除法计算教学的五个整体视角

王小明 樊春晖

王小明，中学高级教师，湖北省特级教师，湖北省优秀小学数学教师;是全国小学数学专业委员会优秀工作者，湖北省教育学会小学数学专业委员会第九届理事会理事;曾荣获全国第二届小学数学录像课评比一等奖，多次获省级、市级课堂教学评比一等奖。近期，王小明数学名师工作室致力于整体建构下的小学数学计算教学研究，破解了诸多教学难点。

除法是小学数学中比较复杂的计算，人们常常将它分解成一些简单的计算来获得结果。除法竖式既要记录计算的中间结果，又要记录计算的最终结果，因为它的复杂性，学生对于除法碎片化的认识普遍存在。如何让零散的内容形成结构化的知识体系，以整体、系统、关联的思想统领除法计算教学呢？笔者基于实践提出了除法计算教学的五个整体视角。

一、整体视角找本源，认识生长在减法上的除法

除法源于分、源于减法，因为分掉的每一份同样多，所以出现了平均分，平均分可以用除法来表示。教师要让学生在具体情境中体会从减法竖式到除法竖式的变化过程，感悟运算之间的关联。

例如，教学《有余数的除法（除法竖式）》时，教师出示例题：13根小棒，每4根分一组，能够分（  ）组，还剩（  ）根。学生通过读一读、分一分、圈一圈，发现有剩余。教师让学生尝试用算式表示分小棒的过程。部分学生认为，分了以后有剩余不是平均分，不能用除法算式表达;部分学生认为，每4根分一组是平均分，却不知道如何用除法算式表达，就自然出现了“13-4-4-4=1（根）”的表达，得出“能够分3组，还剩1根”。教师借助这个减法算式引出有余数的除法算式，再用“减法竖式”对比除法竖式（如下图），让学生体会除法竖式的简洁与方便。

当学生发现不能用乘法口诀直接得到除法的结果时，自然想到用减法推算答案。教师抓住这一点教学，有助于学生明白除法源于减法，是一种更简便的表达。

二、整体视角抓本质，经历均分计数单位的过程

数学新课标将“数的认识”和“数的运算”整合为“数与运算”，本质上是要体现基于计数单位的数的概念与运算的一致性。数由计数单位累加而来，除法在本质上可以理解为一次次均分这些计数单位。因此，除法计算教学要让学生经历均分计数单位的过程，感悟计数单位在运算中的作用。

例如，教学《一位数除三位数（商两位数）》时，教师引导学生尝试书写“256÷6”的除法竖式，部分学生能完成，部分学生计算错误，还有学生停笔不动。停笔不动的学生提出疑问：2个百除以6，除不了，怎么办？教师将256根小棒放在展台上，引导学生讨论这个问题。学生提出：“将两大捆拆成20小捆就可以分了。拆开后，2个百变成了20个十，20个十和5个十合起来是25个十，25个十就可以分了。分不完的小捆还可以拆成一根一根的，直到分到不能分为止。”除法的本质是均分计数单位，当最高位不够均分时，可以“拆开”继续分。拆分小棒的过程给学生提供了除法计算的直观表象。

商的书写位置是学生的易错点，教师在此环节引导学生讨论：25个十除以6，商4，商为什么要写在十位上？一名学生回答：25个十平均分成6份，每份有4个十，所以要写在十位上。另一名学生联系问题背景补充道：256张照片，每页插满6张，可以插满40页，把4写在十位上才能表示40页。教师总结：除到十位，商就写在十位上，这样才能表示分了多少个十。根据计数单位确定商的书写位置，建立计数单位与数位的内在关联，能让学生在理解算理的基础上掌握算法。

三、整体视角看计算，感悟口算与笔算的一致性

除法口算和除法笔算具有一致的算理，都是将被除数分解成以不同计数单位为单位的若干部分后再均分，只是笔算要将均分的过程竖着分层记录下来，以便于用减法计算每次均分后剩下的结果。抓住本質沟通口算与笔算，可以将口算算理迁移到笔算中，帮助学生理解除法竖式的结构。

如教学《一位数除两位数（商两位数）》的例1（三年级有2个班，要植树42棵，平均每个班植树多少棵？）时，教师先引导学生口算，让学生把口算过程写下来，并说说怎样算的。学生回答：先用40除以2得到20，再用2除以2得到1，最后用20加1得到21。接着，教师追问：先分的是什么，再分的是什么？分了几次？最后怎么算的？学生明确：先分的是4个十，再分的是2个一，分了两次，先分后合。然后教师用小棒演示分与合的过程。最后，教师让学生尝试用除法竖式把两次分的过程记录下来。这样教学，学生明确了除法竖式是两次均分不同计数单位的口算过程的综合，只是把过程竖着分步记录下来，从本质上理解了竖式结构，感悟到口算与笔算的一致性。

四、整体视角观竖式，完整建构除法竖式的结构

教学过程中，笔者发现部分学生会分小棒，也会说分的过程，但不会独立书写完整的竖式。究其原因，是不理解除法竖式结构，没有建立起每一次均分的意义与每一步计算之间的关联。从整体上把握除法竖式的结构，有利于学生明晰计算的道理和程序，形成严谨的思维品质。

如教学《一位数除三位数（商两位数）》时，学生探究出完整的竖式（“256÷6”的竖式）后，教师引导学生观察竖式并思考：一共分了几次？每次是怎样分的？每次分完后还剩多少？分别是用什么方法计算的？学生发现：分了两次，第一次分的是25个十，用4乘6得到要分掉的24个十，剩下1个十;第二次将剩下的1个十拆开，转化为10个1，10个1与6个一合起来是16个一，用2乘6得到要分掉的12个一，就剩下4个一。这样教学，学生既理解了除法竖式的每一步都对应平均分计数单位个数的过程，整体构建了除法竖式的结构，又培养了抽象概括能力。

五、整体视角理法则，统整计算方法背后的道理

计算方法的总结是一个难点，学生往往不知道从什么角度进行归纳。教师可以引导学生从加法、减法、乘法三种竖式运算中，迁移“从哪里算起、相同数位对齐”等要点，明确其在除法计算中是怎样体现的，更重要的是，教师要引导学生思考除法竖式的步骤和方法，是怎样从均分计数单位的过程中抽象出来的。

如教学《一位数除三位数（商两位数）》时，学生已经掌握了除数是一位数除法的计算方法，教师引导学生总结计算方法，学生回答“先试除被除数的首位，被除数的首位比除数小，就试除被除数的前两位”。教师引导：被除数的首位比除数小，为什么要看前两位？有的学生说：“被除数的首位比除数小说明不够商1，就要拆开‘一大捆，然后和后一位上的数一起分，也就是看前两位才能知道一共有多少个十。”还有的学生结合竖式说明理由：“除到百位，表示平均分若干个百，商写在百位上才表示分到了几个百;除到十位，表示平均分若干个十，商写在十位上才表示分到了几个十。商的数位和被除数的数位要对齐。”教师总结：对于四则运算，我们都要考虑从哪算起，但除法与其他三种运算不同，要从高位算起;列竖式计算除法时，商的数位要和被除数的数位对齐;因为相同的计数单位要对齐，所以试商时，除到哪一位，就要把商写在那一位上面;每次余下的数必须比除数小。将计算方法统整到计数单位之下，能使学生深入理解四则运算，并将方法迁移到除数是两位数的除法计算中。

（作者单位：咸宁市实验小学）