对2020年全国Ⅰ卷第20题的推广探究

摘要：圆锥曲线试题中有关直线过定点类的问题大多具有一般性，这类试题尤其是高考真题往往可以进行结论推广，对其深入探究可以揭示出圆锥曲线的本质属性.

关键词：直线过定点;圆锥曲线;推广探究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）13-0018-03

1 真题呈现

题目（2020年全国Ⅰ卷理20）已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D.

（1）求E的方程;

（2）证明：直线CD过定点.

试题考查平面向量的数量积、椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、直线过定点等知识，考查了数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.对于第（1）问，由AG·GB=8得关于a的方程，解方程得a的值就可以求得E的方程.对于第（2）问，设出点C，D，P的坐标和直线CD的方程，结合PA，PB的方程说明CD过定点.

2 真题解析

2.1 第（1）问解析

解析易求E的方程为x29+y2=1.

2.2 第（2）问解析

证法1设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知-3<n<3.

由于直线PA的方程为y=t9（x+3），

所以y1=t9（x1+3）.

直线PB的方程为y=t3（x-3），

所以y2=t3（x2-3）.

可得3y1（x2-3）=y2（x1+3）.

由于x229+y22=1，

故y22=-（x2+3）（x2-3）9.

可得27y1y2=-（x1+3）（x2+3）.

即（27+m2）y1y2+m（n+3）（y1+y2）+（n+3）2=0.①

将x=my+n代入x29+y2=1，

得（m2+9）y2+2mny+n2-9=0.

所以y1+y2=-2mnm2+9，y1y2=n2-9m2+9.

代入①式，得（27+m2）（n2-9）-2m（n+3）mn+（n+3）2（m2+9）=0.

解得n=-3（舍去），n=32.

故直线CD的方程为x=my+32.

即直线CD过定点（32，0）.

若t=0，则直线CD的方程为y=0，过点（32，0）.

综上，直线CD过定点（32，0）.

证法2设P（6，t），由（1）知A（-3，0），B（3，0），直线PA的方程为y=t9（x+3）.

由y=t9（x+3），x29+y2=1，得

（9+t2）x2+6t2x+9（t2-9）=0.

由根与系数的关系，得-3xC=9（t2-9）9+t2.

所以xC=3（9-t2）9+t2，yC=6t9+t2.

同理可求，xD=3（t2-1）1+t2，yD=-2t1+t2.

所以kCD=-4t3（t2-3）.

直线CD的方程为4tx+3（t2-3）y-6t=0.

令y=0得x=32.

即直线CD过定点（32，0）.

3 剖析联想

出于对解析几何试题的敏感，笔者猜想第（2）问中直线所过的定点一定与题设中椭圆的相关参数及所给定的直线方程数据等有某种联系，最后的定点在x轴上，且其横坐标恰好是椭圆长半轴长的一半，而此时也正好有题设中垂直于x轴的直线方程中的数值恰好是椭圆长轴长，这仅仅是一种巧合，还是可以进行一般意义上的某种推广？直觉是否可靠，能不能进行更一般的推广？

4 结论推广

4.1 椭圆中一般情形

结论1已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点，P为直线x=2a上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D，则直线CD过定点Q（a2，0）.

证明可以参考真题第（2）问证法，请读者自证.由椭圆的对称性易得下面的结论.

结论2已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点，P为直线x=-2a上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D，则直线CD过定点Q（-a2，0）.

根据推理的等价性进行逆向思考，会得到如下的结论.结论3已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点，Q（a2，0），直线MQ交椭圆E于C，D两点，直线AC与DB相交于点F，直线AD与CB相交于点G，则直线FG垂直于x轴，且其方程为x=2a.

具体证明过程请感兴趣的读者自己完成，以上三条对应于y轴的相应结论请读者自己陈述.

4.2 双曲线中相应的结论

众所周知，椭圆和双曲线在很多时候具有相同或者相似的性质，那么上述的结论对于双曲线而言是否成立呢？

结论4已知A，B分别为双曲线E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右顶点，P为直线x=2a上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D，则直线CD过定点Q（a2，0）.

结论5已知A，B分别为双曲线E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右顶点，P为直线x=-2a上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D，则直线CD过定点Q（-a2，0）.

结论6已知A，B分别为双曲线E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右顶点，Q（a2，0），直线MQ交双曲线E于C，D两点，直线AC与DB相交于点F，直线AD与CB相交于点G，则直线FG垂直于x轴，且其方程为x=2a.

4.3 圆中相应的结论

圆可以看作是特殊的椭圆，具有椭圆中很多相应的性质，上述三条结论在圆中同样成立.

结论7已知A，B分别为圆E：x2+y2=a2（a>0）的左、右顶点，P为直线x=2a上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D，则直线CD过定点Q（a2，0）.

结论8已知A，B分别为圆E：x2+y2=a2（a>0）的左、右顶点，P为直线x=-2a上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D，则直线CD过定点Q（-a2，0）.

結论9已知A，B分别为圆E：x2+y2=a2（a>0）的左、右顶点，Q（a2，0），直线MQ交圆E于C，D两点，直线AC与DB相交于点F，直线AD与CB相交于点G，则直线FG垂直于x轴，且其方程为x=2a.

5 教学反思

2020年全国Ⅰ卷理科第20题证明过程较为繁琐，但是图形却给人留下了深刻的印象，在课堂教学过程中，诸如此类的试题有很多，高中数学课本中的很多例习题（如文献＼[1＼]）都可进行必要的探究.爱因斯坦说：提出一个问题比解决一个问题更加重要，充分利用这类试题可以很好地培育同学们大胆猜想的数学素养，提高学习数学的兴趣，对数学直觉、数感和数学学科核心素养的提升大有帮助.

参考文献：

[1]

董强. 对一道高中数学课本例题的再探究＼[J＼]. 数理化解题研究，2018（10）：39-41.

[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：董强（1985-），硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：陕西省教育科学“十三五”规划2020年度课题“基于学科核心素养的高中数学单元教学设计研究”（项目编号：SGH20Y0157）.[FQ）]