紧抓基底明辨真假“距离”

摘要：文章通过讲解高三模拟试卷中有关OC=xOA+yOB的向量题时，发现必须强调紧抓基底，让学生用基底表示点，进而进行解题，从而避免学生对题目的误解.

关键词：基底;距离;向量夹角;最值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）13-0007-03

在讲解高三数学试卷时，用最简单、最迅速的办法解出小题是高三师生追求的共同目标，教师在讲解小题时惯性思维占去了部分思考空间，也为师生解题提供了简便快捷的通道.教师带领学生思考一个问题的多种解法，有利于学生思维的发散与知识的融合.但如果学生对问题的理解深度尚浅，学生自行钻研可能因为忽略条件走入误区，那么，此时对于小题进行大做不仅能够发现学生错因，而且能发现本题精髓及解题奥秘，更能进行拓展，开阔学生思维深度与广度，做以适当总结，即可明了知识点对应的解題类型与解题方法.以下探讨一道高三模拟的向量题：

原题给定两个长度为1，且互相垂直的平面向量OA和OB，点C在以O为圆心、|OA|为半径的劣弧AB上运动，若

OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则x2+（y-1）2的最大值为.

教师讲解建立如图2所示的平面直角坐标系，设OA=i，OB=j，则

点C在劣弧AB上运动，

点C坐标为（x，y）.

则x2+（y-1）2表示点（0，1）到点（x，y）距离的平方.

所以，当点C在点A处时，x2+（y-1）2的值最大，为12+（0-1）2=2 .

学生解答建立如图3所示的平面直角坐标系，设OA=-i，OB=-j，则

点C在劣弧AB上运动，点C坐标为（x，y）.

则x2+（y-1）2表示点（0，1）到点（x，y）距离的平方.

所以，当点C在点B处时，x2+（y-1）2的值最大，为02+（-1-1）2=4 .

质疑1两种解法思路相同，为何答案不同？

学生解答出现的问题是：

未注意到“

OC=xOA+yOB”的含义.

“OC=xOA+yOB”指以OA和OB为基底来表示OC及点（0，1）.

学生出现这种错误的原因与教师给的解法有很大关系，教师给的解法中，OA=i，OB=j，此时，点（0，1）与点（x，y）都是以OA和OB为基底来表示的，虽然结果正确，但是未强调OC=xOA+yOB的含义，更是用了特殊代替一般.

而学生给的解法中，OA=-i，OB=-j，此时，点（0，1）与点（x，y）都不是以OA和OB为基底来表示的，只是确定了点C所在区域，忽略了条件OC=xOA+yOB.

本题一般解法如下：

方法1如图2所示，显然有

|OA|=|OB|=1，OA⊥OB.

因为OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，

所以点A坐标为（1，0），

点B坐标为（0，1），

点C坐标为（x，y）.

则x2+（y-1）2表示点B（0，1）到点C（x，y）距离的平方.

所以，当点C在点A处时，x2+（y-1）2的值最大，为12+（0-1）2=2 .

方法2因为点C在以点O为圆心，1为半径的劣弧AB上运动，记∠AOC=θ.

则圆的方程为x=cosθ，y=sinθ，其中θ∈[0°，90°].

所以（x-1）2+y2=（cosθ-1）2+sin2θ

=2-2cosθ.

因为θ∈[0°，90°]，

所以cosθ∈＼[0，1＼].

所以当θ=90°时，cosθ=0，（x-1）2+y2取得最大值2.

质疑2式子x2+（y-1）2是表示点（0，1）到点（x，y）距离的平方吗？

将上题中“互相垂直的平面向量OA和OB”改成“所成角为60°的平面向量OA和OB”，其他条件不变，则x2+（y-1）2的最大值为.

解法1如图4所示，|OA|=|OB|=1，

OA与OB所成角为60°，

因为OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，

所以点A坐标为（1，0），

点B坐标为（0，1），

点C坐标为（x，y）.

则x2+（y-1）2表示点B（0，1）到点C（x，y）距离的平方.

所以，当点C在点A处时，x2+（y-1）2的值最大，为12+（0-1）2=2 .

解法2建立如图5所示的平面直角坐标系，设OA=（1，0），OB=（12，32），OC=（m，n），

则m2+n2=1，12≤m≤1，0≤n≤32.

因为OC=xOA+yOB，

所以x+y2=m，32y=n.

解得x=m-33n，y=233n.

所以x2+（y-1）2=（m-33n）2+（233n-1）2=2-233n（m+2）.

因为12≤m≤1，0≤n≤32，

所以x2+（y-1）2≥2.

即x2+（y-1）2的最大值为2 .

结论只有当单位向量OA和OB所成角为90°时，式子x2+（y-1）2才表示点（0，1）到点（x，y）的距离平方.而当单位向量OA和OB所成角为60°时，式子x2+（y-1）2表示点（0，1）到点（x，y）的“距离”平方，这时不是真正意义上的距离，解题时需要紧抓基底，用基底表示各点的坐标.用上述方法还可得出当平面向量OA和OB所成角为θ（0°<θ<180°）时，x2+（y-1）2的最大值均为2.

参考文献：

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刘稳殿.横看成岭侧成峰，一题多解妙无穷—一道最值问题的解法探究＼[J＼].数理化解题研究，2021（13）：2-3.

[2] 刘稳殿.盛金公式与高考导数题奇遇记＼[J＼].数理化解题研究，2021（19）：74-75.

[3] 亓秋昌.借助向量双重性妙解相关数学题＼[J＼].中学数学教学参考，2021（18）：35-37.

[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：刘稳殿（1985.8-），男，陕西省旬阳人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

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