几道与Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列“有缘”的数学题

朱雨平

注：本题解答有多种。

题2数轴上表示的四个点分别为A，B，C，D，一质点在A点，每次向左或向右跳一个长度单位，且此质点就在这四个点之间跳来跳去，跳m次至A，B，C，D的跳法各有多少种？

解答：设跳m次，不同跳法有f(m)种，跳至A，B，C，D的跳法种数分别为f₁(m)，f₂(m)，f₃(m)，f₄(m)则f(m)=f₁(m)+f₂(m)+f₃(m)+f₄(m)。m=1，即质点跳一次，必至B点，一种跳法，故f(1)=1，f₁(10=f₃(1)=f₄(1)=0，f₂(1)=1；

m=2，质点从B点跳至A或C点，两种跳法。故f(2)=2，f₁(2)=f₃(2)=1，f₂(2)=f₄(2)=0。

m=3，质点再从A或C跳一次，从A跳，一种跳法；从C点跳，2种跳法。故f(3)=3，f₂(3)=2，f₄(3)=1，f₁(3)=f₃(3)=0。

m=4，可得f(4)=5，f₁(40=2，f₃(4)=3，f₂(4)=f₄(4)=0。

显然，m为奇数时，质点必在B或D点，f₁(m)=f₃(m)=0；m为偶数时，质点必在A或C点，f₂(m)=f₄(m)=0。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”