高中数学建模:先理解,后实践

张新艳

[摘  要] 在2017年版《普通高中数学课程标准》发布之后，数学建模更是凸显出了其重要地位. 教师的主要任务就是理解数学建模的内在机制与功能，结合具体的教学内容去培养学生的数学建模能力，提升学生的数学建模素养. 对数学模型的认识一定要充分，要认识到高中数学教学内容当中有很多数学建模教学契机. 在高中数学教学中，数学建模的成功教学建立在正确的理解基础上，只有了解了数学建模的内在机制及其基本环节，那么在具体的实践过程中才能做到心中有数，才能在学生学习的每一个环节中给予恰到好处的引导.

[关键词] 高中数学;数学建模;理解;实践

相信每一个高中数学教师对数学建模的概念都不陌生，这很大程度上是因为数学建模几乎伴随着数学教学的始终. 而在2017年版《普通高中数学课程标准》发布之后，数学建模更是凸显出了其重要地位，原因在于数学建模是数学学科核心素养六个要素之一，是“用数学语言描述事物”的关键. 正是因为数学建模有着如此重要的地位，所以才有不少教师以及数学教育研究者呼吁将数学建模的思想融入数学类主干课程[1]. 实际上，在日常教学中，尤其是在日常数学教学研究的视野里，数学建模原本就是一个常提的概念. 那么这是否意味着在日常教学中数学建模就落实得十分到位呢？答案恐怕并非如此. 首先从教学目的的角度来看，无论是教师还是学生，更多的时候仍然将注意力集中在解题能力上，而这一能力的养成又是通过刷题来实现的，数学建模显然并不是此种教学的直接目的;其次是对数学建模的理解，更多的时候仍然停留在“建立数学模型”这一认识上，对于模型如何形成、应当经历怎样的过程才能促进模型建立等，实际上认识并不是十分清楚. 在这样的背景下，要想落实数学建模会有着更大的挑战.

应当说在当前评价体制下，培养学生的解题能力并应付高考是必然的选择，但这并不影响数学建模素养的落地，如果教师能够理解数学建模的内在机制与功能，那就可以在切实有效培养学生数学建模素养的同时，增强学生的解题与应试能力.

[?]高中数学教学中的数学建模理解

一般认为，数学模型运用于数学问题解决的过程，其中涉及数学的基本原理、数学思想方法、数学语言的运用. 这里所说的数学问题，不仅包括数学习题或者与数学相关的问题，也包括数学概念与数学规律的建立过程，因此数学模型的外延除了常说的模型外，数学概念与数学规律也被认为是一种模型. 当形成对数学模型的认识后，再来认识数学建模，通俗地说，数学建模是建立数学模型，但是更为核心的问题在于“应当经历怎样的过程才能建立一个数学模型？”从认知发展的角度来看，数学建模本身就是一个复杂的认知活动，需要学生思维的深度参与.

对于教师来说，理解数学建模的内在机制与外在表现，是实施数学建模教学的前提. 从外在表现来看，数学建模作为一种问题解决方式，是数学与现实世界之间沟通的桥梁. 可以肯定的一点是，当下数学课堂上的数学建模实际上已经被高度简化，很难让学生经历一个完整的建模过程，学生在这样的过程中不可能有效提高建模能力[2]. 要解决这个问题，只有将研究的视角转向数学建模的内在机制，目前公认的观点是：数学建模就是从实际问题出发，经过数学抽象与相应的简化形成数学问题，进而建立数学模型，然后利用建立起的数学模型去解释或解决实际问题. 如果成功，那么这样的数学模型就是有效的;如果不成功，那么这样的数学模型就需要修正——重新经历上述过程.

由此可见，数学建模实际上与数学抽象以及逻辑推理是有关系的，在不同的知识点当中，还有可能涉及数学运算、数据分析以及直观想象等. 因此，数学学科核心素养的六个要素中，数学建模才是综合性最强的那个要素. 对建立数学模型的内在机制的理解，本质上要认识到数学建模的过程，是学生通过自己的思维与认知对实际问题进行抽象、运用数学逻辑进行推理，进而形成一个内在逻辑关系明确且能够解决新的问题的过程.

认识到这一点后，在具体的数学建模过程中，教师就应当努力引导学生将数学思维与实际问题联系起来，去除非数学因素，留下数学因素，然后寻找其逻辑关系，进而形成数学模型.

[?]高中数学教学中的数学建模实践

有了如上的理解，教師的主要任务就是结合具体的教学内容去培养学生的数学建模能力，学生形成数学建模素养. 特别需要再次强调的是，对数学模型的认识一定要充分，要认识到高中数学教学内容当中有很多数学建模教学契机. 著名数学教育家张奠宙先生曾经指出，“就许多数学内容来说，本身就是一种数学模型……在这个意义上，我们每堂课都在建立数学模型”. 教师在研究探索数学建模教学的过程中，要以具体的课例研究为载体，从学生的角度去思考，帮助学生建构数学模型和应用数学模型[3].

例如，函数作为高中数学知识体系中最为重要的概念之一，本身就是一个数学模型. 学生在此前数学学习中形成的函数认识，是一种相对肤浅模糊的认识，在高中数学教学中，教师的主要任务就是在学生已有认识的基础上，建立起函数模型. 根据上述对数学建模内在机制的理解，在函数概念这一教学过程中，可以设计以下几个环节：

环节1：利用现实问题创设情境，引导学生进行数学抽象.

这里的现实问题主要是指题材来自现实、内在逻辑指向数学的问题. 比如：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天. 如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资呢？

对于这样的一个实际问题，学生应当通过数学抽象，去除情境中的生活元素，留下数学元素，于是每周工资数额、每天工资数额以及工作天数，就是剩下来的三个数学量.

环节2：基于数学抽象的结果，通过问题变式，借助分析与归纳，概括出函数模型.

在上述问题情境中，数学抽象后三个数学量之间的逻辑关系已经比较清晰了. 实际上，学生借助最基本的数学关系就可以建立起等量关系，即y=350x（y为每周工资数额，x为工作天数）. 在这里有一点必须明确，那就是x的定义域，具体可以表示为A={1，2，3，4，5，6}. 有了这样的推理后，自然也就可以得出y的值域，即B={350，700，1050，1400，1750，2100}.

其后，可以通过其他素材继续创设情境，让学生通过数学抽象和逻辑推理得出类似的结果. 通过分析与归纳，就可以概括出函数的基本内涵. 此时的教学还有一个重要环节，那就是学生最初的认识是用自己的语言来描述的，而最终的函数是要用数学语言来描述的，从前者到后者有一个过渡，需要教师做好引导. 这个过程同人都比较熟悉，此处只强调一点就是对定义域、值域及对应关系这三个要素的理解. 如果学生能够结合此前提出的实例去理解这三个关键要素，那么函数概念也就会建立起来.

环节3：运用数学模型去解决问题.

这个环节的主要任务是让学生结合对函数的认识，判断一些新的素材当中所表现出来的是不是函数关系. 相对前面创设的情境，此时提供给学生的应当既有正例也有反例，这样有助于学生从正反两个角度强化对函数概念的认识，从而让函数模型更加牢固.

[?]高中数学教学中的数学建模反思

在上述函数概念教学的过程中，学生所经历的学习过程有两个理解：一是知识层面的理解，学生获得的是对函数概念及定义的记忆;二是模型层面的理解，学生通过对生活实例的抽象，借助逻辑建立等量关系，发现这一关系可以描述生活中的多种情形，于是得出函数概念，自然也就建立起了函数模型. 在解决新问题的过程中可以检视这一模型，学生发现生活中的复杂关系，既有可以用函数来描述的，也有不能用函数来描述的，而这实际上就是基于定义域、值域以及对应关系三个要素强化学生理解函数概念的过程，从而让学生形成的函数模型更加牢固.

进一步反思上述分析尤其是实践过程，发现在高中数学教学中，数学建模的成功教学一定建立在正确的理解基础上，只有理解了数学建模的内在机制及基本环节，那么在具体的实践过程中才能做到心中有数，才能在学生学习的每一个环节中给予恰到好处的引导. 这种引导不仅可以让学生学习数学知识的过程變得更加简洁，也可以让数学建模的过程变得更加高效.

有人说，数学教育本质上是一种素质教育，数学建模的教学是实施素质教育的有效途径[4]. 如此理解数学建模的意义，就意味着教师更要重视对数学建模的理解与实践.

参考文献：

[1]  李大潜. 将数学建模思想融入数学类主干课程[J]. 中国大学教学，2006（01）：9-11.

[2]  朱雨姝. 使用费米问题来引入数学建模[J]. 中学数学杂志（高中版），2020（03）：3-7.

[3]  何瑞林. 数形结合培养学生数学建模能力[J]. 江西教育，2020（14）：36-37.

[4]  李大潜. 数学建模与素质教育[J]. 中国大学教学，2002（10）：41-43.