O2O教学背景下基于HPM的数学教学浅探

赵嘉璐 马瑞华

摘  要：文章以高等数学课程内容为例结合O2O教学背景，从数学学科历史发展性、内容抽象性以及教学对象情志方面着手分析HPM与数学教育间的关系。HPM融入数学教学既符合生物发生学的历史相似性，又赋予数学内容人文色彩，有利于促进个体学习积极性。O2O教学背景下的教学活动突破了时间空间限制，为数学史的融入提供了便利，提升了教学效率，为HPM融入数学教学活动提供了更加有效的渠道。

关键词：HPM；O2O；核心素养；高等数学

中图分类号：G640    文献标识码：A    文章编号：1673-7164（2022）29-0116-04

历史的发展揭示了思想产生的源头、引发深入研究的原因、对其他领域的影响。文化自历史中辩证发展，以教育为主要手段与途径进行传承、延续。舒默在嵌入式信念系统模型中提道：文化背景一定程度影响个体知识学习信念［1］。当下社会中大量的知识文化信息影响个体，影响个体的认知、行为、价值观的建立。现代社会教育是个体信息接触的主要平台，因此文化教育较大程度地影响了个体认知信念的建构。

现代数学因其历史发展原因，使得人们对于数学的认知倾向于“天经地义”的、没有“瑕疵”的真理，也因此学生更倾向于直接使用。然而不知知识产生原因，那么知识迁移便具有一定的局限性。数学知识的高度抽象性又使得数学晦涩难懂，学生便会产生畏难情緒，不愿深入思考，甚至直接不思考。以现实情况来看，大部分学生对于数学只是摄入式的获取、拒绝思考，更不用说了解其前因后果以求扩展迁移面了，这也是致使大部分学生的应用能力有所欠缺、知识迁移能力较为局限的原因之一。但从数学发展历史中可以窥知，数学的展开并不是逻辑的［2］，现在所使用的公式、定理有许多是数学家通过直觉、猜测、论证、运算得到的；也有一部分数学公式、定理是在历史的漫长发展中经过反复推敲、修改甚至推翻重新构建而来的。从历史角度来看，数学似乎也不那么“冷冰冰”“高高在上”了，抽象逻辑科学也变得具有“人情味儿”了。

曾经有位数学基础相对扎实的学生问道：“为什么老师提出方法后很容易就能解决问题，而自己想破脑袋都不知道采用哪种方法呢？”事实上，正是前期缺乏历史文化教育，使得学生并不清楚思想缘何而来、有何妙用，自然迁移应用能力就受到了限制。在高校数学常为公共必修基础课程，因其作为众多应用学科的基础科目，为专业课学习奠基，数学迁移能力的限制会影响专业课程的学习，因此数学迁移能力的提高对大学生而言至关重要。

一、研究综述

（一）HPM研究

HPM问题研究早在19世纪便已被欧美数学家以及教育家所关注，研究内容主要可分三大类：史料研究、关系研究与应用研究。数学史料研究，数学科学因其生于生活之经验，自古时便已产生。公元前四百年左右，古希腊学者欧德莫斯（Eudemus of Rhodes）便开始研究数学史，并初具系统，如History of Arithmetic、History of Geometry等大多数是系统的数学史著作。除此之外对于数学史料研究多以古代数学史著作记载中的难题解决为主，如汪晓勤通过古希腊几何难题中的问题挖掘史料（如梅内克缪斯螺线、埃拉托色尼滑动框数列问题）［3］。数学教育与数学史的双向关系研究。早在十九世纪人们便在研究数学史过程中意识到数学史之于数学教育、数学教育之于数学史的价值。1855年，泰尔康创办的数学史刊物中也发表了许多教育取向的数学史文章，如“Calculer”一词的起源、伯努利家族的族谱等；美国数学家卡约黎的《美国数学的教学与历史》《初等数学史及其教学启示》等，对于数学史与教育之间的关系进行了论述，认为回顾历史、名人轶事可以使问题求解与几何证明不再枯燥，可以从情志上提高学生的积极性及学习兴趣，使学生意识到数学是一门不断进步的生动科学［3］。HPM的应用研究。如宋乃庆对HPM融入数学课程做了分析，认为HPM融入数学课程应确立价值、选择内容、转化形态、总结反思，并举例说明，对数学课程中HPM的应用给出了指导性的理论基础。

（二）O2O模式

随着信息技术的发展与社会发展的需要，信息技术教学成为高校教学的基础模式之一，其中O2O（Online To Offline）教学模式成果显著，成为现代智慧教育应用较广的信息化教学模式。O2O模式虽产于商业贸易，但其线上线下有机结合的特殊模式使得教学效果更加深化。高校数学课程普遍具有时间紧任务重的特点，而O2O模式则可有效解决这一问题。

事实上，O2O教育模式在我国已发展多年，随着线上教育需求的增加，各方学者逐渐意识到O2O教育模式的可发展性，开始重视线上线下的融合教学。涂频基于智慧背景对O2O教育模式进行分析探索，为后续实践教学提供了方法基础；韩淑珍、马燕基于O2O模式在TPACK理念指导下构建了O2O微课课堂教学模式，为信息化教学提供新型教学方法等。

二、数学学科特性

（一）数学的历史发展特性

逻辑思维总是借助于概念、判断、推理进行思考的，而直觉思维则不受逻辑约束，对事物或现象本质直接进行领悟［4］。数学因其客观规律性使得逻辑性成为该学科的基本特性，然而数学并非简单的定理到定理，数学也具有直觉特性，逻辑通常是迟于直觉的，且逻辑体系的建立通常是不容易的。

整数的定义、分式的定义、几何定义等等，相对于逻辑的理论到理论的推理，更偏向于现实经验规律的总结，具有直觉思维特性；无理数、复数、符号代替系数、微积分的概念等等，均在直觉型概念提出后许久被提出，具有逻辑思维特性。

数学知识体系具有历史发展一致性，总是以简单的、可观察的、可总结的经验性知识为基础，经由一定的判断、推理、验证形成更加复杂的概念、定理、公式等内容。在此过程中也不乏直觉猜想以缩小结论范围，减小逻辑验证工作量的操作，这也说明直觉比逻辑更有力量，不能轻易否定直觉的作用。

（二）数学的内容抽象特性

抽象是从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征，而舍弃其非本质特征的过程，最终以概念、判断、推理等思维形式，反映事物的本质和规律的方法［5］。而数学普遍被定义为研究现实中数量关系和空间形式的科学，因此数学的研究对象是本不存在于现实世界的，由符号、方法、概念构成的抽象内容，而其金字塔型抽象结构使得数学具有高度抽象性。因而奠定了人们对数学的普遍认知——一门抽象学科。

数学的抽象主要有两种形式：难以想象的、非现实体验的。如围棋竞技，古语云：“千古无同局”，便是对围棋布局种类数進行难以想象的抽象性描述。再比如欧几里得空间Rn（n＞2）中，任意两个有界集（有内点）可等度分解，就如一个豌豆切割为无穷多块，按体积可重新组装为太阳，即豌豆和太阳可以等度分解。

数学内容的抽象性是以可直观体验的、能想象的内容，逐渐剥离其现实性，抽象为符号、概念、定理的描述；由直觉的体验、简单的想象向非直观的推理论证、难以想象的理论发展。在此过程中的逻辑思维方法是形成抽象理论的重要方式，因此直观的总结性经验向非直观的逻辑理论建立是抽象性形成的必然过程，也与知识的历史发展轨迹相统一，其抽象性的发展也具有一定的历史发展特征。

三、HPM在数学教育中的应用

HPM（History and Pedagogy of Mathematics）是通过数学史料与数学教育及其关系，从而丰富数学教学方法及手段的研究［3］。数学知识内容较多，且多由具象简单的内容逐步到抽象复杂的内容发展，体系较为复杂，多呈金字塔型。在认知学中普遍认为个体知识认同是在发展过程中实现高度联系的。知识体系复杂性及高度关联性是数学内容教学的主要特征之一，HPM将数学史与数学教育紧密联系，从史学角度赋予数学教学以新生命，追溯问题本源同时通过记录数学家在形成数学思想过程中所产生的影响，利用史料解释数学的人性。数学史不仅仅是历史，更是科学实验的成败史，在失败与成功中必定能够感悟真理，获得思想上的发展，因此数学历史文化学习的引入就显得尤为重要。

生物发生学认为个体学习过程具有历史相似性，即个体的成长过程要经历种族成长的所有阶段，顺序相同，历时不同［5］。在知识习得过程中，学生所遇到的难题往往也是知识创建者经过长期思索，克服困难后所得的。因此，数学历史的了解能够帮助学生更加深刻的理解数学缘起及数学思想，且数学知识发展的难易脉络也会导致对应知识掌握难易程度。如原始时期计数以十根手指或脚趾为计数工具，今天计数系统中印度发明的十进制即是由此而来，如一百即十个十；现代原始部落中售卖物品要一个一个卖，“收入=单价×个数”的乘法运算却会把他们搞糊涂，从而怀疑自己被骗。从这两个例子中便很容易能看得出知识发展的复杂程度是有一定历史轨迹的，数学知识的获得过程也是遵循其历史发生过程的，数学教学过程也应当依照数学知识发生过程进行，循序渐进，这样才有助于学生数学知识域的形成。

数学史可以让学生看到历史先贤是如何有趣地取得举世闻名的成就的，真实的数学创造史可以拉近学生与数学家的距离，让学生理解数学的内容，了解数学的“人格魅力”。开普勒作为世界著名的数学家、天文学家，幼年丧父，不惑丧妻儿。但他却将数学应用于挑选二次婚姻候选人，以满足他的婚姻方程，他将适于成婚的女士素质列表评分，最终得分最高者却出于感性拒绝了他，不得已与得分较少者成婚，在婚礼上因对婚宴供应酒商给出酒桶体积存疑，得出积分计算法，两年后著述《测量酒桶体积新方法》，积分由此发展，但这样的科学家也曾给出过行星模型这样的谬误模型。又如伽利略发现的摆运动科学定律，只因一次参观时无聊便盯着摆动吊灯，发现吊灯摆动弧度大和小似乎所花时间是相等的，于是他便利用自己的脉搏核实推断，最终通过实验验证了这一理论的准确性。数学知识与定理的获取似乎也不总是严肃的，但却总是严谨的，数学家并不总是正确的，但却总是敢于尝试的。因此在教学过程中对于抽象性较高内容，若了解其发生过程并非一帆风顺的，则个体的畏难情绪可有效得到缓解，可培养学生迎难而上的钻研精神。

四、基于HPM的数学教学案例

数学教学应遵从数学历史发展脉络这是毋庸置疑的，近现代以来的数学教材在编纂时容易忽视知识习得的历史相似性。当下的数学课程教学时间紧任务重，因此有效的理解教学内容将达到事半功倍的效果。纵观现代教育模式发展，社会发展总是影响着时下教育发展。

结合HPM的数学教学在丰富学生的历史文化知识同时，在情感层面上也极大地降低了学生的畏难情绪，同时还会提高课堂的幽默性、趣味性，增加学生的学习热情。而O2O教学突破时间空间限制，同时现代网络这个世界最大的教学资源库的使用也使得学生的信息收集与筛选能力得以锻炼。现以完整的教学过程为载体，在不同阶段适当组织HPM内容的融合设计教学案例，在此附上函数的极限内容以四个阶段进行说明：

（一）课前预习

线上发布课程预习任务，明确学习目标，同时附加数学主题发展史料，通过分组讨论完成预习任务。如函数极限问题，可引入“刘徽割圆”问题及“第二次数学危机”使学生对于极限产生直觉感知，便于理论知识的理解。

（二）课中讲授

课堂上通过小组反馈预习成果，通过学生讲述分享，了解极限的由来，其后，教师引导学生走向严谨的理论体系中去［6］。可采用顺应式提出新的问题，如承接上述问题，可引出像素、分辨率问题，一幅图像分成100、1000个小格子清晰度不同，并随着格子个数增大而越清晰，图像越接近于真实的图像，从而引出共性问题的解决思路——极限思想，并入极限定义。而著名的柯西收敛准则即对极限进行了严格论证，从而建立极限理论，解决了“第二次数学危机”，此时提出柯西收敛准则让学生对后续该理论的学习产生兴趣。

（三）总结巩固

总结理论知识，在此可通过重构历史与数理逻辑序列，结合学生认知水平，通过应用练习巩固知识。如结合时代背景研究流言传播问题、市场经营稳定性问题等等。让学生体会极限思想在现代社会背景下的应用与发展。

（四）课后应用

总结所学，自主选择主题进行极限思想应用练习，比如连续复利问题、城市废弃物管理问题等实际情境问题，培养学生发现问题的眼光、解决问题的能力。

参考文献：

［1］ Schommer，M.. Explaining the Epistemological Belief System：Introducing the Embedded Systemic Model and Coordinated Research Approach［J］. Education Psychologist，2004（39）：19-29.

［2］ Kline，M.. Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times［J］. Nature，1979（04）：229.

［3］ 汪晓勤. HPM：数学史与数学教育［M］. 北京：科学出版社，2017.

［4］ 吴念阳，李艳，徐凝婷. 上下意象图式向抽象概念映射的心理现实性研究［J］. 心理科学，2008，31（03）：4.

［5］ 高巍. 抽象危险犯的概念及正当性基础［J］. 法律科学（西北政法学院学报），2007（01）：70-74.

［6］ 赵祥辉. 高校“以学生为中心”教学改革理念：意义、困境与出路［J］. 中国高等教育评论，2020，13（02）：54-65.

（荐稿人：高改良，广东科技学院督导，教授）

（责任编辑：汪旦旦）