一题多解开拓视野

摘要：电磁感应的情景，在物理高考中备受瞩目.以动量定理、动能定理、功能关系等规律应用为难点，物理量之间的关联纵横交错，解题方法灵活多变.很多同学学习时不由自主的在难点上纠缠不清，缺少在基础的电路分析与受力分析上下功夫，学习事倍功半.

关键词：电磁感应;动量定理;动能定理;电路分析;受力分析

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）13-0111-03

求解电磁感应的情景问题，同学们有很多模型套路可走.特别是涉及电容问题，常考常新，非常精彩，在物理高考中备受瞩目.聚焦了高中物理的力与能量两条主线的核心内容，如高中物理的两大定理——动量定理、动能定理.有时还会因为命题者考虑不足，出现在能量方面不能自洽的情况，学习体验自然不好.下面这个题是两个基本模型的叠加，重点强调电路分析的意识，以常规的求电量与功的形式抛砖引玉，分析教学中存在的问题，请大家鉴赏评析.

题目如图1所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距L=1m，兩导轨中间通过一间距可不计的绝缘隔层分开，左端接有电阻和电容器，阻值R1=1Ω，电容C=0.1F，右端接有阻值R2=0.25Ω的电阻.一质量m=0.1kg，阻值不计的金属棒MN放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=1T.棒在水平向右的外力F作用下，由静止开始以2m/s2的加速度向右运动.当棒运动0.09m时到达绝缘层，同时撤去外力.假设导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触.求：

（1）棒在匀加速运动过程中，外力F随时间t变化的表达式;

（2）棒在匀加速运动过程中，通过导体棒电荷量q;

（3）若已知撤去外力前、后整个装置中产生的焦耳热相等.电容器储存的电能EC=12CU2（U为电容器两极板的电压）.求外力做的功W.

解析（1）棒由静止开始匀加速至绝缘层由 x=12at2得t=0.3s

由v=at得v=0.6m/s

画出图2的等效电路，

导体棒为电源，

E=BLvI=IC+IR ①

导体棒电阻不计，电容器充电电流

IC=ΔqCΔt=CBLΔvΔt=CBLa②

流过电阻R1的电流

IR=ER1=BLvR1③

联立①②③得

I=2t+0.2（A）（0≤t≤0.3s）④

对棒由牛顿第二定律得

F-FA=ma⑤

又FA=BLI⑥

联立④⑤⑥得

F=2t+0.4（N）（0≤t≤0.3s）⑦

（2）解法一利用平均值直接求解

由④式知导体棒中的电流I随时间t是线性变化，可得平均电流

I-=0.2+0.82A=0.5A

q=I-t=0.15C

解法二利用并联电路求解

分析电路，由电量守恒定律知

q=qC+qR⑧

qR=IRt=BLv-R1t=BLxR1=0.09C

qR也可以将数据代入③式得IR=2t（A），取电流平均值求.

最终可解得q=qC+qR=0.15C

解法三利用动量定理求解

设在加速过程中，力F对时间t的平均值为F-，导体棒中电流的平均值为I-

对导体棒用动量定理得

F-t-BLI-t=mv-0⑨

由⑦式知，F-=0.7N

又根据q=I-t

代入⑨式得，q=0.15C

（3）求外力做的功W，我们又可从力与能量的角度求得多种解法

解法一利用动能定理进行求解

在棒加速阶段，有

WF-Q1-EC=12mv2⑩

EC=12C（BLv）2

撤去F后，电容器中的电能转化为R1的焦耳热，导体棒的动能转化为R2的焦耳热.

Q2=EC+12mv2

综合可得WF=0.072J

解法二利用能的转化与守恒定律求解

从能量转化来看，导体棒克服安培力做的功等于电路中的电能.一部分通过R1转化为焦耳热，一部分通过电容器储存起来.由①式得 BLI=BLIC+BLIR，将导体棒的安培力分解为两个力，他们做的功可以代数和相加.

克服BLIC做功转化成电容器中的电能，

EC=BLICx=0.018J

克服BLIR做功在电阻R1中产生焦耳热，

Q1=∫0.30I2RR1dt=∫0.304t2dt=0.036J

代入⑩式即得

WF=0.072J

解法三利用功的本源定义求解

导体棒由静止开始匀加速运动位移x所需时间t，t=2xa=x

功是力F在位移上的累积，结合⑦式得

WF=∫0.090Fdx=∫0.090（2x+0.4）dx=0.072J

从上面的求解可以看出，方法二与方法三在能量转化与功的定义两个角度求解，从结论上看是殊途同归的.那么在第（3）小题中，“若已知撤去外力前、后整个装置中产生的焦耳热相等.电容器储存的电能EC=12CU2（U为电容器两极板的电压）”其实是多余的，只是为了避开数学能力上的不足而提供的信息.可见如果撤去外力前、后整个装置中产生的焦耳热不相等，就会让题目不能自洽，这是我们原创题目时要注意的.

典型错误剖析学生典型的错误就在于不想修路而直接搭桥，不知不觉把导体棒中的电流等同于电阻R1的电流.比如牛顿第二定律由⑤式变成了

F-B2L2vR=ma.

求电量由⑧式变成了

q=IRt=BLxR1.

动量定理由⑨式成了

Ft-B2L2xR=mv-0.

看似学生抛弃了⑤⑧⑨这样一些原始方程，实际上根源并不在于此.

由上述解题过程可以看出，受力分析、运动分析与电路结构分析是基本，“修”不好（电）路，就搭不好“桥”（牛顿第二定律），更不要说正确应用高大上的两大定理了.请看以下两个熟悉的模型，导体棒在光滑导轨上向右做垂直于磁感线的运动.图3的左端接电阻，图4的左端接电容.对图3模型，从力与运动、功与能、冲量与动量三个方面一定做了大量的探究.对FA=B2L2vR，q=B2L2xR两个关系留下了深深的互相替代的烙印，所以学生在解题时，“有意”忽视了充电电流的存在.图4虽然不陌生，但由于高中阶段不涉及电容器储存电能表达式，基本上只限于力与运动关系的探究层面上.

由于导体棒电阻为零，从能量转化的角度去看看第（3）小题的解法.

策略点睛综上所述，我对日常的习题教学有一些想法与各位分享.教师在教学中，用放大镜选题，让例题更具有代表性;用显微镜看题，透视模型后面的物理本质;用照妖镜审题，迅速看出题目架构与陷阱.防止学生解题出现固定思维，需要教师自己提供一些原创题，加强几个基础分析能力的考查，同时拓展学生视野，帮助学生跳出题海，让学习体验更好.习题讲评时，教师要展示解题最基本的操作环节，比如画轨迹图，受力图，等效电路图等等，让思维的痕迹明显一点，更有利于在学生的头脑中发酵.

参考文献：[1]

吴广国.物理考试命题数据自洽分析＼[J＼].物理教师，2018（12）：92-93.

[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：王维卫（1972.12-），男，浙江省常山人，本科，中学高级教师，从事高中物理教学研究.[FQ）]