辊涂试验装备的转子临界转速计算与分析

杨克航，吕宏展，白 涛，王君政

(东华大学 机械工程学院，上海 201620)

在钢材辐射固化卷钢涂层工艺研究中发现，辐射固化型涂料的无溶剂、零挥发特点使得其常温下的体系黏度很高，因此需对涂料进行加热以降低体系黏度，从而确保辊涂过程的顺利进行；再者钢铁企业以高速生产为目标，故涂料的涂敷工作也必然是在高速条件下展开的。要研究加热后涂料的涂敷特性，就需要确保辊涂装备在高速涂敷过程中保持稳定运行。对辊涂装备而言，主轴运转产生的共振问题会直接影响装备整体的工作稳定性，进而影响工作精度，因此需对装备转子的临界转速进行计算，以使主轴在安全运行范围[1]内工作。

辊涂试验装备的转子主体为结构钢，表层为橡胶，不同于传统单一材料转子的结构，因此需对目前广泛使用的解析法和数值分析法进行改进。转子动力学问题始终存在于转动机械的研发过程中，随着对转子极限转速问题研究的深入，学者们提出了多种计算方法[2-3]，为解决临界转速问题提供了解决思路。目前主要有理论解析法[4]、传递矩阵法[5]和有限元法[6-11]。解析法一般用于计算简单结构的转子系统，对于复杂结构(包括多种材料)的转子而言，解析法具有一定局限性；传递矩阵法利用计算机编程进行求解，方法简单，针对多轴段简单转子具有很好的应用前景[12]。随着数值分析技术的发展，有限元法被广泛用于解决目前大多数旋转机械的振动问题[13-14]。但是目前多数学者都在研究复杂形状转子的临界转速问题，针对多材料转子的研究较少，仅有少量关于多种材料复合弹性模量的求解方法[15-16]。将多种材料的复合弹性模量求解方法运用于多材料转子动力学，可有效求解辊涂转子部件的临界转速。

根据涂料加热后的工作特性以及辊涂装备高速运行的工作要求，设计并制造一套辊涂试验装备。本文利用解析法和数值分析法对主轴临界转速进行计算分析，以期为辊涂装备的安全运行提供保证。

1 辊涂试验装备转子分析

高速辊涂试验装备的整体结构如图1所示，本文研究的辊涂装备转子部件是一个表面负载辊涂液的轻载转子，转子部件主要包括结构钢转子、外层橡胶以及两端轴承支撑部件，装备采用伺服电机驱动转子旋转。辊涂试验装备须在设定速度下安全、稳定地运行，且装备转子安装要尽可能紧凑，因此需要对转子的临界转速进行计算设计，在设计阶段进行计算预测，及时调整电机转子结构、额定转速，以提高系统运行的安全性、可靠性。

图1 辊涂装备的转子部件Fig.1 Rotor components for roller coating equipment

根据辊涂装备的设计要求，涂覆辊的线速度被设定为6～10 m/s，最高转速不超过2 000 r/min。为使涂覆辊在此速度下平稳运行从而均匀地涂敷涂料，需对涂覆辊的临界转速和移动平台的模态响应进行计算；同时为避免发生共振需考虑装备结构的动力学问题，即需要对装备转子进行优化设计，以使辊涂转子-移动平台-机架在工作时具有稳定性和安全性。

综合考虑各项因素，对辊涂装备的转子部件进行优化设计。对应于图1，当前转子的尺寸为D1=80 mm，L1=230 mm，d=30 mm，L2=369 mm，D2=100 mm。

2 基于解析法的转子临界转速计算与分析

2.1 基本原理

根据转子动力学的基本原理[4]，某N自由度系统的动力学微分方程如式(1)所示。

(1)

式中：M、C、K为系统的质量、阻尼及刚度矩阵；F(t)为作用在系统上的广义外力；x(t)为系统的广义坐标矢量。对于无阻尼、无外部载荷的振动学问题，方程可简化为式(2)。

(2)

由于弹性体自由振动可以分解为一系列简谐振动的叠加，故设其运动方程如式(3)所示。

x(t)=μsin(ωt+φ)

(3)

式中：μ为与时间无关的振幅列向量；ω为系统的角频率；φ为初相位。将式(3)代入式(2)可得到如式(4)所示的代数方程。

(K-ω2M)μ=0

(4)

(5)

2.2 求解临界转速

根据第2.1节以及图1中的辊涂试验装备中转子结构尺寸，临界转速的解析法计算公式[4]可表示为式(6)。

(6)

式中：k为所计算的临界转速的阶次；nck为第k阶临界转速；l为转轴的跨度；E0为准弹性模量，一般取直径最大轴段材料的弹性模量；I0为准截面惯性矩，一般取直径最大轴段的截面惯性矩；m为整个转轴所分的段数，一般按轴径、轴上零部件或载荷位置进行分段；χi为位置函数；Ei为第i段轴材料的弹性模量；Ii为第i段轴的截面惯性矩；qi为第i段轴包括其上零部件的线密度。

位置函数χi如式(7)所示。

χi=φ(ξi)-φ(ξi-1)

(7)

转子材料及物性参数如表1所示，辊涂转子最大转速为2 000 r/min。研究转子部件各级阶数下的临界转速以确保在工作时避开任何一阶临界转速，从而防止发生共振，一般要求[17-18]：

表1 辊涂转子的材料物性参数Table 1 Material physical parameters for roller coating rotor

刚性转子nc<0.75nc1

(8)

柔性转子 1.4nc1

(9)

式中：nc1、nc2分别为转子的一阶、二阶临界转速。对于本文设计的装备转子，先计算一阶临界转速，若转子的转速高于一阶临界转速，则进一步求解二阶临界转速。

由于辊涂转子部件的材料不是单一的，而是由结构钢和外层橡胶复合而成，因此需要计算多种材料的复合弹性模量。本研究设计的辊涂装备的转子为一根阶梯轴，其主体为结构钢，外层为橡胶，二者通过内外粘连固定在一起。根据文献[16]建立并联模型求解两种材料的复合弹性模量，如式(10)所示。

E合=f1E1+f2E2

(10)

式中：f1，f2为两种材料的体积分数；E1、E2为两种材料的弹性模量。根据图1，辊涂转子可分为3段，分别计算各段转子的参数值，结果列于表2。

表2 辊涂转子的参数计算结果Table 2 Calculation of parameters for the roller coating rotor

通过以上理论计算，将表2中的数据代入式(6)，得到转子的一阶临界转速为33 135.15 r/min,远大于转子最高转速，并且满足nc(最高转速)<0.75nc1(一阶转速的0.75倍)，符合工程上一般的安全设计要求，并且转子为刚性转子。

3 基于有限元法的转子临界转速计算与分析

解析法虽然可以较快速地求解转子临界转速，但很难求解工作状态下的转子动力学基本问题。本节采用数值计算的方法对转子的模态进行分析并求解转子临界转速。

3.1 辊涂装备的转子有限元分析预处理

首先建立辊涂转子的三维模型。采用有限元法时，需充分考虑转子的细节，涉及转子的各层材料以及轴承支撑问题。将表1的材料属性添加给所建立的模型，并对模型进行网格划分。本试验中转子的网格划分采用自由网格划分，网格单元划分后的有限元模型如图2所示，辊涂转子节点数为58 311，单元数为21 886。

图2 辊涂转子有限元模型的网格划分Fig.2 Meshing of finite element model for the roller coating rotor

3.2 模态分析原理

模态分析是计算结构振动特性(固有频率和振型)的一种动力学分析方法，可以确定结构的固有频率和振型[19]。为计算方便，作如下假设：(1)结构刚度矩阵和质量矩阵不发生变化；(2)不考虑阻尼效应；(3)结构中没有随时间变化的载荷。由解析法的基本原理分析可知，自由振动时系统的固有频率满足式(11)。

(K-ω2M)μ=0

(11)

由于结构自由振动时，各节点振幅μ不可能全为0，必存在非零解，如式(12)所示。

|K-ωi2M|=0

(12)

3.3 模态计算结果

预处理后对辊涂装备转子部件进行模态分析计算，本文中装备转子只需要前几阶模态，采用子空间法进行模态提取。子空间法适用于提取中型到大型模型的较少振型，并且计算时需要的内存相对较少。模态分析中低阶模态在系统振动方面起主要作用[2,20]，一般情况下取前6阶模态进行分析。因此，本文选取前6阶模态结果进行分析，转子部件前6阶模态的振型如图3所示。

图3 辊涂转子的模态振型Fig.3 Modal vibration pattern of the roller coating rotor

由图3可以看出，转子的轴对称结构使得其各阶振型具有相应的对称情况。其中：第1阶模态振型为主轴的轴向平移。第2阶模态振型为转子主轴的径向收缩，主轴的径向伸缩对转子部件的装配、预紧及振动的影响较大，且最大变形发生在转子粗轴面。第3、4阶模态振型结果极为接近，可以认为是方程的两个重根，分别表示转子yoz面和xoz面上的一阶弯曲振动，最大变形均发生在转轴中间部位，这对转子部件的振动也起到十分重要的作用。第5阶模态振型为主轴的扭转运动，最大变形发生在中间粗轴两端。第6阶模态振型为主轴的二阶扭转变形，最大变形发生在转子粗轴的两端面侧面部分，但是在结构振动中，高阶模态能量占比很低，对整个结构振动影响不大，因此一般不予考虑。

3.4 模态计算结果分析

由于有限元分析得到的结果是转子的各阶固有频率，而振动需要考虑转子的临界转速，因此需要根据固有频率计算转速。对于转子而言，转速与频率之间的关系[16]如式(13)所示。

nci=60fi

(13)

式中：nci为各阶临界转速；fi为各阶模态固有频率；i为阶数。

转子部件具有多阶固有频率，但是一般载荷的频率是比较低的，因此只需考虑极限转速与前几阶低阶模态是否会发生共振。选取前6阶辊涂装备转子部件固有频率进行临界转速的计算，根据式(13)得到如表3所示的前6阶转子的固有频率和临界转速。

表3 辊涂转子的前6阶固有频率、振型和临界转速Table 3 First 6 steps inherent frequency,vibration type and critical speed of the roller coating rotor

由表3可知，第1、2阶固有频率对应的临界转速约等于0，为转子的刚体运动，可以忽略。因此取第3阶固有频率的计算结果作为一阶临界转速，为34 740.60 r/min。由式(8)可知，该结果满足nc(最高转速)<0.75nc1(一阶转速的0.75倍)的工程设计标准，并且通过有限元法计算的转子一阶临界转速远大于额定转子最高转速2 000 r/min。

有限元法计算结果表明，涂覆试验装备可以在转子极限工作转速范围内稳定运行，且有限元法与解析法的转子阶临界转速的相对误差为4.8%，进一步证实解析法计算结果的准确性；同时可以看出，本文采用解析法计算多种材料的临界转速仍具有可行性。综上所述，该转子在极限运行情况下是安全的，能够避免共振的发生，即辊涂装备可以在转子极限工作转速范围内稳定运行。

4 结 语

本研究通过解析法和有限元法对辊涂试验装备的转子临界转速进行计算及分析，以保障转子部件在设计转速下的运转稳定性，研究结果如下：

(1)据解析法得到的转子一阶临界转速为33 135.15 r/min，远大于电机的最高转速2 000 r/min，初步确定转子部件满足安全工作的需求；据有限元法得到的转子一阶临界转速为34 740.60 r/min，同样远大于电机的最高转速，进一步确定转子的安全性和可靠性，证实该装备可以在极限工作转速范围内稳定运行。

(2)对以结构钢为主体、表面有橡胶层的辊涂转子进行临界转速计算时发现，面对多种材料复合而成的复杂转子时，解析法可以初步判定设计的合理性，而有限元法可以更加直观地确定方案的合理性。类似情况可以使用解析法或有限元法进行计算分析。