合理创设结构不良试题

樊荣

摘要：结构不良试题是新高考数学试卷中的一类创新开放题，其中以解三角形为背景的结构不良试题是最常见的结合实例，就解三角形问题中的结构不良试题的常见类型加以剖析，展示创新设置与开放思维，掌握破解技巧与解题策略，引领并指导数学教学与复习备考.

关键词：结构不良;解三角形;选择;条件;探索;开放

结构不良试题是新高考数学2020年开始出现的一类开放性创新题型，创设没有明确的结构或者解决途径的“另类”数学试题，契合现实生活中的问题形式，具有很好的开放性与创新性.结构不良数学试题，条件或结论等存在变数，是否有解也不确定，变化多端，形式各样.

而解三角形问题，比较吻合结构不良数学试题的基本特征，是考查此类题型的常见形式.通过解三角形知识的综合、交汇与应用，结合选择条件型与探索条件型这两种比较常见类型来展示，具有很好的开放性与创新性，能有效考查学生分析问题、解决问题的能力，对理解能力、探究能力、创新能力与应用意识等的考查也是积极和深刻的.

1 选择条件型结构不良试题

解三角形中的选择条件型结构不良试题，属于题干条件不充分或不完整，需要从已知给出的条件中选择某些条件（一般是三个条件中，或选一或选二等）加以补充完整，进而在所选择条件组成的题目背景下，正常解决相关的解三角形问题.只是不同的选择可能选用的知识点与思想方法有差异而已.

例1（2022年江苏省淮安市高中校协作体高三年级期中模拟考试数学试卷）在①b2+2ac=a2+c2，②acos B=bsin A，③sin B+cos B=2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，    ，A=π3，b=2.

（1）求角B;

（2）求△ABC的面积.

分析：（1）从已知三个条件中选取一个，若选①，由余弦定理即可得解;若选②，利用正弦定理将相应关系式中的边化为角，可求得tan B的值，从而得解;若选③，结合辅助角公式的转化与应用，从而得以求解;（2）由正弦定理求出a的值，由两角和的正弦公式求出sin C，再利用三角形的面积公式即可求解.

解析：（1）若选①，由余弦定理，得cos B=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.

又B∈（0，π），则B=π4.

若选②，由acos B=bsin A，结合正弦定理知sin Acos B

=sin Bsin A.

又A∈（0，π），则sin A>0.所以cos B=sin B.

又B∈（0，π），则tan B=1，即B=π4.

若选③，由sin B+cos B=2，得2×sinB+π4=2，即sinB+π4=1.

又B∈（0，π），所以B+π4∈

π4，5π4.于是B+π4=π2，解得B=π4.

（2）由A=π3，b=2，B=π4，可得C=π-A-B=5π12.

结合正弦定理，可得a=bsin Asin B=3.

又sinC=sin5π12=sinπ4+

π6=sinπ4cosπ6+cosπ4sinπ6= 6+ 24，

则△ABC的面积S△ABC=12absin C=12×3×2×6+24=3+34.

点评：此类解三角形问题中选择条件型结构不良试题，可以从三角形的角、边、关系式等不同情境构建相应的条件，从给出的多个条件（一般三个）中选一或选二，结合其他已知条件来分析与处理.不同的选择，破解过程与对应的知识点有时可能不相同，结论有时也不尽相同.

2 探索条件型结构不良试题

解三角形中的探索条件型结构不良试题，属于题干条件不充分或不完整，需要根据相应的一些条件来探索原题目中的某些条件，通过逻辑推理、代数运算等加以补充完整;或者通过补充一些相关的条件，结合运算与推理，并根据补充条件的题目进行合理探究与分析，形成相应的判断或决策等.

例2在①2acos B=2c-b，②（sin A+sin B）＼5（a-b）+bsin C=csin C，③b2+c2-a2=233bc＼5sin（B+C）这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，若问题中的C存在，求C的值;若C不存在，请说明理由.

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知    ，是否存在角C，使得cosB+π3-

3sin C=-1？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

分析：结合已知可选的条件，选①时通过正弦定理、诱导公式以及两角和的正弦公式等确定角A的值;选②时通过正弦定理、余弦定理等，确定角A的值;选③时通过诱导公式、余弦定理等确定角A的值.在角A确定后，利用三角函数关系式的变形以及辅助角公式的应用，结合条件确定三角函数关系式的最值问题，进而探究关系式是否成立.

解析：选①，问题中的C不存在.理由如下：

因为2acos B=2c-b，所以由正弦定理知2sin Acos B=2sin C-sin B.

又sin C=sin（A+B），得2sin Acos B=2sin（A+B）-sin B，

展开并整理得2cos Asin B=sin B.

而sin B>0，可得cos A=12.由0

从而3sin C-cosB+π3=3sin C-cos（π-C）=3sin C+cos C=2sinC+π6.

又易知C∈0，2π3，

则C+π6∈π6，5π6，得sinC+π6>12，

于是3sinC-cosB+π3=2sinC+π6>2×12=1.

故不存在C，使3sin C-cosB+π3=1.

选②，问题中的C不存在.理由如下：

因为（sin A+sin B）（a-b）+bsin C=csin C，所以由正弦定理知a2-b2+bc=c2.

再结合余弦定理，可得

cosA=b2+c2-a22bc=12.

由0

从而3sin C-cosB+π3=3sin C-cos（π-C）=3sin C+cos C=2sinC+π6.

又易知C∈0，2π3，则C+π6∈π6，5π6，所以可得sinC+π6>12，

于是3sin C-cosB+π3=2×sinC+π6>2×12=1.

故不存在C，使3sin C-cosB+π3=1.

选③，问题中的C不存在.理由如下：

因为sin A=sin（B+C），所以b2+c2-a2=233×bcsin（B+C）=233bcsin A，

整理可得b2+c2-a22bc=33×sin A.结合余弦定理，得cos A=33sin A，即tan A=3.

由0

从而可得3sin C-cosB+π3=3sin C-cos（π-C）=3sin C+cos C=2sinC+π6.

又C∈0，2π3，则C+π6∈π6，5π6，得sinC+π6>12，

于是3sin C-cosB+π3=2sinC+π6>1.

故不存在C，使3sin C-

cosB+π3=1.

点评：解三角形问题中探索条件型结构不良试题，根据题目条件的选择并结合已知条件通过探究与判断来确定一些相关结论的成立性与存在性.破解的关键在于合理化归与转化，巧妙借助逆向思维等，对条件与答案之间的相互关系进行合理探究与分析，进而得以判断与决策.

涉及解三角形问题中结构不良试题的命制与创设，是对解三角形知识的进一步深入与拓展，也是知识与思维密切联系与交汇的一个典范.通过解三角形，将三角函数、平面几何、不等式等相关知识加以融合与交汇，同时渗透开放性思想与创新性思想，巧妙创设，创新应用，引导学生从数学知识的习得与记忆转向问题的分析与解决、策略的选择与应用，使数学应用、创新应用在思维层面得以真正地发酵、发生.