机械波多解问题中的解法“套路”

宁夏 龚 杰 马文学

机械振动在介质中传播，形成了机械波。由于波源在介质中的起振方向和传播方向的不确定，就导致波动问题的多解性。分析多解问题的方法有很多，笔者就此类问题给出一种“套路”式的解法，仅供参考。

一、波动问题多解的分类

1.周期性

(1)振动时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解问题

在x轴上取一个质点，其在t时刻的振动情况与它在t+nT，(n=1,2,3…)时刻的振动情况(位移、速度、加速度等)相同，这就是机械波的时间周期性。波的时间周期性表明，波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波形图线相同。因此当振动时间间隔Δt远大于周期T时，某一时刻的波形必然多次出现，这就是振动时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解问题的原因。

(2)传播距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解问题

图1

2.双向性

通常在坐标轴上，波可沿正、负两个方向传播。若沿正方向与负方向传播的时间之和等于周期的整数倍，则沿正或负方向传播对应的波形图相同，如图2中的实线是一列正弦波在某一时刻的波形图，经过Δt时间后(Δt

图2

3.波形的隐含性

波动问题中，在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定，或者题目中只给出完整波形的一部分，又或者只给出几个特殊点的振动情况，而其余信息均处于隐含状态，波形就有多种情况，形成波动多解的问题。

图3

二、波的多解问题的“套路”解法

1.根据初末两时刻的波形图确定传播距离与波长(传播时间与周期)的关系通式。一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx。

若此关系为时间：

可得有关周期的通式：

若此关系为距离：

可得有关波长的通式：

【例1】上文图2中的实线是一列正弦波在某一时刻的波形曲线。经过0.5 s后，其波形图如图中虚线所示。

(1)如果波是向左传播的，周期多大？波速多大？

(2)如果波是向右传播的，周期多大？波速多大？

【分析】根据题图可知该波的波长λ=0.24 m，这列波经过0.5 s后的波形图从实线变成了虚线，可以根据0.5 s内波形图确定传播时间与周期(距离与波长)的关系通式进行求解。

解法一：由波形图可根据传播时间与周期的关系进行求解

(1)若波向左传播：则

将Δt=0.5 s带入周期的通式可得：

又λ=0.24 m，则

(2)若波向右传播：则

将Δt=0.5 s带入周期的通式可得：

又λ=0.24 m，则

解法二：由波形图可根据传播距离与波长的关系进行求解

(1)若波向左传播：则

又λ=0.24 m，则

v=0.12(4n+1) m/s，(n=0，1，2，3…)

(2)若波向右传播：则

又λ=0.24 m，则

v=0.12(4n+3) m/s，(n=0，1，2，3…)

2.若在波动问题中，没有给出波形图，只给出波形上几个特殊点及与质点相关的振动方程或振动图像。此时可用逆向思维，根据一个未标注横轴和纵轴的波形加以题设条件得出大致波形图，在波形图上找到符合题设条件的特殊点，然后根据波形图确定传播距离与波长(传播时间与周期)的关系通式进行求解。

( )

A.如果波沿x轴正方向传播，则波长的最大值为2 m

B.如果波沿x轴正方向传播，则波速的最大值为1 m/s

D.t=4.5 s时刻，Q点离开平衡位置的位移为4 cm

现给出任一波形图，如图4所示，在图中a、b、c可能是P点所在的位置，图中1、2、3、4、5、6可能是Q点所在的位置。若波沿x轴正方向传播，根据Q点振动方程可知，下一时刻其振动方向由平衡位置向y轴正方向振动，此时Q点的位置则可能是1、3、5。根据P、Q间距离与波长的关系可得：

图4

若波沿x轴负方向传播，根据Q点振动方程可知，下一时刻其振动方向由平衡位置向y轴正方向振动，此时Q点的位置则可能是2、4、6。根据P、Q间距离与波长的关系可得：

【答案】BC

【例3】一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1=1 m和x2=7 m处质点振动图像分别如图5、图6所示，则此列波的传播速率可能是

图5

图6

( )

A.7 m/s B.2 m/s C.1.2 m/s D.1 m/s

【解析】现给出任一波形图，如图7所示，在t=0时，图中1、2、3、4、5、6可能是x1=1 m质点所在的位置，图中a、b、c可能是x2=7 m处质点所在的位置。若波正在沿x轴正方向传播，根据x1=1 m振动图像可知，其离开平衡位置向y轴负方向振动，则此时2、4、6可能是x1=1 m处质点的位置。根据x1=1 m和x2=7 m间距离与波长的关系可得：

图7

又T=4 s，则

若波正在沿x轴负方向传播，根据x1=1 m振动图像知其离开平衡位置向y轴负方向振动，则此时1、3、5可能是x1=1 m处质点的位置。根据x1=1 m和x2=7 m间距离与波长的关系可得：

又T=4 s，则

若波沿x轴正方向传播，当n=0时，v=2 m/s，若波沿x轴负方向传播，当n=1时，v=1.2 m/s，综上分析答案为BC。

【答案】BC

三、结束语

从以上的讨论可以发现，对于机械波图像中多解性问题的解法是一种“套路”式的解法，总结起来就是：利用题设条件的波形图，或者根据题设条件构建出波形图，根据波形图找到符合题设条件的特殊点，然后确定传播距离与波长(传播时间与周期)的关系通式进行求解。本文中几道典型例题中构建的距离与波长(传播时间与周期)的关系只是四分之一或者四分之三的关系，实际还有大量机械波多解问题中距离与波长(传播时间与周期)的关系更复杂，这类试题我们可采用类似的“套路”具体问题具体分析即可。