2022年高考数学模拟试题（新高考）

说明：（1）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

（2）本试卷适用省份：（新高考Ⅰ卷）山东、福建、湖北、江苏、广东、湖南、河北;（新高考Ⅱ卷）海南、辽宁、重庆.

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合M=-1，0，1，N=-3，0，3，T=-3，-1，1，3，则（）.

A.M∩N=B.M∪N=T

C.M∩N∪T=TD.M∪N∩T=T

2.已知复数z=3+4i1-i（其中i为虚数单位），则其共轭复数z-的虚部为（）.

A.72B.-72C.72iD.-72i

3.函数fx=sinωx+φ（ω>0，-π2<φ<0）在区间0，1上不可能（）.

A.单调递增B.單调递减

C.有最大值D.有最小值

4.2021年4月22日是第52个世界地球日，某学校开展了主题为“珍爱地球，人与自然和谐共生”的活动.该校5名学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区宣传，则不同的安排方案共有（）.

A.60种B.90种C.150种D.300种

5.已知F1，F2是椭圆C：x216+y212=1的两个焦点，点M在C上，则MF1·MF2的最大值为（）.

A.28B.16C.12D.9

6.已知函数fx=log0.5（x+x2+1），若a=0.6-0.5，b=log0.50.6，c=log0.65，则（）.

A.fa<fb<fcB.fc<fb<fa

C.fc<fa<fbD. fb<fa<fc

7.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂一千五百二十岁，….生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.某老年公寓住有19位老人与1位义工，老人与义工的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中义工年龄不满24岁，老人的年龄依次相差1岁，则义工的年龄为（）.

A.18岁B.19岁C.20岁D.21岁

8.已知fx=xlnx，若过一点m，n可以作出该函数的两条切线，则下列选项一定成立的是（）.

A.n<mlnmB.n>mlnm

C.2e-e<n<0D.m<1

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（）.

A.PBA1=511

B.PB=25

C.事件B与事件A1相互独立

D.A1，A2，A3两两互斥

10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=22，M为线段BD上的动点，则（）.

A.当M为BD的中点时，△A1MC1的周长最小

B.三棱锥D1-MCB1的体积为定值

C.在线段BD上存在点M，使得AC1⊥A1M

D.在线段BD上有且仅有一个点M，使得∠AMC1=120°

11.在平面直角坐标系中，三点A-1，0，B1，0，C0，7，动点P满足PA=2PB，则（）.

A.点P的轨迹方程为x-32+y2=8

B.△PAB面积最大时PA=26

C.∠PAB最大时，PA=26

D.P到直线AC距离最小值为425

12.已知数列an，bn均为递增数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn，且满足an+an+1=2n，bn·bn+1=2n（n∈N*），则下列结论正确的是（）.

A.0<a1<1B.S2n=n2+3n-2

C.1<b1<2D.S2n<T2n

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若函数fx=ax+bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1）是偶函数，则ab=.

14.已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，点M为C上一点，点N为x轴上一点，若△FMN是正三角形，且FN=2，0，则抛物线的准线方程为.

15.已知函数f（x）=|-2x+2|+ex，则f（x）的最小值是.

16.如图1，在△ABC中，点P满足BP=2PC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若AM=λAB，AN=μAC，（λ>0，μ>0），则λ+μ的最小值为.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，且S6=36，a1，a3，a13成等比数列.

（1）求数列an的通项公式;

（2）设数列1anan+1的前n项和为Tn，若不等式Tn<k4对任意的n∈N*都成立，求实数k的取值范围.

18.在①3b=asinC+3cosC;②asinC=

csinB+C2;③acosC+12c=b，这三个条件中任选一个补充在下面题中，然后解答补充完整的题目.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.

（1）求角A;

（2）若b=1，c=3，求BC边上的中线AD的长.

注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.

19.如图2，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC，BD相交于点N，DN=2BN=23，PA=AC=AD=3，∠ADB=30°.

（1）求证：AC⊥平面PAD;

（2）若点M为PD的中点，求平面PAB与平面MAC所成二面角的正弦值.

20.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如下：

（1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？并说明理由;

（2）某课外实习作业小組调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿做了统计，得到以下数据分布：

若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？

参考公式：K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），

P（K2≥k）0.0500.0250.0100.005k3.8415.0246.635

7.879

21.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x=1，点F4，0，动点P到点F的距离是它到直线l的距离的2倍，记P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程;

（2）过点F且斜率大于3的直线交C于A，B两点，点Q-2，0，连接QA，QB交直线l于M，N两点，证明：点F在以MN为直径的圆上.

22.已知函数fx=12x2+alnx-a+1x，其中a∈R.

（1）讨论fx的单调性;

（2）若函数Fx=fx+a-1x有两个极值点x1，x2，且Fx1+Fx2>-2e-2恒成立（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围.

参考答案

一、选择题

1.DM∩N=0，故A错误;M∪N=-3，-1，0，1，3，故B错误;M∩N∪T=0∪-3，-1，1，3=-3，-1，0，1，3，故C错误;（M∪N）∩T={-3，-1，0，1，3}∩{-3，-1，1，3}={-3，-1，1，3}=T，故D正确.

2.Bz=3+4i1-i=3+4i1+i1-i1+i=3+3i+4i-42=-12+72i，所以z-=-12-72i，所以z-的虚部为-72.

3.B由题知，ω>0，φ可正可负，不妨令ω=10，φ=-π6时，x∈0，1时，ωx+φ=10x-π6∈-π6，10-π6，在给定区间有增有减，有最大值也有最小值，排除C，D项;当ω=1，φ=π12，x∈0，1时，ωx+φ=x+π12∈π12，1+π12，在给定区间单调递增，排除A项.

4.C由题意不同的安排方案数为（C35+C25C23A22）A33=150.

5.B由椭圆C：x216+y212=1可得a2=16，所以a=4.因为点M在C上，所以MF1+MF2=2a=8.所以MF1·MF2≤MF1+MF222=822=16，当且仅当MF1=MF2=4时等号成立，MF1·MF2最大值为16.

6.A因为a=0.6-0.5>1，b=log0.50.6∈（0，1），c=log0.65<0，所以a>b>c.又函数f（x）=log0.5x+x2+1在R上单调递减，所以fa<fb<fc.

7.B设19位老人的年龄由小到大依次为a1，a2，…，a19（单位：岁），设义工的年龄为x岁，由已知可得a1+a2+…+a19+x=19a1+a192+x=19a10+x=150，则19a10=1520-x.因为1≤x≤24且x∈N*，则19a10=1520-x∈1496，1519，而在1496，1519内能被19整除的正整数为1501，则1520-x=1501，解得x=19.

8.A设切点为t，tlnt，对函数fx求导得f  ′x=lnx+1，则切线斜率为f ′t=lnt+1.所以切线方程为y-tlnt=lnt+1x-t.即y=lnt+1x-t.所以n=mlnt+1-t，可得t-mlnt+n-m=0.令gt=t-mlnt+n-m，其中t>0，由题意可知，方程

gt=0有两个不等的实根.

g′t=1-mt=t-mt.

①当m≤0时，对任意的t>0，g′t>0，此时函数gt在0，+∞上单调递增，则方程gt=0至多只有一个根，不合乎题意;②当m>0时，当0<t<m时，g′t<0，此时函数gt单调递减，当t>m时，g′t>0，此时函数gt单调递增.由题意可得gtmin=gm=m-mlnm+n-m=n-mlnm<0，可得n<mlnm.

9.AD由题意知A1，A2，A3两两互斥，故D正确;

PA1=510=12，PA2=210=15，PA3=310，PBA1=PBA1PA1=12×51112=511，故A正确;

PBA2=411，PBA3=411，PB=PA1B+PA2B+PA3B=PA1PBA1+PA2PBA2+PA3PBA3=12×511+15×411+310×411=922≠PBA1，所以B与A1不是相互独立事件，故B，C不正确.

10.AB如图3建系，则A10，0，22，C12，2，22，B2，0，0，D0，2，0，BM=λBD，所以M2-2λ，2λ，0.图3

所以MA1+MC1

=（2-2λ）2+（2λ）2+8+（-2λ）2+（2λ-2）2+8

=24λ2-8λ+4+4λ2+8

=28λ2-8λ+12，

当x=12时，MA1+MC1最小，此时S△MA1C1周长最小，此时M为BD中点，A对;

因为BD∥B1D1，所以BD∥平面B1D1C，M到平面B1D1C的距离h为定值，S△B1D1C为定值，则VM-B1D1C=

13S△B1D1Ch为定值，B对;

因为AC1·A1M=（2，2，22）（2-2λ，2λ，-22）=-4≠0，所以不存在点M使得AC1⊥A1M，C错;

MA·MC1=（2λ-2，-2λ，0）（2λ，2-2λ，22）=8λ（λ-1），

cos∠AMC1=8λλ-18λ2-8λ+48λ2-8λ+12=-12，

从而λλ-1=2-136，

即λ2-λ+13-26=0.

所以Δ<0，无解，D错.

11.ABD设Px，y，由PA=2PB，得PA2=2PB2.

即x+12+y2=2x+12+y2.

化简，得x-32+y2=8.

即点P轨迹方程为x-32+y2=8，A正确;

因为直线AB过圆x-32+y2=8的圆心，

所以点P到直线AB的距离的最大值为圆x-32+y2=8的半径r=22.

因为AB=2，

所以△PAB面积最大为12×2×22=22，此时P3，±22.

所以PA=3+12+222=26，B正确;

当∠PAB最大时，则PA为圆x-32+y2=8的切线，所以PA=3+12-8=22，C错误;

直线AC的方程为7x-y+7=0，

则圆心3，0到直线AC的距离为7×3+772+1=1425.

所以点P到直线AC距离最小值为1425-22=425，D正确.

12.ACD由an是递增数列，得a1<a2<a3.

又an+an+1=2n，所以a1+a2=2，a2+a3=4.

所以a1+a2>2a1，a2+a3>2a2=4-4a1.

所以0<a1<1，故选项A正确;

S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n-1+a2n）=2+6+10+…+2（2n-1）=2n2，

故B不正确;由bn是递增数列，得b1<b2<b3.

又bnbn+1=2n，

所以b1b2=2，b2b3=4.

所以b2>b1，b3>b2.

所以1<b1<2，故選项C正确;

故

T2n=（b1+b3+…+b2n-1）+（b2+b4+…+b2n）

=b1（1-2n）1-2+b2（1-2n）1-2=（b1+b2）（2n-1）.

所以T2n≥2b1b2（2n-1）=22（2n-1）.

又b1≠b2，

所以T2n>22（2n-1）.

而22（2n-1）-2n2=2（2·2n-n2-2），

当n≥5时，2（2·2n-n2-2）>0;

当1<n≤4时，可验证2（2·2n-n2-2）>0，所以对于任意的n∈N*，S2n<T2n，故选项D正确.

13. 由fx为偶函数可得f-x=fx.

即1ax+1bx=ax+bx.

所以ax+bxabx-1=0.

因为x∈R，且a>0，b>0，a≠1，b≠1，得ab=1.

14. 如图4，由已知N在F右侧，NF=2，作MD垂直准线于点D，则∠DMF=60°，DM=DF=FN=2.所以∠DFO=60°.故焦点到准线的距离p=1，准线方程为x=-12.图4

15. 因为函数f（x）=|-2x+2|+ex，

所以fx=ex-2x+2，x≤1，ex+2x-2，x>1.

当x≤1时，f ′x=ex-2，由f ′x=0解得x=ln2，

当x<ln2时，f ′x<0，fx单调递减，

当x>ln2时，f ′x>0，fx单调递增，

所以fxmin=

fln2=eln2-2ln2+2=-2ln2+4.

当x>1时，f ′x=ex+2，f ′x>0，fx单调递增，此时fx无最小值.

所以f（x）的最小值是-2ln2+4.

16. 因为BP=BA+AP，PC=PA+AC，

又BP=2PC，

所以-AB+AP=2AC-AP，AP=13AB+23AC=13λAM+23μAN.

又P，M，N三点共线，所以13λ+23μ=1.

从而λ+μ=（λ+μ）·13λ+23μ

=13+23+μ3λ+2λ3μ

≥1+2μ3λ·2λ3μ=1+223，

当且仅当μ3λ=2λ3μ，即λ=1+23，μ=2+23时取等，所以λ+μ的最小值为1+223.

17. （1）设等差数列an公差为d，由题意，得6a1+15d=36，（a1+2d）2=a1（a1+12d），d≠0，

解得a1=1，d=2.

所以an=1+2（n-1）=2n-1.

（2）由（1）知1anan+1=1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1），

所以Tn=12（1-13）+12（13-15）+…+12（12n-1-12n+1）=12（1-12n+1）.

易知Tn是递增的且Tn<12，

不等式Tn<k4对任意的n∈N*都成立，则k4≥12，所以k≥2.

18. （1）选①3b=asinC+3cosC，

由正弦定理得3sinB=sinA（sinC+3cosC）.

即3sin（A+C）=sinAsinc+3sinAcosC.

即3（sinAcosC+cosAsinC）

=sinAsinC+3sinAcosC，

故3cosAsinC=sinAsinC，三角形中sinC≠0，

所以tanA=3，又A∈（0，π），所以A=π3.

选②asinC=csinB+C2，

由正弦定理，得sinAsinC=sinCsinB+C2=sinCcosA2，三角形中sinC≠0，

所以2sinA2cosA2=cosA2.又三角形中cosA2≠0，

所以sinA2=12，A∈（0，π）.

所以A2=π6，解得A=π3.

选③acosC+12c=b，

由余弦定理，得a2+b2-c22b+12c=b.

整理，得b2+c2-a2=bc.

所以cosA=b2+c2-a22bc=12.

因为A∈（0，π），所以A=π3.

（2）由（1）a2=b2+c2-2bccosA=1+9-2×1×3cosπ3=7，a=7，由余弦定理，得

b2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠CDA，

c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠BDA.

又BD=CD，cos∠CDA=-cos∠BDA，

所以b2+c2=2AD2+BD2+CD2=2AD2+12a2.

所以AD2=12（1+9-12×7）=134，AD=132.

19. （1）因为AD=3，DN=23，∠ADB=30°，

所以AN=9+12-2×3×23×32=3.

从而AN2+AD2=DN2.

所以∠DAN=90°，故AC⊥AD，

因为PA⊥平面ABCD，而AC在平面ABCD中，

所以PA⊥AC，PA∩AD=A，且PA，AD都在平面PAD内，所以AC⊥平面PAD.

（2）以点A为原点，以AC，AD，AP为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图5所示：

设P0，0，3，A0，0，0，B332，-32，0，

D0，3，0，M0，32，32，C3，0，0.

所以PA=0，0，-3，AB=332，-32，0，AM=0，32，32，AC=3，0，0.

设平面PAB与平面MAC的一个法向量分别为n1=x1，y1，z1，n2=x2，y2，z2，平面PAB与平面MAC所成二面角为θ，且θ为锐角.

所以n1·PA=0，n1·AB=0.所以-3z1=0，332x1-32y1=0.

可取n1=1，3，0，则

n2·AM=0，n2·AC=0.则32y2+32z2=0，3x2=0.可取n2=0，1，-1，

所以cosθ=n1·n2n1·n2=32×2=64.则sinθ=104.

20. （1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，

则E（X）=6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1=7000，

E（Y）=5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1=7000，

D（X）=（6000-7000）2×0.4+（7000-7000）×

0.3+（8000-7000）2×0.2+（9000-7000）2×0.1=10002，D（Y）=（5000-7000）2×0.4+（7000-7000）2×0.3+（9000-7000）2×0.2 +（11000-7000）2×0.1=20002，则E（X）=E（Y），D（X）<D（Y），

若希望不同职位的月薪差距小一些，则选择甲公司;若希望不同职位的月薪差距大一些，则选择乙公司;

（只要言之有理即可）

（2）因为k1=5.5513>5.024，故根据表中对应值得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025， 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：

选择甲公司选择乙公司总计

男250350600

女

200200400總计450550

1000

计算K2=1000×（250×200-350×200）2600×400×450×550=2000297≈6.734，且K2=6.734>6.635，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.01<0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大.

21. （1）设Px，y，由题意，得（x-4）2+y2=2x-1，化简，得x24-y212=1.

所以曲线C的方程为x24-y212=1.

（2）设Ax1，y1，Bx2，y2，M1，y3，N1，y4，设直线lAB：y=k（x-4），且k>3.

联立y=k（x-4），x24-y212=1，得（3-k2）x2+8k2x-16k2-12=0.

由韦达定理，得x1+x2=8k2k2-3，x1x2=16k2+12k2-3.

由y33=y1x1+2，解得y3=3y1x1+2=3k（x1-4）x1+2.

由y43=y2x2+2，解得y4=3y2x2+2=3k（x2-4）x2+2.

故FM·FN=9+y3y4=9+9k2（x1-4）（x2-4）（x1+2）（x2+2）

=9+9k2[x1x2-4（x1+x2）+16]x1x2+2（x1+x2）+4

=9+9k2（16k2+12-32k2+16k2-48）16k2+12+16k2+4k2-12=0.

故点F在以MN为直径的圆上.

22. （1）f（x）的定义域是（0，+∞），f ′（x）=x+ax-（a+1）=（x-1）（x-a）x，a≤0时，0<x<1时，f ′（x）<0，x>1时，f ′（x）>0，故f（x）的单调减区间（0，1），单调增区间是（1，+∞）;

0<a<1时，0<x<a或x>1时，f ′（x）>0，a<x<1时，f ′（x）<0，故f（x）的单调增区间是（0，a）和（1，+∞），单调减区间是（a，1）;

a=1时，f ′（x）≥0恒成立，f（x）的单调增区间是（0，+∞），无减区间;

a>1时，0<x<1或x>a时，f ′（x）>0，1<x<a时，故f ′（x）<0，故f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+∞），减区间是（1，a）.

（2）F′（x）=f ′（x）+a-1=x2-2x+ax，由题意x2-2x+a=0有两个不等正根x1，x2，

Δ=4-4a>0，a<1，又x1+x2=2，x1x2=a>0，所以0<a<1.

因为F（x）=12x2+alnx-2x，

所以F（x1）+F（x2）=12x21+alnx1-2x1+12x22+alnx2-2x2=12[（x1+x2）2-2x1x2]+aln（x1x2）-2（x1+x2）=2-a+alna-4=alna-a-2.

由題意，得alna-a-2>-2e-2.即alna-a+2e>0.

设g（x）=xlnx-x+2e（0<x<1），则g′（x）=lnx+1-1=lnx<0.

故g（x）在（0，1）上单调递减.

又g（1e）=1eln1e-1e+2e=0，所以由alna-a+2e>0，得0<a<1e.

综上，0<a<1e.

[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：林国红（1977-），男，广东省佛山人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]