关问题，着重考查了数学建模、数学运算和逻辑推理等素养，对学生的综合能力要求较高.

二、优秀试题分析

通过分析近年来高考数学中三角函数与解三角形的试题，可以看到该部分试题对学生素养的考查比较全面，关注对数学基本技能和基本思想方法的考查，关注对数学问题解决的通性、通法的考查，重视逻辑推理，关注全局变化. 具体表现为：关注数形结合和整体代换，关注“角”“名”“次”恒等变换，关注公式、方程、函数之间的转换，关注三角综合性问题的全局分析，关注多角度运用三角函数解题，等等.

三、复习备考建议

1. 夯实基础，搭建牢固的知识体系

三角函数与解三角形有三部分基本内容. 一是任意角三角函数的定义和三角函数的图象与性质. 在学习这部分内容时，教师应该帮助学生将单位圆和三角函数图象结合起来全面理解三角函数，建构研究三角函数问题的思路，有效提升学生的直观想象素养. 二是三角恒等变换，公式多，从和 （差） 角公式和倍角公式的推导过程可以发现，这些公式之间存在紧密的逻辑关系，且推导过程中蕴含丰富的思想方法. 这部分内容对学生逻辑推理素养的提升起到了重要的作用. 三是解三角形，需要学生具备直观想象和数学建模素养. 以上所述三部分内容相互关联. 除了知识内容的联系外，教师还应该帮助学生建立研究三角函数与解三角形的逻辑体系. 教师不但要清晰地知道研究内容，更要知道研究方法，掌握研究脉络，这样才能有效培养学生研究问题的能力.

2. 加强联系，形成解题的基本策略

联系既有学习内容上的联系，也有解题分析时的联系. 从内容上联系，即三角函数与解三角形内部知识的联系. 例如，在解三角形中研究角时需要具备三角恒等变换知识，研究三角函数性质时需要联系导数知识研究函数局部性质. 解题能力是逻辑推理和数学运算等素养的综合体现，不能一蹴而就，而要在平时一步步形成. 在三角恒等变换时，观察角、函数名、次数，联系条件与解题目标;在研究三角函数性质时，运用整体代换思想删繁就简，将复杂式子的研究化归到研究较为简单的 y = sin x ， y = cos x ， y = tan x的图象与性质. 这些都是对学生解题综合能力的考查，也是对学生全面掌握数学知识、应用数学思想的考查. 复习时，教师应该多讲联系 （知识的联系和方法的联系），从而帮助学生形成对三角函数与解三角形内容的全面认识.

3. 回歸教材，寻找试题的命制原型

《普通高中数学课程标准 （2017年版）》解读中提到：数学本质不在于它的结论，而在于它的思想. 在学习三角函数与解三角形知识时，学生会认为这部分内容公式多，难记忆;方向多，难化简. 这就需要教师在教学中用数学的思维方法和推理方法帮助学生学习，让学生在掌握“四基”的基础上提升“四能”. 例 如，在教学“诱导公式”的内容时，借助单位圆，抓住两角终边的对称关系和任意角三角函数的定义，既能让学生掌握具有特殊关系的两个角的三角函数特征，即诱导公式的内容，也能获得研究特殊几何位置关系的方法. 在研究解三角形的两个基本工具——正弦定理和余弦定理时，平面向量的工具性优势更能体现，人教A版新教材直接将这部分内容作为平面向量的应用部分的内容. 这些是教材上的知识讲解素材，利用好这些素材，可以有效提升学生的数学核心素养. 如果在平时的教学中注意挖掘教材中的素材，就可以对三角函数与解三角形内容在高中数学教学中的地位有整体的认识. 教材上的习题也是可以挖掘的素材. 例如，2022年全国新高考Ⅰ卷第18题虽然难度较大，但是在各版本教材中都可以获得原型. 可见，体现重要知识、重要方法和关键思想方法的试题在教材中都有所体现. 教师要带领学生厘清、想透这样的题目. 在新授课教学时，就应用好教材及其习题，打好基础;在高考第一轮复习时，还应该不脱离教材，再次将教材中的优秀素材融入复习环节，如必要的定理推导要重新回顾，好的习题要进行变形、联系形成问题链，使学生获得新的收获.

在高考复习教学中，教师要有大局观和全局观，不脱离教材，取之用之，着重提升学生研究数学问题的能力，从而更好地帮助学生学习数学，提升学生的数学核心素养.

四、典型模拟题1. （多选题） 图 1 是函数 f （x） = sin（ ） ωx + φ （ω > 0）的部分图象，则下列说法正确的有（ ）

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准 （2017年版2020年修订）[M]. 北 京：人民教育出版社，2020.

[2] 教育部基础教育课程教材专家工作委员会. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3]闫旭，王恩波. 2021年高考“三角函数”专题解题分析[J]. 中国数学教育 （高中版），2021（7 / 8）：39-44.

[4] 刘莉. 2021年高考“三角函数”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2021（7 / 8）：34-38，50