数列解题中提取有效数据信息的思考

杨绍慧

摘要：结合实例，从规律归纳、逻辑推理、创新定义等角度入手，提取数列中的数据信息进行有效数据分析，达到真正提升能力，落实核心素养的目的.

关键词：核心素养;数据分析;数列;规律归纳;逻辑推理;创新定义

1 问题的提出

数据分析与数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算一起，共同构成高中数学学科的六大核心素养，是在《普通高中数学课程标准（2017年版）》“课程基本理念”部分首次创新性地提出的要充分渗透到高中数学的教学与教育中去.

数据分析，就是利用统计方法对数据进行有效整理、分析与处理，进而得以解决问题.其实，在其他的数学知识体系中，比如集合、数列、函数等相关知识中，也有很多相关的数据分析问题.那么，在数列解题过程中，如何针对不同场合、不同数学知识体系中的数据信息，通过分析处理提取合理的、有价值的数据，为解决问题指明方向？同时，根据数列中不断适应数字化学习的要求，如何增强数据分析能力，通过合理分析，进而得以合理、高效解决问题呢？

2 问题的解决

2.1 从规律归纳入手提取数据信息加以数据分析

数列中的很多问题都可以从数列的性质、通项公式的特征、递推关系式的规律等入手，提取数列中的项、项数等数据的规律信息，进而加以合理的数据分析、逻辑推理与数学运算等.

例1 （“超级全能生”2018年9月浙江省高三数学测试·10）已知数列{an}满足a1=2，an+1=12（an+1an）（n∈N*），设bn=an-1an+1，则b100=（  ）.

A.3-198

B.3-298

C.3-299

D.3-2100

分析：结合数列的递推关系式分别确定b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4的值，分析这些特殊项的数据规律，进而合理归纳并确定bn表达式的规律，达到确定b100的目的.

解析：由a1=2，an+1=12（an+1an）（n∈N*），bn=an-1an+1，可得b1=a1-1a1+1=13=3-1=3-20.

由a2=12（2+12）=54，可得

b2=a2-1a2+1=19=3-2=3-21.

由a3=12（54+45）=4140，可得

b3=a3-1a3+1=181=3-4=3-22.

由a4=12（4140+4041）=3 2813 280，可得

b4=a4-1a4+1=16 561=3-8=3-23.

归纳可知b100=3-2100-1=3-299.故选择答案：C.

点评：本题通过一个数列的首项以及两个数列间的递推关系式来确定另一个数列的确定项.破解方法较多，而借助特殊值归纳法，利用数据分析，巧妙通过递推关系式进行链接，达到合理推理，巧妙归纳的目的.

2.2从逻辑推理中提取数据信息加以数据分析

从题目条件入手，进行必要合理的逻辑推理，往往可以从中合理提取数列中的相应数据信息，巧妙构建相应的数学模型，进而利用数学模型的解决与应用来达到数据分析与应用的目的.

例2 （江苏省南通等七市2019届高三第二次调研测试·14）已知集合A={x|x=2k-1，k∈N*}，B={x|x=8k-8，k∈N*}，从集合A中取出m个不同元素，其和记为S;从集合B中取出n个不同元素，其和记为T;若S+T≤967，则m+2n的最大值为.

分析：根据题目条件进行合理的逻辑推理以及数据分析，要使m+2n的值最大，则加在一起的项数应最多，使相加的项最小，进而利用等差数列的前n项和将S，T分别表示出来，代入不等式，再利用基本不等式可得相应关系式的最值即可.

解析：要m+2n的值最大，即满足S+T≤967时，加在一起的项数应最多，使相加的项最小.

将集合A，B的元素分别按从小到大顺序排列，则集合A为以1为首项，2为公差的等差数列，故S=1+（2m-1）2·m=m2.

同理，T=0+（8n-8）2·n=4n2-4n.

则由967≥S+T=m2+4n2-4n，得968≥m2+（2n-1）2≥2（m+2n-12）2，

可得m+2n-1≤44，当且仅当m=2n-1=22时，等号成立.因为n为整数，所以取m=22，n=11时，

m+2n=44.故填答案：44.

点评：数据信息隐藏于题目中，通过有效分析题目条件，综合相应的数学知识进行正确的逻辑推理，提取相应的数据信息，结合限制条件或自身背景等，正确分析、合理推理、巧妙运算，进而分析所得结果并利用数据信息加以综合应用，从而达到解决问题的目的.

2.3 从创新定义中提取数据信息加以数据分析

根据创新定义挖掘本质，从中提取出有效的数据信息，通过创新公式、图表、数表等的综合与应用，进行必要的数据收集、整理，综合数列知识加以逻辑推理或数学运算，渗透创新意识.

例3 对于任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.9]=1，[log263]=5.设数列{an}的前n项和为Sn，且an=[log2（n+1）]，则满足Sn>2 019的最小整数n为（  ）.

A.314   B.315   C.316   D.317

分析：从创新定义入手，分别计算数列{an}的项的值，其对应的项恰好是21个1，22个2，23个3……结合Sn>2 019分析数据信息，并根据条件确定满足Sn>2 019的最小项，进而结合数列通项公式来确定最小整数n的值.

解析：由题意可得[log22]=[log23]=1，有2个1，即21个1;

[log24]=[log25]=[log26]=[log27]=2，有4个2，即22个2;

…………

[log2 256]=[log2 257] =[log2 258]=……

=[log2 511]=8，有256个8，即28个8;

而[log22]+[log23]+[log24]+……+[log2255]=1×21+2×22+3×23+……+7×27=1 538<2 019，

[log22]+[log23]+[log24]+……+[log2511]=1×21+2×22+3×23+……+7×27+8×28=3 586>2 019.

又2 019-1 538=481，481÷8=60.125，那么至少还需要61个8加起来才满足Sn>2 019.

即[log22]+[log23]+[log24]+……+[log2255]+[log2 256]+……+[log2 316]>2 019.

而an=[log2（n+1）]，所以满足Sn>2019的最小整数n为315，

故选择答案：B.

点评：正确理解创新定义，合理求数列的和是关键.利用创新定义，借助数列求和，对不同条件下所满足的不等式进行有效数据分析，进而确定满足条件的参数值，为数据分析及信息处理提供更多的有用条件.

3 感悟与反思

数据分析在数列解题中具有非常重要的地位，在数列的通项公式、数列的性质、数列的递推关系式、数列与不等式的关系以及其他一些相关问题中，经常会借助数据处理与分析，通过对数列中的相关数据的收集、整理、提取，进而合理构建特殊数列模型，最后得以合理推断，获得结论.